Antenas e Propagação de Ondas Eletromagnéticas

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Universidade de Bras��lia
Faculdade de Tecnologia
Departamento de Engenharia El�etrica
Antenas e Propagac¸a˜o
Antonio Jose´ Martins Soares
Franklin da Costa Silva
Agosto de 2003
�Indice
1 Comunicac¸o˜es via ra´dio 1
1.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Espectro eletromagn�etico de frequ¨e^ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Caracter��sticas da onda eletromagn�etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 Frente de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Per��odo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.3 Velocidade de propaga�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.4 Comprimento de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.5 Polariza�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Mecanismos de radia�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Linhas de Transmissa˜o e Guia de Ondas 11
2.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Ondas guiadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 A linha de transmiss~ao de dois condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Impeda^ncia caracter��stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Atenua�c~ao e perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3 Reflex~ao de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.4 Linha de transmiss~ao uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Guia de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Termina�c~oes em guias de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2 M�etodos de acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Conceitos ba´sicos de antenas 35
3.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Equa�c~oes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1 Condi�c~oes de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 Fun�c~oes potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Dipolo el�etrico elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1 Campos radiados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Pote^ncia radiada e resiste^ncia de radia�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.3 Diretividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
i
ii ENE - FT - UnB
3.3.4 Influe^ncia de um plano condutor in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Antena dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 No�c~oes de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6 Alimenta�c~ao de antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.7 Baluns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Paraˆmetros principais de antenas 57
4.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Diagrama de radia�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Polariza�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 �Area efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Diretividade e Ganho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6 Rela�c~ao frente-costas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7 Impeda^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.8 Largura de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.9 Temperatura de ru��do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Tipos de antenas 67
5.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Antenas eletricamente curtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Antenas ressonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4 Antenas de banda larga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5 Antenas de abertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6 Propagac¸a˜o de Ondas Eletromagne´ticas 79
6.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Propaga�c~ao no espa�co livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3 Intensidade de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Pote^ncia efetiva isotropicamente radiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.5 A atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.5.1 Troposfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.5.2 Estratosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.5.3 Ionosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.6 Propaga�c~ao na atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.7 Modos de propaga�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.7.1 VLF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.7.2 LF e MF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.7.3 HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.7.4 VHF e UHF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.7.5 SHF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.7.6 EHF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Antenas e Propagac¸a˜o iii
6.8 O efeito da atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.8.1 Raio efetivo da terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.9 Efeitos do terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.9.1 Princ��pio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.9.2 Difra�c~ao por obst�aculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.9.3 Zonas de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.9.4 Perdas por difra�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.10 Antenas localizadas sobre a terra plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.10.1 Coe�cientes de reflex~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.11 Antenas localizadas sobre a terra esf�erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.12 Rugosidade da terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Refereˆncias 103
Cap��tulo 1
Comunica�c~oes via r�adio
1.1 Introdu�c~ao
A Fig.1.1 mostra de forma simpli�cada um sistema de radiocomunica�c~ao. A informa�c~ao a ser
transmitida �e inserida em uma portadora de radiofrequ¨e^ncia (RF) no equipamento transmis-
sor. A energia associada �a portadora de (RF) modulada �e enviada, por meio de uma linha de
transmiss~ao especial, para a antena transmissora, onde �e, �nalmente, radiada para o espa�cona
forma de uma onda eletromagn�etica. Antenas receptoras, quando colocadas no caminho da onda
eletromagn�etica, absorvem parte da sua energia e a enviam para um equipamento receptor, que
recupera a informa�c~ao.
A pote^ncia da portadora de RF gerada no transmissor, a dista^ncia entre o transmissor
e o receptor e a sensibilidade do receptor s~ao alguns fatores importantes para a viabiliza�c~ao de
comunica�c~ao por meio de ondas eletromagn�eticas. Al�em disso, a propaga�c~ao da onda eletro-
magn�etica �e influenciada pelas condi�c~oes da atmosfera terrestre e pela natureza do solo entre os
pontos de transmiss~ao e de recep�c~ao; sinais interferentes podem impossibilitar a recep�c~ao du-
rante algum intervalo de tempo; e ru��dos e perdas presentes na linha de transmiss~ao di�cultam
a identi�ca�c~ao do sinal.
