3 ANO - NUMEROS COMPLEXOS

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Números complexos mais belo sentimento é sentido do E a origem de toda ciencia verdadeira. Quem jamais conhecen esta quem não dom de é como se estivesse morto: sens cerrados. Albert Einstein (1879-1955), e matemático alemão1. Conjunto dos números complexos Dados dois pares ordenados, (a, b) e (c, d), do produto cartesiano RXR onde R é conjunto dos números reais, podemos definir: Igualdade de pares ordenados: dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se, e somente se, a = ceb= d. Adição de pares ordenados: a soma de dois pares ordenados (a, b) é igual ao par ordenado (a + c, b + d). Multiplicação de pares ordenados: produto de dois pares ordenados é o par ordenado - ad + bc). Considerando as definições acima, chamamos de conjunto dos números com- plexos C ao conjunto de todos os pares ordenados de números reais, para os quais essas definições são válidas. Propostos 1452 Em cada caso, determine ae b reais, tal que: b) (2a, 3b + 1453 Efetue: e) b) f) (3,4) (1, 2) g) d) h) 1) 2. Forma algébrica Sejam m e n números reais quaisquer. Temos: (n, 0) se, e somente se, m = n (m, 0) + (n, 0) = (m + n, + 0) = (m + (m, 0) 0) Notamos que nos pares onde o segundo elemento é zero, tanto a igualdade quanto a adição e a multiplicação dependem só dos primeiros elementos, que são números Por isso, podemos "identificar" um número (m, 0) com número real m, ou seja, (m, 0) = m. NÚMEROS COMPLEXOS 557 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOSPor outro lado, já vimos que uma equação como não tem raiz real. Mas uma raiz procurada deve ser um número que multiplicado por si mesmo resulte em -1. Observe que (0, 1) = - Como (0, = (-1,0) e (-1, 0) = 1, então (0, = - 1, ou (0, 1) = número (0,1) é chamado de unidade imaginária e é representado por i. Como = - 1, então i é uma raiz quadrada Assim, temos: = i, = = 2i, V-49 = 49 = 7i etc. Consideremos agora um número complexo qualquer (a,b). Podemos escrever: a b i A forma a + bi, onde a e b são números reais, é denominada forma algébrica de um número complexo bi, destacamos: é o número complexo a é a parte real de Z b é a parte imaginária de i é a unidade imaginária Exemplos: onde a = leb=2 d) 5i, onde a = onde a = -3eb= 4 e) 6, onde a=6eb=0 - onde a = = -2 f) - 0,7i, onde a = b = -0,7 Assim, a definição de igualdade fica: Dois números complexos = a + bi e = C + di são iguais se, e somente se, suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias também forem iguais. Então: A utilização deste novo símbolo facilita determinar as raízes de equações do 2° grau. FORMA ALGÉBRICA 558 NÚMEROS COMPLEXOSResolvido Determinar as raízes da equação = 0. - = = = 2a 2 Note que as raízes desta equação são números complexos 1 + i e 1 - i, pois estão na forma Características de um número complexo = Um número complexo Z = a + bi é denominado: Imaginário puro: quando a = Exemplo: ou simplesmente Z = 2i Real: quando b = Exemplo: Oi ou simplesmente Z = 3 Resolvidos 1 Determinar o valor de X, de modo que seja real. número Z será um número real quando coeficiente da parte imaginária for igual a zero, então: 2x - 4 = 0 = 2 Para qual valor de ko número - é imaginário puro? Inicialmente vamos colocar o número na forma algébrica, a fim de destacar a parte real e a parte - 9 = Logo, o número é imaginário puro - k = -3 Note que se = 3. NÚMEROS COMPLEXOS 559 FORMA ALGÉBRICAPropostos 1459 Obtenha o valor me n, de modo que 1454 Dados os números complexos = 2 + = a 1460 Para que valores de xe ysão iguais com- valor de a e b. 1455 Determine valor de de modo que 1461 Obtenha valor de de modo que núme- ro complexo + seja um número real. 1456 Determine o valor de X, de modo que número complexo seja um número real: 1462 Determine o valor de X, para que número complexo = xi seja um núme- ro imaginário puro. 1457 Obtenha o valor de de modo que o nú- 1463 (UFPA) Qual é o valor de