3. Vetores - Tratamento Algebrico

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Vetores: 
um Tratamento Algébrico
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Vetores em Sistemas de Coordenadas
Representação do vetor com origem na origem do sistema de coordenadas e extremi-dade no ponto P:
v = (v1,v2)
v = (v1,v2 ,v3)
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Vetores em Sistemas de Coordenadas
Cuidado:
 v1 e v2 são coordenadas do ponto P
 v1 e v2 são componentes do vetor v
v = (v1,v2)
v = (v1,v2 ,v3)
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Igualdade de Vetores
Em 2-D: Dois vetores v = (v1,v2) e w = (w1, w2) são iguais se, e somente se, suas componentes correspondentes forem iguais:
 v1 = w1 e v2 = w2 
Em 3-D: 
Dois vetores v = (v1,v2 ,v3) e w = (w1, w2 ,w3) são iguais se, e somente se, suas componentes correspondentes forem iguais:
 v1 = w1 , v2 = w2 e v3 = w3 
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Operações sobre vetores
Em 2-D: v = (v1,v2) e w = (w1, w2)
Soma: v+w = (v1 + w1 , v2 + w2) 
Diferença: v-w = (v1 - w1 , v2 - w2 )
Multiplicação por escalar: kv = (kv1 , kv2)
Em 3-D: v = (v1,v2 ,v3) e w = (w1, w2 ,w3)
Soma: v+w = (v1 + w1 , v2 + w2 , v3 + w3) 
Diferença: v-w = (v1 - w1 , v2 - w2 , v3 - w3)
Multiplicação por escalar: kv = (kv1 , kv2 , kv3)
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Módulo (comprimento) de um Vetor
P(v1,v2)
v
x
y
 |v| = v1 2 + v2 2 
v = (v1,v2)
v = (v1,v2 ,v3)
z
x
y
v
P(v1,v2 ,v3)
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Vetores Especiais
j
x
y
i
i = (1,0) 
j = (0,1)
z
x
y
k
j
i
j = (0,1,0)
i = (1,0,0)
k = (0,0,1)
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Outra Representação para Vetores
j
x
y
i
2i
3j
2i+3j
v = 2i+3j
v
v = (2,3)
ou
v = (2,3,1)
ou
v = 2i+3j+k
x
y
k
3j
2i
z
v
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Vetores Unitários
São vetores com comprimento igual a 1
Exemplo de vetores unitários: i, j e k
Qualquer vetor pode ser normalizado, isto é, pode ser transformado em um vetor unitário:
u = v
 |v|
v
u e w são vetores 
unitários
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Vetores Determinados por Comprimento e por Ângulo
x
y
v
 |v|
Θ
b = |v| senΘ
a
b
a = |v| cosΘ
v = ( |v| cosΘ , |v| senΘ )
ou
v = |v| cosΘ i + |v| senΘ j
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Vetor Definido por Dois Pontos
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Ponto Médio
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Vetores Paralelos
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