Qualquer dispositivo conectado a uma fonte de energia que produza campos eletro-
magn�eticos em uma regi~ao externa �e um sistema radiante. A antena �e a parte desse sistema
constru��da de modo a maximizar ou a acentuar a radia�c~ao de energia e, ao mesmo tempo, mini-
mizar ou suprimir a energia restante. A teoria de antenas, portanto, admite implicitamente que
ela esteja acoplada a uma fonte de energia n~ao-radiante por meio de uma linha de transmiss~ao
tamb�em n~ao-radiante.
Em resumo, tanto a investiga�c~ao da propaga�c~ao das ondas eletromagn�eticas como o
estudo de antenas s~ao essenciais para um completo entendimento dos sistemas de comunica�c~ao
via r�adio.
1.2 Espectro eletromagn�etico de frequ¨e^ncias
Uma grande variedade de enlaces via r�adio pode ser implementada usando como portadora
uma frequ¨e^ncia do espectro eletromagn�etico. Os organismos de regula�c~ao limitam a faixa de
1
2 ENE - FT - UnB
Figura 1.1: Componentes b�asicos de um sistema de comunica�c~oes via r�adio.
radiofrequ¨e^ncias (RF) entre 30 kHz e 300 GHz, embora a propaga�c~ao de ondas eletromagn�eticas
tamb�em seja poss��vel abaixo de alguns kHz. Por acordo internacional a faixa de RF �e dividida
em bandas, cada banda sendo designada por um nome. A Tab.1.1 mostra as v�arias bandas de
frequ¨e^ncias com as aplica�c~oes t��picas.
Assim como o petr�oleo, o espectro de RF �e um recurso natural escasso e, portanto, deve
ser utilizado de forma prudente e conservativa. V�arios servi�cos como r�adio AM, r�adio FM, TV,
celular, sat�elite e enlaces �xos terrestres devem compartilhar desse espectro comum. Al�em disso,
cada um desses servi�cos deve crescer e se expandir sem causar interfere^ncia em outro.
A tarefa de alocar e controlar o espectro de RF �e de responsabilidade de um comite^ inter-
nacional de padroniza�c~ao, criado pelas Na�c~oes Unidas e denominado de Uni~ao Internacional de
Telecomunica�c~oes (ITU - International Telecommunications Union). Os �org~aos do ITU de inter-
esse para comunica�c~oes via r�adio s~ao as age^ncias designadas de ITU-T (anteriormente CCITT) e
ITU-R (anteriormente CCIR). Dentro do ITU-R, a WARC (World Administrative Radio Confer-
ence) �e respons�avel pela aloca�c~ao de uma banda espec���ca de frequ¨e^ncia para os servi�cos atuais e
futuros, e a RRB (Radio Regulations Board, anteriormente IFRB) de�ne as regras internacionais
para a utiliza�c~ao da frequ¨e^ncia dentro dessas bandas. O ITU dividiu o mundo em tre^s regi~oes,
Fig.1.2. A regi~ao 1 inclui a Europa, a �africa e a Comunidade dos Estados Independentes; a
regi~ao 2 inclui a Am�erica do Norte e a Am�erica da Sul; a regi~ao 3 inclui a �asia, a Austr�alia e o
Pac���co.
1.3 Caracter��sticas da onda eletromagn�etica
Para o entendimento de sistemas radiantes e da propaga�c~ao de energia, �e importante o conheci-
mento de conceitos associados a uma onda eletromagn�etica e tamb�em �as suas caracter��sticas na
regi~ao distante da fonte de radia�c~ao.
Antenas e Propagac¸a˜o 3
Tabela 1.1: Designa�c~ao das bandas de frequ¨e^ncias e aplica�c~oes t��picas.
banda de frequ¨e^ncias designa�c~ao aplica�c~oes t��picas
3 - 30 kHz very low frequency (VLF) navega�c~ao em longas dista^ncias, co-
munica�c~oes submarinas
30 - 300 kHz low frequency (LF) navega�c~ao em longas dista^ncias,
r�adio farol mar��timo
300 - 3.000 kHz medium frequency (MF) AM comercial, r�adio mar��timo,
frequ¨e^ncias de emerge^ncia
3 - 30 MHz high frequency (HF) r�adio amador, comunica�c~oes mi-
litares, broadcasting internacional,
comunica�c~oes com avi~oes e navios
em grandes dista^ncias
30 - 300 MHz very high frequency (VHF) televis~ao VHF, r�adio FM, co-
munica�c~ao AM a�erea, aux��lio �a
navega�c~ao a�erea
0,3 - 3 GHz ultra high frequency (UHF) televis~ao UHF, radar, enlaces de mi-
croondas, aux��lio �a navega�c~ao
3 - 30 GHz super high frequency (SHF) comunica�c~oes por sat�elite, enlaces
de microondas e radar
30 - 300 GHz extra high frequency (EHF) radar, sat�elite experimental.
