Exercícios de Integrais Múltiplas

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CEFET-RJ
Centro Federal de Educac¸a˜o Tecnolo´gica Celso
Suckow da Fonseca
Lista de Exerc´ıcios sobre Integrais Mu´ltiplas
Prof. Cla´udio Correˆa
claudio.correa@cefet-rj.br
November 5, 2015
1
01- Calcule
∫∫
D
(y2ex + ysen(x))dxdy, onde D e´ um retaˆngulo dado por 0 ≤
x ≤ pi2 e 0 ≤ y ≤ 1. Resp.: 13e
pi
2 + 16
02- Determine a regia˜o de integrac¸a˜o e troque a ordem das seguintes integrais:
Exemplo:
a)
∫ 1
0
∫ x
0
f(x, y)dxdy
Na integral
∫ 1
0
∫ x
0
f(x, y)dxdy, vemos que o x varia de 0 a 1 e y varia de 0
a x, ou seja, y varia do eixo x (y = 0) ate´ a reta y = x. Deste modo a regia˜o
de integrac¸a˜o e´ do tipo I, e pode ser descrita por D={(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤
pi
2 e 0 ≤ y ≤ 1}, cujo esboc¸o vemos abaixo:
Se quisermos inverter a ordem de integrac¸a˜o devemos descrever D como do
tipo II, logo a reta horizontal passara´ da esquerda para a direita atrave´s de D,
conforme observamos na figura abaixo:
Pela observac¸a˜o do gra´fico acima, vemos que a reta entra em D em y = x
e sai em D em x = 1. Vemos tambe´m que a projec¸a˜o de D sobre o eixo y e´ o
intervalo [0, 1]. Logo, 0 ≤ y ≤ 1, enta˜o D como do tipo II e´ dado por:
D={(x, y) ∈ R2/0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ 1}.
Logo: ∫ 1
0
∫ x
0
f(x, y)dxdy =
∫ 1
0
∫ 1
y
f(x, y)dxdy
2
b)
∫ 1
0
∫ y
0
f(x, y)dxdy
c)
∫ 1
0
∫ √x
x2
f(x, y)dxdy
d)
∫ 1
0
∫ x+1
2x
f(x, y)dxdy
e)
∫ 2
0
∫ 2−y
−
√
4−y2
f(x, y)dxdy
3- Calcule a integral
∫∫
D
x3cos(xy)dxdy, onde D e´ a regia˜o delimitada pelos
gra´ficos de y = x2, y = 0 e x = 2. Resp.:
1
3
(1− cos(8))
4- Inverta a ordem de integrac¸a˜o e calcule:
a)
∫ 1
0
∫ 1
y
e−3x
2
dxdy Resp.:
1
6
(1− e−3)
b)
∫ 3
0
∫ 9
y2
ycos(x2)dxdy Resp.:
1
4
(sen(81))
c)
∫ 2
0
∫ 2
x
x
√
1 + y3dxdy Resp.:
26
9
5- Use a integral dupla para calcular a a´rea da regia˜o plana compreendida
pelas curvas y = 4− x2, x ≤ 0, y − x = 2 e x = 0. Resp.: 10
3
u.a.
6- Use a integral dupla para calcular o volume do so´lido W compreendido
pelas superf´ıcies y2 = x, z = 0 e x+ z = 1. Resp.:
8
15
u.v.
7- Use a integral dupla para calcular o volume do so´lido no primeiro octante,
delimitado pelos gra´ficos das equac¸o˜es z = 4 − x2, x + y = 4, x = 0, y = 0 e
z = 0. Resp.:
52
3
u.v.
8- Ache a a´rea da regia˜o D limitada pelos arcos de para´bola x2 = ay, x2 = by,
y2 = αx e y2 = βx, como 0 < a < b e 0 < α < β. Resp.:
1
3
(b−a)(β−α)
9- Calcule I =
∫ 1
0
∫ 1−x
0
√
x+ y(y − 2x)2dydx. Resp.: 2
9
10- Calcule
∫∫
D
ydxdy, onde D = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 4, x2 + y2 ≥
2x, y ≤ x, y ≥ 0 }. Resp.: 4
3
(
13
8
−√2
)
.
11- Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a a´rea
da regia˜o interior a` circunfereˆncia x2 + y2 = 4 e a` direita da reta x = 1.
3
Resp.:
4pi
3
−√3 u.a..
12- Calcule as integrais iteradas convertendo-as para coordenadas polares.
a)
∫ √2
0
∫ √4−y2
y
1√
1 + x2 + y2
dxdy Resp.:
pi
4
(√
5− 1)
b)
∫ 1
0
∫ √y
y
√
x2 + y2dxdy Resp.:
1
45
(
2
√
2 + 2
)
c)
∫ 2
0
∫ √1−(x−1)2
0
x+ y
x2 + y2
dxdy Resp.:
pi
2
+ 1
13- Calcule o volume do so´lido no primeiro octante limitado pelo plano z = y
e limitado lateralmente pelo planos coordenados e pelo cilindro x2 + y2 = 2y.
Resp.:
pi
2
u.v.
14- Uma la´mina D e´ limitada pelo gra´ficode x = y2 e pela reta x = 4. A
densidade da laˆmina no ponto (x, y) e´ proporcional a` distaˆncia do ponto ao eixo
y. Ache:
a) a massa total da laˆmina b) o centro de massa (x¯, y¯)
Resp.: a)
128
5
k u.m. Resp.: b) x¯ =
20
7
y¯ = 0
15- Calcule a massa da chapa D = {(x, y) ∈ R2/1 ≤ x2 + y2 ≤ 9, x ≤
0, y ≤ 0} sabendo que a densidade superficial e´ dada por δ(x, y) = 13−x2− y2.
Resp.: 16pi u.m.
16- Uma laˆmina ocupa a regia˜o circular x2+y2 ≤ 2y mas fora do c´ırculo x2+
y2 = 1. Determine o centro de massa se a densidade for inversamente propor-
cional a` distaˆncia do ponto a` origem. Resp.:
(
x¯ = 0, y¯ =
3
√
3
2(3
√
3)− pi
)
17- Encontre o momento polar de ine´rcia em relac¸a˜o a` origem de uma
placa fina que cobre a regia˜o que esta´ dentro da cardio´ide r = 1 − cosθ e
fora da circunfereˆncia r = 1, se a func¸a˜o densidade em cada ponto da placa
for inversamente proporcional ao quadrado da distaˆncia do ponto a` origem.
Resp.:
k
4
(8 + pi)
18- Determine o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo x, para a laˆmina D
limitada pela para´bola x = −y2 e pela reta x+ y+ 2 = 0, se a densidade e´ dada
por δ(x, y) = 2. Resp.:
63
10
19- Mostre que o momento polar de ine´rcia em relac¸a˜o a` origem de uma
placa fina homogeˆnea, que tem a forma da circunfereˆncia r = 2acosθ e´ igual a
3
2
Ma2, onde M e´ a massa total da placa.
20- Calcule
∫∫
D
y2cos(xy)
x
dA, onde D e´ a regia˜o limitada pelas para´bolas
x2
y
= 1,
y2
x
= 1, x2 = 4y e y2 = 4x. Resp.:
1
12
(5cos4− 4cos1− cos16)
4