função geradora de momentos 1

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Probabilidade e Estatística
Aula 9
Setembro de 2004
Mônica BarrosMônica Barros
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ConteúdoConteúdo
?Transformações de uma variável 
aleatória
?Funções de uma variável contínua – o 
método do Jacobiano
?A Função Geradora de Momentos
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Método do JacobianoMétodo do Jacobiano
? Seja X uma variável aleatória contínua definida num 
intervalo (a,b), com densidade f(x) e função de 
distribuição F(x). 
? Seja Y = h(X) onde h(.) é uma função contínua e 
injetora (ou seja, cada x é levado num y diferente). 
? Então a densidade de Y, g(y), pode ser encontrada 
da seguinte maneira:
dy
dxxfyg ).()( =
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Método do JacobianoMétodo do Jacobiano
? Por que o módulo |dx/dy| aparece na 
fórmula anterior?
? Para garantir que g(y) seja sempre ≥ 0, pois 
dx/dy pode ser negativo!
? Também, x na expressão anterior está
escrito em função de y, ou seja, a variável 
“velha” está em função da variável 
“nova”.
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Método do JacobianoMétodo do Jacobiano
? Na expressão anterior, x = h-1(y) é
expresso em termos da "nova" variável y.
? Se h(.) for uma função crescente (isto é, 
x1 ≤ x2 implica em h(x1) ≤ h(x2)) então o 
intervalo de valores possíveis para Y é
(h(a), h(b)). 
? Se h(.) é decrescente, o intervalo de 
definição de Y é (h(b), h(a)).
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Método do Jacobiano Método do Jacobiano -- exemploexemplo
? Seja X uma variável aleatória contínua 
com densidade:
? Esta densidade é chamada de densidade 
Weibull, e é muito usada para modelar o 
tempo de duração de componentes 
eletrônicos. 
? Seja Y = Xm . Encontre a densidade de Y.



=
−−
contrário do 0
0> 0, > m 0, > x se αα
α/1..
)(
mxm exm
xf
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Método do Jacobiano Método do Jacobiano -- exemploexemplo
? Note que Y = Xm é injetora quando x > 0.
? Pelo método do Jacobiano, a densidade de Y é:
? Após simplificações, encontramos:
? Note que Y tem densidade Exponencial com 
média α.
11/1 .1
−=⇒=⇔= mmm y
mdy
dxyxxy
( ) ( )













−=
−
−
m
yyymyg
mmmmm
11/1
1/1 .exp..)( αα
0 y para >= − αα
/.1)( yeyg
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Método do Jacobiano Método do Jacobiano –– exemplo exemplo 
(para casa)(para casa)
? A velocidade de uma molécula de gás é uma 
variável aleatória contínua V com densidade dada 
por:
? E a > 0 é uma constante determinada a partir do 
fato de f(v) integrar a 1 no intervalo (0, + ∞). Seja 
Z a energia cinética da molécula de gás, dada 
por:
? Encontre a densidade de Z (você pode usar o 
método do Jacobiano ou o da função de 
distribuição)
0>v e gás do depende que constante uma é b onde,..)(
22 bvevavf −=
2
2mVZ =
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Método do Jacobiano Método do Jacobiano ––
exemplo (para casa)exemplo (para casa)
? A duração (Y) de componentes eletrônicos 
é às vezes modelada pela densidade 
Rayleigh, mostrada a seguir.
? Encontre a densidade de U = Y2.
? Use o resultado acima para achar a média 
e variância de U.
( ) 0 y onde >



−

= θθ
2
exp2 yyyf
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Transformações de Variáveis Transformações de Variáveis 
(para casa)(para casa)
? Problema 4 – teste 2 – semestre 2004.01 – turma A
? Seja X uma v.a. contínua com densidade:
?
? Encontre a densidade de Y = 1/X
4
3( ) 1f x x
x
= >
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Transformações de Variáveis Transformações de Variáveis 
(para casa)(para casa)
? O preço de um ativo financeiro é uma v.a. 
contínua com densidade: 
? Encontre a densidade de Y = X2.
( ) 22 onde x > 0xf x xe−=
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Função Geradora de MomentosFunção Geradora de Momentos
? A função geradora de momentos é um dos objetos 
mais úteis em Probabilidade, mas esta função nem 
sempre existe. Por isso, em cursos mais 
avançados usa-se a funfunçãção caractero caracteríísticastica, que sempre 
existe. O uso da função característica é mais 
complicado que o da função geradora de momentos, 
pois envolve números complexos.
? Freqüentemente iremos abreviar “função geradora de 
momentos” por fgm.
( ) ( )( ) ( ) discreta v.a. é X se 
contínua v.a. é X se 
 xtodo xtodo