103 - 107 GHz infravermelho, luz vis��vel, ul-
travioleta
comunica�c~oes �opticas.
Figura 1.2: Mapa regional do ITU.
4 ENE - FT - UnB
Figura 1.3: Campos vetoriais E e H de onda eletromagn�etica.
1.3.1 Frente de onda
Distante da antena transmissora, uma onda eletromagn�etica tem duas componentes vetoriais
mutuamente perpendiculares: um campo el�etrico e um campo magn�etico. Esses dois campos s~ao
normais �a dire�c~ao de propaga�c~ao, o que caracteriza uma onda transverso eletromagn�etica (TEM),
Fig.1.3. Os campos el�etrico e magn�etico interagem um com o outro; um campo magn�etico
variante induz um campo el�etrico e um campo el�etrico variante induz um campo magn�etico.
A frente de onda �e uma superf��cie imagin�aria formada por pontos em que os campos
te^m fase constante. Se, al�em da fase constante, os campos te^m a mesma magnitude em qualquer
ponto da frente de onda, ela �e uniforme. Nesse caso, os valores m�aximos e m��nimos dos vetores
campo el�etrico e campo magn�etico ocorrem no mesmo instante de tempo e s~ao independentes
do ponto de observa�c~ao na frente de onda. Ondas eletromagn�eticas no espa�co livre caminham
como uma onda plana n~ao uniforme.
1.3.2 Per��odo
O per��odo de uma onda �e o intervalo de tempo necess�ario para que os vetores campos el�etrico e
magn�etico dessa onda voltem a se repetir. O per��odo T �e expresso por
T =
1
f
(s) (1.1)
em que f �e a frequ¨e^ncia da onda (o n�umero de ciclos por segundo, em Hz).
1.3.3 Velocidade de propaga�c~ao
A velocidade de propaga�c~ao da onda depende do meio no qual ela se propaga e �e determinada
por
v =
1p
µε
�
m
s
�
(1.2)
Antenas e Propagac¸a˜o 5
Figura 1.4: Comportamento espacial dos campos el�etrico e magn�etico em uma onda polarizada linear-
mente na vertical.
em que µ �e a permeabilidade do meio e ε �e a permissividade do meio. No v�acuo,
v = c =
1p
µ0ε0
’ 3� 108 (1.3)
em que µ0 = 4pi� 10−7 H/m e ε0 = 8, 854� 10−12 F/m. Um outro meio qualquer �e especi�cado
em termos da permissividade relativa µr = µ/µ0 e da permeabilidade relativa εr = ε/ε0.
1.3.4 Comprimento de onda
O comprimento de onda �e a menor dista^ncia entre duas superf��cies de mesma fase. O compri-
mento de onda λ �e expresso por
λ =
v
f
(m) (1.4)
1.3.5 Polariza�c~ao
Uma onda eletromagn�etica monocrom�atica - que varia senoidalmente no tempo - �e caracterizada
no ponto de observa�c~ao pela frequ¨e^ncia, magnitude, fase e polariza�c~ao. A polariza�c~ao da onda
�e de�nida no plano que cont�em o vetor campo el�etrico. Ela �e a �gura que o campo el�etrico
instanta^neo tra�ca, com o tempo, num ponto �xo de observa�c~ao. Um exemplo �e a onda linearmente
polarizada na vertical, mostrada na Fig.1.4 para um instante �xo de tempo. Quando o tempo
avan�ca, o campo el�etrico num ponto �xo oscila para cima e para baixo ao longo de uma linha
vertical. Como indicado na �gura, as varia�c~oes temporal e espacial do campo magn�eticos~ao
similares �as do campo el�etrico, exceto que o campo magn�etico �e perpendicular ao campo el�etrico.
Para uma onda completamente polarizada, a �gura tra�cada pelo campo el�etrico �e uma
elipse, Fig.1.5. A rota�c~ao, em uma frequ¨e^ncia angular ω, pode ocorrer num determinado sentido.
