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Lista 2 - limite - Calculo 1- UERJ

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Lista 2 (2013/2)
1. Explique, com suas palavras, o significado da equação
lim
x→2
f(x) = 5
É possível, diante da equação acima, que f(2) seja igual a 3? Explique.
2. Explique o que significa dizer que
lim
x→1−
f(x) = 3 e lim
x→1+
= 7
Nessa situação, é possível que limx→1 exista? Explique.
3. Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de a para os quais limx→a f(x)
existe:
f(x) =

2− x se x < −1
x se − 1 ≤ x < 1
(x− 1)2 se x ≥ 1
4. Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas:
(a) lim
x→3+
f(x) = 4, lim
x→3−
f(x) = 2, lim
x→−2
f(x) = 2, f(3) = 3, f(−2) = 1
(b) lim
x→0−
f(x) = 1, lim
x→0+
f(x) = −1, lim
x→2−
f(x) = 0, lim
x→2+
f(x) = 1, f(2) = 1, f(0) não está definida
5. Determine os limites infinitos
(a) lim
x→5+
6
x− 5
(b) lim
x→5−
6
x− 5
(c) lim
x→3
1
(x− 3)8
(d) lim
x→0
(x− 1)
x2(x+ 2)
(e) lim
x→−2+
(x− 1)
x2(x+ 2)
(f) lim
x→−2−
(x− 1)
x2(x+ 2)
Obs: notem que a reta x = 5 nas letras (a) e (b), a reta x = 3 na letra (c) e as retas x = −2 e x = 0
nas letras (d), (e) e (f) são assíntotas verticais.
1
6. Determine as assíntotas verticais da função
y =
x
x2 − x− 2
7. Calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o por quê:
(a) lim
x→1
(
x4 + x2 − 6
x4 + 2x+ 3
)8
(b) lim
u→−2
√
u4 + 3u+ 6
(c) lim
x→−3
x2 − x− 12
x+ 3
(d) lim
x→1
x2 + x− 2
x2 − 3x+ 2
(e) lim
h→0
(h− 5)5 − 25
h
(f) lim
h→0
(2 + h)3 − 8
h
(g) lim
x→−4
|x+ 4|
x+ 4
(h) lim
x→1,5
2x2 − 3x
|2x− 3|
(i) lim
t→0
√
2− t−√2
t
(j) lim
x→1
√
x− x2
1−√x
8. Encontre o limite.
(a) lim
r→∞
r4 − r2 + 1
r5 + r3 − r
(b) lim
t→−∞
6t2 + 5t
(1− t)(2t− 3)
(c) lim
x→∞
√
1 + 4x2
4 + x
(d) lim
x→∞
1−√x
1 +
√
x
(e) lim
x→∞
(
√
x2 + 1−
√
x2 − 1)
(f) lim
x→∞
(x−√x)
(g) lim
x→∞
x7 − 1
x6 + 1
2
9. Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça todas as condições dadas.
(a) f(0) = 0, f(1) = 1, lim
x→∞
f(x) = 0, f é ímpar
(b) lim
x→0+
f(x) =∞, lim
x→0−
f(x) = −∞, lim
x→∞
f(x) = 1, lim
x→−∞
f(x) = 1
(c) lim
x→2
f(x) = −∞, lim
x→∞
=∞, lim
x→−∞
f(x) = 0, lim
x→0+
f(x) =∞, lim
x→0−
f(x) = −∞
(d) lim
x→−2
f(x) =∞, lim
x→−∞
f(x) = 3, lim
x→∞
f(x) = −3
10. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Em seguida, esboce o gráfico.
(a) y =
x
x+ 4
(b) y =
x3
x2 + 3x− 10
(c) y =
x2 + 4
x2 − 1
(d) y =
x3 + 1
x3 + x
(e) y =
x
4
√
x+ 4
(f) y =
x− 9√
4x2 + 3x+ 2
11. Utilizando o teorema do confronto, resolva as seguintes questões.
(a) Demonstre que lim
x→0
x4 cos
2
x
= 0
(b) Se 3x ≤ f(x) ≤ x3 + 2 para 0 ≤ x ≤ 2, encontre lim
x→1
f(x)
(c) Determine lim
x→−∞
cos2(pix)
5x+ 3
(d) Determine lim
x→∞
x8(1 + cos2(3x))
5 + x4
3

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