==
==
∑ ∑
∫∞
∞−
xXexfe
dxxfe
eEtM
txtx
tx
tX
Pr..
)(
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Propriedades da FunPropriedades da Funçãção o 
Geradora de MomentosGeradora de Momentos
1) A função geradora de momentos é
única e determina completamente a 
distribuição da variável aleatória. 
? Assim, se duas variáveis aleatórias têm a 
mesma função geradora de momentos, 
elas têm a mesma distribuição. 
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Propriedades da FunPropriedades da Funçãção o 
Geradora de MomentosGeradora de Momentos
? Logo, se você tiver uma tabela de 
funções geradoras de momentos, você
poderá identificar qual a densidade que 
corresponde a uma dada função geradora 
de momentos. 
? Isso é análogo ao uso de uma tabela de 
transformadas de Laplace ou Fourier 
(dada a função, sabe-se qual a sua 
transformada, e vice-versa).
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Propriedades da FunPropriedades da Funçãção o 
Geradora de MomentosGeradora de Momentos
2) M(0) = 1
3) Se M( t ) existe para t ∈ (-h, h) então as derivadas 
de todas as ordens existem em t = 0 . Além disso, 
as derivadas de M(t) em t = 0 fornecem os 
momentos de X.
A existência do k-ésimo momento da distribuição 
implica na existência dos momentos de ordem 
menor que k. Em particular, a existência da 
variância implica na existência da média (mas a 
recíproca não é verdadeira).
)(
0
)()0()( kk
k
k XE
tdt
tMdM ===
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FunFunçãção Geradora de Momentos o Geradora de Momentos --
exemploexemplo
? Considere um jogo no qual você pode ganhar 0, 1 
ou 2 reais, ou perder 2 ou 1 reais com as 
probabilidades especificadas na tabela a seguir.
x Pr( X = x)
-2 0.20
-1 0.10
0 0.40
1 0.10
2 0.20
Calcule a função geradora de 
momentos de X e, a partir dela, 
encontre a média da distribuição (que 
representa o seu ganho esperado 
nesse jogo). 
Verifique que a média encontrada por 
este procedimento é a mesma que a 
média encontrada pela definição.
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FunFunçãção Geradora de Momentos o Geradora de Momentos --
exemploexemplo
? Pela definição de média:
? Ou seja, o ganho esperado neste jogo é zero.
? A função geradora de momentos é:
? A primeira derivada da função geradora de 
momentos é:
( ) 0
10
4
10
10
10
1
10
4)Pr(.
2
2
=+++

 −+−=== ∑
−=x
xXxXE
( ) ∑
−=
−− 

+

+

+

+

====
2
2
22
10
2
10
1
10
4
10
1
10
2)Pr(.)(
x
tttttxtX eeeexXeeEtM
tttt eeee
dt
tdM 22
10
4
10
1
10
1
10
4)( 

+

+

 −+

 −= −−
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FunFunçãção Geradora de Momentos o Geradora de Momentos --
exemploexemplo
? A média de X é a primeira derivada da 
função geradora de momentos em zero, 
isto é:
? O que concorda com o resultado 
encontrado antes (pela definição da 
média).
0
10
4
10
1
10
1
10
4
0
)( =

+

+

 −+

 −==tdt
tdM
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FunFunçãção Geradora de Momentos o Geradora de Momentos--
exemploexemplo
? Nota: Teorema BinomialTeorema Binomial
? Na demonstração do próximo exemplo 
empregaremos um resultado conhecido 
como Teorema Binomial, que é apenas 
uma maneira de expandir um polinômio.
( ) 0 inteiros são n k, e reais número são b e a onde ≥


=+ ∑
=
−n
k
knkn ba
k
n
ba
0
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FunFunçãção Geradora de Momentos o Geradora de Momentos --
exemploexemplo
? Seja X uma variável aleatória discreta com 
distribuição Binomial e parâmetros n e p, dada 
por:
? Calcule a função geradora de momentos e, a 
partir dela, encontre a média e a variância de X.
?? SoluSoluçãçãoo
? Pela definição da fgm:
? Onde, na penúltima igualdade acima, aplicamos 
diretamente o teorema Binomial.
0,1,2,...n x e p - 1 q onde ==