Se a onda est�a se deslocando na dire�c~ao do observador e o vetor rotaciona na dire�c~ao dos
ponteiros do rel�ogio, a onda est�a polarizada para a esquerda. A regra da m~ao esquerda se
aplica nesse caso. Caso contr�ario, a onda est�a polarizada para a direita. Ondas eleipticamente
polarizadas para a esquerda e direita s~ao mostradas nas Fig.1.5a e Fig.1.5b. Se o vetor campo
6 ENE - FT - UnB
Figura 1.5: Comportamento espacial do campo el�etrico em uma onda elipticamente polarizada. A onda
se aproxima do observador.
Figura 1.6: Polariza�c~ao circular. A onda se aproxima do observador.
el�etrico permanece constante em comprimento mas rotaciona sobre um caminho circular, ele
est�a circularmente polarizado, Fig.1.6a e Fig.1.6b. O comportamento tempo-espa�co da onda
circularmente polarizada �e dif��cil de visualizar. A Fig.1.7 fornece uma vista em perspectiva
espacial de uma onda circularmente polarizada para a esquerda. Na medida em que essa onda
se desloca na dire�c~ao do eixo +z, o campo el�etrico em um ponto �xo rotaciona na dire�c~ao dos
ponteiros do rel�ogio no plano xy (resultando em uma onda circularmente polarizada para a
esquerda). Isso �e ilustrado na �gura com a sequ¨e^ncia da varia�c~ao no tempo do vetor campo
el�etrico em um plano.
1.4 Mecanismos de radia�c~ao
Considere uma fonte de voltagem conectada a uma antena por meio de uma linha de transmiss~ao
de dois condutores. Aplicando-se uma voltagem na entrada da linha cria-se um campo el�etrico
entre os seus condutores, cujas linhas de s~ao mostradas na Fig.1.8. As linhas de fluxo for�cam
os el�etrons livres dos condutores a se deslocarem. O movimento de cargas origina uma corrente
que, por sua vez, cria um campo magn�etico com suas respectivas linhas de fluxo.
Antenas e Propagac¸a˜o 7
Figura 1.7: Vista em perspectiva de uma onda circularmente polarizada para a esquerda.
As linhas de campo el�etrico iniciam em cargas positivas e terminam em cargas negativas.
Elas tamb�em podem iniciar em cargas positivas e terminar no in�nito, iniciar no in�nito e
terminar em cargas negativas, ou formar caminhos fechados n~ao iniciando nem terminando em
cargas. As linhas de campo magn�etico sempre formam percursos fechados envolvendo condutores
carregando correntes porque n~ao existem cargas magn�eticas.
As linhas de campo el�etrico, mostradas na Fig.1.8 entre os dois condutores, auxiliam a
visualiza�c~ao das distribui�c~oes de cargas. Assumindo-se que a fonte de voltagem �e senoidal, ent~ao
que o campo el�etrico entre os condutores tamb�em �e senoidal, com um per��odo igual ao da fonte. A
amplitude relativa da intensidade de campo el�etrico �e indicada pela densidade de linhas de for�ca,
com as setas mostrando o sentido positivo ou negativo. Os campos el�etrico e magn�etico variando
no tempo entre os condutores formam ondas eletromagn�eticas que caminham ao longo da linha
de transmiss~ao, Fig.1.8a. As ondas eletromagn�eticas entram na antena e te^m, associadas com
elas, cargas el�etricas e a corrente correspondente. Removendo-se parte da estrutura da antena,
como na Fig.1.8b, as ondas no espa�co livre podem ser formadas fechando-se as extremidades
das linhas de campo el�etrico (linhas pontilhadas). Essas ondas s~ao tamb�em peri�odicas, mas
um ponto de fase constante P0 move-se externamente com a velocidade da luz e caminha uma
dista^ncia λ/2 (para P1) no intervalo de tempo de meio per��odo.
Para se entender como as ondas guiadas s~ao liberadas da antena dando origem �as ondas
no espa�co livre, conforme indicado por linhas fechadas na Fig.1.8, pode-se fazer uma analogia
8 ENE - FT - UnB
Figura 1.8: Fonte, linha de transmiss~ao e antena.
entre as ondas no espa�co livre e as ondas criadas ao se atirar uma pedra em um lago. Quando
a perturba�c~ao na �agua inicia, as ondas criadas se deslocam afastando-se do ponto onde a pedra
caiu. Se a perturba�c~ao persiste, novas ondas s~ao criadas mas atrasadas em suas propaga�c~oes
com rela�c~ao �as iniciais.