m, real, para que mero complexo Z = (6y + 30) + 2i seja produto (2 + mi) (3 + i) seja um imagi- um número imaginário puro. nário puro? 1458 Determine valor de X, de modo que o nú- d) 8 mero complexo - e) 10 não seja um número real. 3. Potências da unidade imaginária Observe: i° = 1, pois todo número elevado a zero é igual a 1, exceção para = i, pois todo número elevado ao expoente 1 é igual ao próprio número definição da unidade imaginária = 1 Sendo n E N, de um modo geral, temos: = = = 1 = A potência sendo k EZ, é obtida dividindo o expoente k por 4 e consideran- do o resto r da divisão como o novo expoente de i. Exemplos: 137:4,q=34er= 1 i-57 = pois em -57:4,q=-15er= 3 DA UNIDADE IMAGINÁRIA 560 NÚMEROS COMPLEXOSResolvidos 1 Calcular: i 0 1 b) - i = i = = = 1 + i 2 [(1 = - 16 Propostos 1464 Calcule: 1465 Simplifique as expressões: a) 1466 valor de a) i d) -1 e) 0 1467 Quem é maior, 1468 positivo ou negativo? 1469 (Cescea-SP) Efetuando-se as operações na expressão (1 obtém-se: a) i 1470 (Mack-SP) Se ié a unidade imaginária, então o número total de possíveis valores diferentes de d) 6 e) maior que 6 1471 A soma do complexo com o complexo é igual a: a) 8 b) 0 d) i NÚMEROS COMPLEXOS 561 DA UNIDADE IMAGINÁRIA4. Adição, subtração e multiplicação Sejam os complexos di: Obtemos a soma adicionando as partes reais e as partes imaginárias. + = (b + parte parte real imaginária (a + Obtemos a diferença subtraindo as partes reais e as partes imaginárias. parte parte real imaginária (a + bi) - (c - Obtemos o produto aplicando a propriedade distributiva e as potências de i. = + di) = ac + adi + cbi + = = ac + adi + cbi - bd = = ac - bd + (ad + bc)i parte parte real imaginária (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i Exemplo: Considere os números complexos - - - i - = - 2 . (-1) - = 1 + 7i = 2 + + 3i = 14 - 5i ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO 562 NÚMEROS COMPLEXOSPropostos 1472 Efetue as seguintes operações: b) (9 + 4i) + (5 2i) - (8 - i) - c) (12 - 3i) - (1 + i) + (8 + 7i) d) 1473 Determine valor de xe de modo que e) f) 1474 Obtenha o valor de m e n reais para que se g) (3 - i) tenha (m - ni)2 = -2i. 5. Conjugado de um número complexo Denomina-se conjugado de um número complexo a + bi ao número complexo Exemplos: conjugado de: 5i Z 7i Z 3 Propriedades do conjugado Considerando-se os complexos = + bi di, veja as propriedades: propriedade conjugado da soma é igual à soma dos conjugados. + = + Z2 propriedade O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados. NÚMEROS COMPLEXOS 563 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXOpropriedade produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo. = - - R+ Resolvido Prove que se Z = IN então Z E R e vice-versa. então = - yi y = -y Propostos 1478 Mostre que = Z, para todo número com- plexo Z = a + bi. 1475 Escreva o conjugado de Z: a) i c) Z = -8 b) d) 1479 (UCMG) número complexo Z, tal que 5z + = 12 + 16i, é igual a: 1476 Sendo Z = a + bi, prove que: a) a) Z + IN = 2a - c) 1477 Para quais números complexos Z = a + bié 1480 Determinar os números complexos Z, tais válida a igualdade 1) - IN = 5 + 4i? que Z 6. Divisão Sejam dois por corresponde a obter o número complexo X + yi, tal que (x + yi) = Exemplo: - Resolvendo o sistema: = e y = 5 2 + 3i 8 Então, = - - 5 564 NÚMEROS COMPLEXOSUma maneira mais prática de dividir por consiste em multiplicar ambos pelo conjugado de Z2 e aplicar a propriedade. Exemplo: Para efetuar a divisão fazemos: 2 + 3i . - 2i) - i 1 1 + 2i . (1 - = = = 5 = - 8 - Resolvidos 3 + mi 1 Determinar o valor de m, de modo que o quociente seja um número imaginário puro. i Inicialmente devemos efetuar a = = - - + 2m) = = = 5 = + 5 5 parte real parte imaginária Devemos ter: 6 - m parte real igual a zero = = 0 m=6 5 parte imaginária diferente de zero = 5 # 0 = m # - 2 Então, m=6. 