=== − xnx qp
x
n
xfxX ..)()Pr(
( ) ( ) ( )∑∑
=
−
=
− −+=+=


=


==
n
x
ntntxnxt
n
x
xnxtxtX ppeqpeqpe
x
n
qpe
x
n
eEtM
00
1.....)()(
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FunFunçãção Geradora de Momentos o Geradora de Momentos --
exemploexemplo
? A primeira derivada da fgm é:
? A média da distribuição é obtida avaliando-se 
esta derivada em t = 0, isto é:
? A segunda derivada de M(t) é:
( ) ( )tnt peqpentM ..)( 1−+=′
( ) ( ) nppqpnXEM n =+==′ − .)()0( 1 Onde usamos o 
fato: p + q = 1
( )( ) 2....)( −++=′′ nttt peqnpeqepntM
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FunFunçãção Geradora de Momentos o Geradora de Momentos --
exemploexemplo
? Ao avaliarmos esta 2a. derivada em t = 0 
encontramos o 2o. momento, E(X2):
? A variância é obtida a partir dos dois primeiros 
momentos:
? VAR(X) = E(X2) - {E(X)}2 = npq + (np)2 - (np)2 = npq
).())(.()()0( 22 npqnppqnpqnpXEM n +=++==′′ −
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FunFunçãção Geradora de Momentos o Geradora de Momentos --
exemploexemplo
? Seja X uma variável aleatória com fgm 
? M(t) = exp (t2/2)
? Podemos obter os momentos de X por 
diferenciação, mas neste caso há uma maneira 
mais inteligente de calculá-los, que nos fornece 
uma expressão geral para todos os momentos de 
X.
? A expansão de Taylor de exp(t2/2) ao redor de zero 
é:
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FunFunçãção Geradora de Momentos o Geradora de Momentos --
exemploexemplo
? Mas, em geral, a expansão de Taylor de uma 
função geradora de momentos M ( t ) em torno de 
zero é:
e t t
k
t
t t t
k
t
k
k
k
2 2
2 2 2 2
2 4 2
1
2
1
2 2
1
2
1
2 8 2
/
!
. ....
!
. .....
....
( !)( )
.....
= + + 

 + +



 + =
= + + + + +
....
!
)(.....
!2
)(.)(.1)(
22
+++++=
k
XEtXEtXEteE
kk
tX
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FunFunçãção Geradora de Momentos o Geradora de Momentos --
exemploexemplo
? Igualando estas duas expressões termo a 
termo encontramos:
? onde k =1, 2, 3, .....
? Veremos que esta é a fgm de uma variável 
Normal com média 0 e variância 1.
pares potências 
)2)(!(
)!2()( 2 k
k
k
kXE =
ímpares potências 0)( 12 =−kXE
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FunFunçãção Geradora de Momentos o Geradora de Momentos ––
exemplo (para casa)exemplo (para casa)
? Seja X uma variável aleatória discreta 
com função de probabilidade:
? Calcule a função geradora de momentos 
de X.
? A partir da função geradora de momentos, 
encontre a média e a variância de X.
? Dica - use a série geométrica, isto é:
1,.)( 1 <<= − ppqxf x 0 onde p - 1 = q e 1,2,3...= x 
∑∞
=
<−=++++=0
32 1
1
1....1
k
k a
a
aaaa que desde 
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FunFunçãção Geradora de Momentos o Geradora de Momentos ––
exemplo (para casa)exemplo (para casa)
? Seja X uma variável aleatória com função 
de probabilidade Poisson com média λ. 
? Encontre a função geradora de momentos 
e use-a para mostrar que:
? E(X) = VAR(X) = λ
? Dica: lembre-se da série de Taylor da 
exponencial
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FunFunçãção Geradora de Momentos o Geradora de Momentos ––
exemplo (para casa)exemplo (para casa)
? Teste 2 – Semestre 2004.01 – prova A
? Seja X uma v.a. com densidade:
? Encontre a fgm e, a partir dela, a média e a 
variância de X.
/51( ) 0
5
xf x e x−= >