Processo semelhante acontece com as ondas eletromagn�eticas criadas por uma per-
turba�c~ao el�etrica. Se a perturba�c~ao el�etrica inicial produzida pela fonte �e de curta dura�c~ao,
as ondas eletromagn�eticas criadas caminham dentro da linha de transmiss~ao, em seguida pela
antena e �nalmente ser~ao radiadas como ondas no espa�co livre, mesmo se a fonte el�etrica n~ao mais
existe. Se a perturba�c~ao el�etrica �e de natureza cont��nua, as ondas eletromagn�eticas se deslocam
continuamente uma ap�os a outra, como mostrado na Fig. 1.9 para uma antena bico^nica.
As ondas eletromagn�eticas no interior da linha de transmiss~ao e da antena est~ao asso-
ciadas com as cargas presentes nos condutores. No entanto, quando as ondas s~ao radiadas, elas
formam caminhos fechados sem cargas associadas. Com isso se conclui que cargas el�etricas s~ao
necess�arias para excitar mas n~ao para manter os campos, que podem existir na sua ause^ncia.
Essa �e uma analogia direta com as ondas na �agua.
O mecanismo pelo qual as linhas de for�ca de campo el�etrico se libertam da antena,
Antenas e Propagac¸a˜o 9
Figura 1.9: Linhas de campo el�etrico no espa�co livre produzidas por uma antena bico^nica.
para formar ondas no espa�co livre, pode ser ilustrado pelo exemplo de uma antena curta com
rela�c~ao ao comprimento de onda. Nessa antena, o tempo de deslocamento �e desprez��vel, o que
permite uma melhor interpreta�c~ao f��sica do desprendimento das linhas de for�ca. Embora seja
um mecanismo simpli�cado, ele permite a visualiza�c~ao da cria�c~ao das ondas no espa�co livre.
A Fig.1.10a mostra as linhas de for�ca criadas entre os bra�cos de um dipolo eletricamente
curto alimentado pelo centro, no primeiro quarto do per��odo, tempo durante o qual as cargas
atingem seu valor m�aximo (assumindo uma varia�c~ao senoidal no tempo) e as linhas caminham
a partir do centro de uma dista^ncia radial igual a λ/4. Neste exemplo, assuma que o n�umero
de linhas formadas s~ao tre^s. Durante o pr�oximo quarto do per��odo, as tre^s linhas originais
caminham uma dista^ncia adicional de λ/4 (um total de λ/2 do ponto inicial) e a densidade de
cargas nos condutores come�ca a diminuir. Isso pode ser entendido como sendo acompanhado
pela introdu�c~ao de cargas opostas que no �nal da primeira metade do per��odo neutralizam as
cargas nos condutores. As tre^s linhas de for�ca criadas pelas cargas opostas caminham uma
dista^ncia de λ/4 durante o segundo quarto da primeira metade do per��odo. Elas s~ao mostradas
pontilhadas na Fig.1.10b. O resultado �nal �e que existem tre^s linhas de for�ca apontando num
sentido na primeira dista^ncia de λ/4 e o mesmo n�umero de linhas apontando no sentido contr�ario
na segunda dista^ncia de λ/4. Como n~ao existem cargas l��quidas na antena, as linhas de for�ca
devem ser for�cadas a se desprender dos condutores e se unir para formar caminhos fechados,
Fig.1.10c. Na segunda metade do per��odo, o mesmo feno^meno ocorre mas em sentido oposto. A
seguir, o processo se repete e continua inde�nidamente.
10 ENE - FT - UnB
Figura 1.10: Forma�c~ao e libera�c~ao das linhas de campo el�etrico pelo dipolo curto.
Cap��tulo 2
Linhas de Transmiss~ao e Guia de Ondas
2.1 Introdu�c~ao
As ondas guiadas, presentes em linhas de transmiss~ao ou em guias de ondas, te^m comportamento
de propaga�c~ao diferente das ondas radiadas. A linha de transmiss~ao �e um componente importante
dos sistemas de comunica�c~oes; consequ¨entemente, o seu comportamento e caracter��siticas b�asicas
devemser conhecidos com algum detalhe. Neste cap��tulo, s~ao discutidos os conceitos b�asicos de
linhas de transmiss~ao de dois condutores e guias de ondas.