2 Determinar o conjugado do número complexo Z = Z = + 1 = i = = i - = = = = = -1 3i 1 3 = - = - - i 2 2 2 Então, = NÚMEROS COMPLEXOS 565Propostos 1490 1481 Efetue as seguintes divisões: então o número complexo 4 + 3i a) d) b) e) 1491 Bauru-SP) A expressão c) f) onde i é a uni- 10 dade imaginária, é igual a: 1482 Coloque na forma algébrica (a + bi) os nú- meros complexos: b) i e) n.d.a. a) 4 + i 1492 (AMAN-RJ) Sendo i = o resultado b) - i 1 + é igual a: - 1483 (FEI-SP) Escreva na forma a + bi quocien- te 1484 Determine valor de X, de modo que e) n.d.a. seja um número imaginário puro. i 1485 Determine valor de de modo que o número complexo i seja núme- um 1493 (Mack-SP) Sejam os números complexos 2 ro real. 1486 (FEI-SP) A forma algébrica do número com- plexo Z = + 3 é c) 1494 (UFV-MG) Calculando a expressão + obtém-se: 1487 Determine m, de modo que o número seja real. 1495 (Gama Filho-RJ) Dados os complexos 1488 (UFBA) Existe um número real X, tal que Z = os quociente i é um número imaginário valores de ae de b para os quais 1 - 3i Z V = 11 - 17i são, puro. Determine o simétrico de X. a) 1489 (Fuvest-SP) Ache os valores reais de X, de modo que a parte real do número comple- XO Z = 1 i - seja negativa (ié a unidade imaginária). 566 NÚMEROS COMPLEXOS7. Representação geométrica de um número complexo A representação geométrica de um número complexo Z = a + bi, não-nulo, é feita em um plano, denominado plano de Argand-Gauss. Veja: y Onde: P(a, b) o plano de Argand-Gauss é b o eixo real é Ox. eixo imaginário é Oy. o módulo do número complexo é ou p. o argumento do número complexo é 0 o ponto imagem ou afixo do número com- plexo = a + bi é P(a, b). a Módulo de um número complexo É a distância entre a origem o e o ponto P, que é simbolizado por ou p, onde: Exemplos: a) o módulo de é: b) o módulo = = = y y P(3, 4) 4 0 0 1 p 0 3 P(1, NÚMEROS COMPLEXOS 567 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXOArgumento de um complexo argumento de um número complexo não-nulo, indicado por arg(z), é a medida 0, sendo rad, do ângulo que se obtém girando, no sentido anti-horário, o semi-eixo real positivo Ox até encontrar argumento do número complexo Z = a + bi é determinado através das relações: y b p P b a p p 0 X a Exemplo: Para determinar o argumento do número complexo Z =1+ fazemos: a=1 sen 0 = - b = p 2 = = cos - a = - 1 p 2 Resolvido Determinar o módulo e argumento dos números complexos e representar no plano de Argand- Gauss. a) Z = + i b) d) a) y Módulo: Argumento: + b b 1 1 = 2 1° quadrante 6 = = = p REPRESENTAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO 568 NÚMEROS COMPLEXOSy = - Módulo: Argumentos 0 2 quadrante = 3 y 3 Módulo: Argumento: = sen 0 2 1° quadrante = = 2 = = 4 3 y Módulo: Argumento: 0 3 2 2 0 -3 Propostos 1499 (Mack-SP) - 1496 Determine módulo e argumento dos se- guintes números complexos: d) 10 d) e) 1500 (UFAL) Se Z é um complexo, tal que c) Z = - - i Z IN = 25, então módulo de Z c) e) 50 d) 25 1497 Represente graficamente os complexos: 1501 - i (Santa Casa-SP) Seja número complexo Z = 1 + 2xi, onde Se o módulo de b) Z = -5 - - 5i igual a 7, então pertence ao intervalo: e) 1498 (Mack-SP) módulo de 1502 Dado um número complexo não-nulo, mostre que: 4 b) 1 c) arg(z) = NÚMEROS COMPLEXOS 569 REPRESENTAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO8. Forma trigonométrica de um número complexo Sabemos que um número complexo tem como forma algébrica a expressão a + bi. Veremos agora uma forma associada à trigonometria, denominada forma trigonométrica. Seja o plano de Argand-Gauss: y P(a, b) b a e as razões trigonométricas: sen h então I p cos a então II p Substituindo as relações obtidas I e II em Z = a + bi, obtemos a forma trigonométrica do número complexo 0) Exemplo: Obtemos a forma trigonométrica do número complexo = p 2 0=60° ou = = a = 2 1 Forma trigonométrica: z=2 sen FORMA DE UM NÚMERO COMPLEXO 570 NÚMEROS COMPLEXOSResolvidos 1 Dado o número complexo Z = 2 + 2i, pede-se: a) o módulo (p) de Z c) representar Z no plano de