6. Produto Misto

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Produtos de Vetores:
Produto Misto
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Produto Misto
O produto misto de u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) é: 
 ( u, v, w ) = u∙(v X w) = u1 u2 u3
 v1 v2 v3
 w1 w2 w3
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Propriedades do Produto Misto
Propriedades de determinantes:
O determinante da matriz muda de sinal quando são invertidas duas linhas
Consequência no produto misto:
O produto misto (u X v) ∙ w muda de sinal ao trocarmos a posição de 2 vetores dentro desse produto 
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Propriedades do Produto Misto
O produto escalar pode trocar com o produto vetorial, desde que se mantenha a ordem dos vetores:
 u ∙ (v X w) = (u X v) ∙ w 
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Propriedades do Produto Misto
 
A soma pode ser distribuída em qualquer parte do produto misto: 
 
 (u + s)∙(v X w) = [u∙(v X w)] + [s∙(v X w)];
 
 u∙([s + v] X w) = [u∙(s X w)] + [u∙(v X w)];
 
 u∙(v X [s+w]) = [u∙(v X s)] + [u∙(v X w)]
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Propriedades do Produto Misto
 O escalar β pode “se deslocar” no produto misto: 
(βu)∙(v X w) = u∙((βv) X w) 
 = u∙(v X (βw)) 
 = β [u∙(v X w)]
 
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Produto Misto
O produto misto de u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) é: u∙(v X w) = u1 u2 u3
 v1 v2 v3
 w1 w2 w3
O volume do paralelepípedo determinado por u, v e w é dado por: 
 V = | u∙(v X w) |
 u∙(v X w) = 0 se, e somente 
 se u, v e w forem coplanares 
 
v
u
w
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