2.2 Ondas guiadas
Em uma onda eletromagn�etica, uma varia�c~ao do campo el�etrico produz um campo magn�etico
variante, que gera um campo el�etrico e, dessa forma, energia se propaga. Uma linha de trans-
miss~ao �e um dispositivo de dois terminais capaz de guiar energia de um ponto a outro. Em um
dos terminais a pote^ncia (ou informa�c~ao) �e inserida e no outro terminal essa pote^ncia �e extra��da.
Ent~ao, uma linha de transmiss~ao pode ser vista como um dispositivo de quatro terminais para
conectar dispositivos el�etricos.
Os cabos el�etricos de liga�c~ao de uma la^mpada ou ferramenta s~ao exemplos de linhas
de transmiss~ao, como tamb�em o s~ao os �os de telefone, de �audio, de v��deo e mesmo as �bras
nervosas do corpo humano. As interconex~oes de todos os circuitos el�etricos, guias de onda -
condutores met�alicos ocos de se�c~oes transversais diversas -, �bras �opticas, e at�e mesmo enlaces
de r�adio podem ser vistos como exemplos de linhas de transmiss~ao, Fig.2.1.
As linhas de transmiss~ao est~ao por toda parte e apresentam uma variedade in�nita.
Por�em, indiferente ao tipo de constru�c~ao, todas operam de acordo com os mesmos princ��pios
b�asicos que ser~ao discutidos a seguir.
�e conveniente classi�car as linhas de transmiss~ao em tre^s grupos principais de acordo
com o modo de opera�c~ao: modo TEM; modo de ordem superior; e as ondas espaciais no modo
TEM.
Uma propriedade das linhas de dois condutores - bi�lar, coaxial, micro�ta - �e que os
campos el�etrico e magn�etico s~ao transversos �a dire�c~ao de propaga�c~ao da onda. Tais campos s~ao
conhecidos como modos TEM, e, para esses modos, as grandezas escalares V e I s~ao relacionadas
11
12 ENE - FT - UnB
Figura 2.1: Exemplos de linhas de transmiss~ao.
diretamente aos campos vetoriais E e H da linha de transmiss~ao. Logo, essas estruturas podem
ser analisadas usando a aproxima�c~ao para circuitos, que �e um procedimento mais r�apido e menos
complexo, quando comparado �a teoria geral dos campos, em que as inc�ognitas s~ao os campos
el�etrico e magn�etico.
De outra forma, guias de onda (os quais s~ao constru��dos de condutores ocos), estruturas
de condutor �unico e guias de onda diel�etricos te^m campos eletromagn�eticos com componentes
na dire�c~ao de propaga�c~ao da onda. Tais con�gura�c~oes de campo (conhecidos como modos de
ordem superior), somente podem ser analisadas utilizando a teoria de campos eletromagn�eticos.
O principal uso de linhas de transmiss~ao �e a transfere^ncia de sinais e pote^ncia entre
dois pontos. As linhas de transmiss~ao s~ao geralmente grandes em uma dimens~ao e pequenas nas
outras duas. Nas frequ¨e^ncias utilizadas para transmiss~ao de pote^ncia, as dimens~oes transversais
s~ao muito pequenas quando comparadas com λ (comprimento de onda). Por exemplo, para uma
frequ¨e^ncia de 60 Hz, o comprimento de onda �e de 5.000 km e as dimens~oes transversais s~ao da
ordem de metro ou menos. Mesmo a dimens~ao longitudinal �e, na maioria dos casos, apenas uma
fra�c~ao de λ.
Antenas e Propagac¸a˜o 13
Para frequ¨e^ncias mais altas, os comprimentos das linhas de transmiss~ao podem ser de
v�arios comprimentos de onda. Na frequ¨e^ncia de 1 GHz, a qual �e o limite para a maioria das
linhas pr�aticas tais como linhas coaxiais e de �os paralelos, a se�c~ao transversal �e da ordem de
0,03λ. Acima de 1 GHz, as perdas inviabilizam o uso pr�atico dessas linhas. Como exemplo, um
cabo coaxial operando a 5 GHz pode apresentar perdas acima de 100 dB/km.