Argand-Gauss b) argumento (0) de Z d) a forma trigonométrica de Z a) módulo de p = = b) argumento de sen = = = = = = = p 2 plano de y P(2,2) 2 2 d) A forma Z = sen 2 Calcular, na forma trigonométrica, o = sen sen + = Generalizando, temos: = NÚMEROS COMPLEXOS 571 FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXOPropostos 1503 Escrever na forma trigonométrica os números a) Z = + i i 1504 Escrever na forma algébrica os números complexos: Z = . + 1505 (UFBA) i, a representação trigonométrica de - a) COS 1506 (PUC-RS) número complexo sen escrito na forma algébrica a + bi, é: a) i b) - i d) i e) i 1507 Calcule os produtos: a) . + . + 1508 (Unirio-RJ) Seja o complexo . i sen 0) escrito na forma trigonométrica. a) 2p b) c) d) - isen e) FORMA TRIGONOMETRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO 572 NÚMEROS COMPLEXOS9. Potenciação Para elevar um número complexo não-nulo, ao expoente natural n escreve-se o número na forma trigonométrica, com o módulo p elevado ao expoente n e o argumento multiplicado pelo expoente ou seja: A igualdade acima é conhecida como a fórmula de Moivre. Se Z = 0, então = 0. Resolvido Dado número complexo calcular Escrevendo o número = + i na forma trigonométrica, temos: (cos 30° + i sen 30°) Logo, z4 = 24 = 16 120° + i sen = 16 2 + i 2 ) = Propostos 1511 (Mack-SP) 1 , i = é igual a: 1509 Dados os números complexos, faça os cál- culos solicitados: a) Z = calcule b) Z = 2 + calcule 1512 (Santa Casa-SP) Dado o número complexo c) Z = + i, calcule Z = 1 - i, igual a: d) Z = 1 - calcule a) 2i calcule 1510 (PUCCAMP-SP) módulo e argumento do 1513 (ITA-SP) valor da potência é: + i e) n.d.a a) e) i NÚMEROS COMPLEXOS 573 POTENCIAÇÃOFicha-resumo Conjunto dos números complexos com Igualdade: (a, a Adição: b + d) Multiplicação: ad + bc) Forma algébrica a (parte real) e b (parte imaginária) (unidade imaginária). Igualdade: a + di a=ceb=d Imaginário puro quando a = # 0. Real quando Potências de i i°=1 Para fazemos = = onde q é quociente de k: Operações Adição: + (c Subtração: - - - Multiplicação: (ac bd) + (ad + bc)i Conjugado bi. Divisão: Forma trigonométrica y Módulo b Argumento (0): (consultar a tabela) b 0 sen 0) a a FICHA-RESUMO 574 NÚMEROS COMPLEXOSNúmeros complexos Operações Potenciação: Complementares 1520 (Mack-SP) Simplificando obtém-se: 1514 (Cescem-SP) Determine os números reais - e que satisfazem a equação: 1515 (Santa Casa-SP) Seja a igualdade 1 + - 1521 conjugado de unidade imaginária. Os números reais xe Y, que satisfazem essa igualdade, são tais c) i 1 que d) a) 1522 (Mack-SP) valor da expressão é: - c) e)x+y= 2 1516 Obtenha o valor de de modo que o nú- 1523 (FESP-SP) valor de mero complexo Z = (-8y + 16) + i seja a) 64 c) 64i e) 256 (1 + i) um imaginário puro. d) 1517 (PUC-MG) 1524 Determine valor de xe sendo um número real quando xe são reais e: b) 2x - 3y = 0 1525 (FAAP-SP) Determine ae b, se: c) 2x + 2y = 0 d) 2x + 3y = 0 e) 3x + 2y = 0 8 + i 1526 (UCMG) quociente é igual a: 1518 Determine valor de de tal forma que o número complexo seja um número real. 1519 Calcule valor das expressões, sendo i 1527 (URRN) inverso do número complexo a unidade imaginária de um número com- plexo. 1 2 i a) c) 280 b) d) c) NÚMEROS COMPLEXOS 575 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES1528 (PUC-SP) Dê o conjugado do número com- 1534 (UEL-PR) argumento principal do número complexo Z = -1 + 6 1529 (Cesgranrio-RJ) Determine o módulo do b) 3 e) 3 complexo -5 - i 6 1530 (UEL-PR) número real positivo k que k - i 1535 Escreva na forma trigonométrica os seguin- o módulo do número complexo Z = tes números complexos: igual a 5 é: - d) 4 c)z=1+i b) 2 e) 5 c) (1+i)2 1531 (Fesp-SP) módulo de 1536 Escreva na forma algébrica os seguintes nú- meros complexos: a) 25 3 25 5 2 Z = 2 COS + 1532 (ITA-SP) Sejam xe ynúmeros reais, tais que: + i { - 3xy2 = 1 3x2y - = 1 1537 (UFOP) Coloque na forma a + bi o número Então, número complexo iy é tal valem, respectivamente: Z = 1 - 1538 Dados os números complexos, calcule o que se a) Z = 4 + 4i calcule 1533 (Fuvest-SP) Determine dois números com- b) Z = - i plexos e tais que = 1, = 1 e + 1539 (UFU-MG) Calcule (1 + EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 576 NÚMEROS COMPLEXOSSaiba um mais A órbita do Quando, em outubro de 1982, as- trônomos do Observatório de Monte planeta Palomar (EUA) detectaram pela pri- meira vez a nova aproximação do Halley, ele se encontrava entre as bitas de Saturno e de Urano, a 11,04 Halley unidades astronômicas do Sol (uma unidade astronômica, ou UA, tem 150 milhões de quilômetros, distância média entre a Terra e o Sol). A órbita real percorrida pelo cometa é mais complicada do que se pensa, pois não é definida apenas pela atração gravitacional exercida pelo Sol, embo- ra esta seja preponderante. A ela, so- mam-se perturbações decorrentes da gravidade dos planetas que, em mo- vimento incessante, introduzem mu- tações contínuas na trajetória dos cor- pos que deles se aproximam. Por isso, a órbita calculada para um certo ins- tante - chamada órbita osculatriz representa meramente aquela que tangencia a complicada órbita verda- deira no ponto em que o cometa se encontra. Para caracterizar uma órbita são necessários cinco parâmetros, ou ele- mentos orbitais, mostrados na figura: ângulo de inclinação, distância perié- lica, argumento do periélio, longitude do nodo ascendente e excentricidade. Um sexto elemento, o instante da pas- sagem do cometa pelo periélio, per- mite situá-lo na órbita em qualquer instante.plano da órbita do cometa Halley plano das órbitas dos planetas Netuno Urano Saturno Marte Terra 1985 1984 1980 A 1948 P - periélio (ponto mais próximo do Sol) A - afélio (ponto mais afastado do Sol) nodo P descendente posição da Terra em 21/03/86 (início do outono) Sol posição da Terra em 09/02/86 Y (periélio do Halley) nodo ascendente linha dos nodos i = 0 plano percorrido pelo Halley em sua longa trajetória não coincide com 0 das órbitas planetárias, e 0 sentido do movimento do cometa é oposto ao daquele realizado pelos planetas. À esquerda, destaca-se 0 trecho da do cometa nas proximidades da Terra e os cinco elementos necessários para defini-la: ângulo de inclinação distância periélica (q), argumento do longitude do nodo ascendente contado a partir da direção em que 0 Sol passa do hemisfério celeste Sul para 0 Norte no começo do outono) e excentricidade (e). Esse último parâmetro mede achatamento da elipse ( = a sendo a 0 semi-eixo malor da elipse 1 qadvento da era das missões espaciais tornou muito mais severas as exi- gências relativas ao conhecimento das órbitas dos corpos celestes. Cálculos ba- seados apenas na ação das forças gravitacionais apresentam pequena margem de erro, já detectada em 1822 na passagem do Encke, segundo cometa a ter seu retorno previsto e confirmado, e o de período orbital mais curto: 3,3 anos. Neste caso, algumas horas separavam a previsão da teoria gravitacional e a órbita ob- servada. Verificou-se então a necessidade de levar em conta a influência de for- ças não gravitacionais, de origem ainda obscura e sem representação matemáti- ca formal inteiramente satisfatória. Hoje, acredita-se que a rotação do corpo cen- tral (núcleo sólido) do cometa em torno de seu próprio eixo e a ejeção nente de gases nas partes aquecidas pela insolação têm efeito de empuxo seme- lhante ao de um foguete. Por isso, aplica-se sempre uma correção semi-empírica quando é necessário determinar com precisão a órbita do Halley, para efeito, por exemplo, de correção da trajetória das naves espaciais que vão abordá-lo. Tam- bém serão usadas as novas posições aparentes captadas pela rede astrométrica do IHW na Terra e pelo espacial norte-americano, que alimentarão um trabalho de permanente reavaliação de dados e prognósticos. Fonte: extraído de Bem-vindo Halley! MATSUURA, Oscar T., Revista Ciência Hoje, SBPC, V. 4, n. 21, p. 36.