Na faixa de 1 GHz a 100 GHz, guias de ondas s~ao usados. As se�c~oes transversais dos
guias de onda s~ao da ordem de λ. Em 10 GHz, uma frequ¨e^ncia t��pica de opera�c~ao de guias de
onda, um guia de 10 m de comprimento tem v�arias centenas de comprimentos de onda.
Acima de 100 GHz, os guias de onda s~ao dif��ceis de serem usados devido a di�culdade
de constru�c~ao, uma vez que sua se�c~ao transversal �ca muito pequena. Ent~ao, guias de ondas
�opticos tornam-se mais adequados, apresentando perdas de 0,3 dB/km e 0,2 dB/km, operando
em comprimentos de onda ao redor de 1,3 µm e 1,55 µm, respectivamente. Nesse caso, a se�c~ao
transversal �e grande quando comparada com o comprimento de onda, geralmente excedendo
100λ (125 µm �e um valor t��pico do dia^metro da �bra). Claramente, qualquer �bra �optica na
pr�atica tem uma dimens~ao de v�arios milh~oes de comprimentos de onda.
2.3 A linha de transmiss~ao de dois condutores
A Fig.2.2a ilustra o processo de forma�c~ao de diferentes estruturas de dois condutores, a
partir de c�elulas de campo, onde se tem uma onda se propagando para fora da p�agina com
os campos E e H como indicados. Na Fig.2.2b, placas condutoras paralelas s~ao posicionadas
perpendiculares a E e paralelas a H, n~ao afetando a con�gura�c~ao da onda. Esta c�elula de campo,
ilustrada na Fig.2.2c com extens~ao in�nita, pode ser visualizada como uma linha de transmiss~ao
de duas placas paralelas, Fig.2.2d. Note que E e H est~ao sempre perpendicular e paralelo �as
placas, respectivamente. Encurvando-se as placas, como nas Figs.2.2e ou 2.2f, e continuando
esse encurvamento at�e que os condutores se fechem na se�c~ao transversal, te^m-se as linhas de
transmiss~ao de dois condutores cil��ndricos, Fig.2.2g, e a linha coaxial, Fig.2.2h. Uma outra
estrutura de muito interesse que pode surgir da Fig.2.2b �e a linha de micro�ta, muito empregada
na tecnologia de circuitos integrados. Neste caso, uma das �tas �e mais estreita que a outra,
Fig.2.2i, podendo-se ainda colocar um material diel�etrico entre elas, Fig.2.2j.
As linhas de dois condutores paralelos, Fig.2.2g, te^m sido muito usadas para frequ¨e^ncias
at�e a faixa de VHF, podendo-se citar sua aplica�c~ao na recep�c~ao de TV e r�adio FM. Por�em, apesar
de apresentarem vantagens como baixo custo, impeda^ncia caracter��stica alta (o que diminui
as perdas em circuitos de pote^ncia de RF, devido a menor corrente na linha), elas te^m como
desvantagens n~ao serem imunes a ru��dos externos, suas caracter��sticas se alteram quando imersas
em locais �umidos ou pr�oximas de condutores e ainda perdem parte da energia por radia�c~ao �a
medida que a frequ¨e^ncia aumenta.
As linhas coaxiais, Fig.2.2h, apresentam como principal caracter��stica o fato de serem
blindadas pelo condutor externo, o que as tornam imunes a ru��do e perdas por radia�c~ao. Por�em,
as perdas para frequ¨e^ncias acima de 1 GHz as tornam invi�aveis para aplica�c~oes a partir dessa
14 ENE - FT - UnB
Figura 2.2: Evolu�c~ao de uma linha de transmiss~ao a partir de uma c�elula de campo para a linha de dois
condutores, coaxial e de micro�ta.
Antenas e Propagac¸a˜o 15
Figura 2.3: Cabo coaxial (a) flex��vel; (b) semiflex��vel; (c) r��gido.
frequ¨e^ncia.
A Fig.2.3 apresenta tre^s tipos de linhas coaxiais. Na Fig.2.3a, tem-se o cabo coaxial mais
comum, muito usado na recep�c~ao de TV devido a facilidade de manuseio por ser flex��vel. As
Figs.2.3b e 2.3c mostram um cabo semiflex��vel e um cabo coaxial constituindo de dois condutores
r��gidos, respectivamente. O cabo r��gido geralmente tem aplica�c~ao em frequ¨e^ncias de microondas
e �e preenchido por um diel�etrico que pode ser constitu��do de material s�olido ou ar, ou um g�as
sobre press~ao. Tal procedimento, que evita a entrada de umidade, �e tamb�em utilizado em guias
de ondas.
Cabos coaxiais com encapsulamento met�alico duplo apresentam maior prote�c~ao contra
radia�c~ao e interfere^ncias eletromagn�eticas de fontes externas. A Fig.2.4 mostra uma linha coaxial
com duas malhas condutoras.
Um circuito equivalente para uma se�c~ao de linha de transmiss~ao �e mostrado na Fig.2.5,
onde observa-se queuma linha de transmiss~ao �e essencialmente um dispositivo de quatro ter-
minais. Dois terminais (entrada) s~ao conectados, por exemplo, ao transmissor e os outros dois
(sa��da) s~ao conectados �a antena. Entre esses terminais est~ao distribu��dos os para^metros in-
16 ENE - FT - UnB
Figura 2.4: Cabo coaxial com encapsulamento met�alico duplo.
Figura 2.5: Circuito equivalente para uma se�c~ao de linha de transmiss~ao.
duta^ncia, capacita^ncia, resiste^ncia e conduta^ncia. Os valores desses para^metros dependem das
caracter��sticas f��sicas da linha e n~ao podem, realmente, ser distinguidos como mostrados na
Fig.2.5.
A resiste^ncia �e distribu��da ao longo de toda a linha, sendo dimensionada em ohms por
metro e �e considerada como em s�erie com a linha. A conduta^ncia tem sua origem na corrente
de fuga atrav�es do diel�etrico entre os condutores, sendo portanto posicionada em paralelo com
a linha.
Os condutores tamb�em possuem uma induta^ncia distribu��da, em s�erie com a linha. Esta
pode ser vista como a a�c~ao de campos magn�eticos causados pelos fluxos de corrente. Se o fluxo
de corrente tende a cair para zero rapidamente, os campos magn�eticos em decr�escimo tendem a
manter esse fluxo de corrente.
2.3.1 Impeda^ncia caracter��stica
Associada aos para^metros distribu��dos, pode-se de�nir uma impeda^ncia caracter��stica para a
linha de transmiss~ao. Assumind-se uma linha in�nitamente longa, a impeda^ncia caracter��stica
determina a corrente que flui quando uma dada voltagem �e aplicada na linha. Para linhas sem
perdas, essa impeda^ncia �e puramente resistiva e constante.
A impeda^ncia caracter��stica �e importante no c�alculo de quanto de energia �e transferida
da fonte para a carga. Para uma linha in�nita, toda a energia da fonte �e transferida para a linha
e nenhuma pote^ncia retorna para a fonte. Se a linha �e �nita e termina em uma carga puramente
Antenas e Propagac¸a˜o 17
resistiva e com valor igual a sua impeda^ncia caracter��stica, a fonte a sentir�a como uma linha
in�nita e toda a energia conduzida pela linha �e absorvida pela carga. Se a linha �e terminada
com qualquer outra carga, energia �e refletida de volta �a fonte.
A Tab.2.1 mostra alguns tipos de linhas de transmiss~ao de dois condutores e as respec-
tivas f�ormulas para o c�alculo da impeda^ncia caracter��stica (Z0).
2.3.2 Atenua�c~ao e perdas
Uma linha de transmiss~ao ideal n~ao tem perdas. Contudo, as linhas de transmiss~ao na pr�atica
dissipam pote^ncia de tre^s formas.
1. Radia�c~ao: a linha de transmiss~ao tende a agir como se fosse uma antena, e perdas por
radia�c~ao podem ser consider�aveis para alguns tipos de linha.
2. Aquecimento: a resiste^ncia dos condutores dissipam uma quantidade de pote^ncia em forma
de calor (perda o^hmica). Perdas o^hmicas tamb�em podem ocorrer de correntes de fuga entre
os condutores (perdas no diel�etrico). Perdas o^hmicas aumentam em linhas com baixa
impeda^ncia caracter��stica por causa das altas correntes que podem fluir.
3. Reflex~ao: para uma linha com impeda^ncia caracter��stica real com uma carga diferente de
Z0, energia �e refletida de volta �a fonte. Como resultado, te^m-se perdas por reflex~ao.
2.3.3 Reflex~ao de energia
Quando a linha �e in�nita, a energia injetada pelo transmissor resulta em uma onda que se
propaga inde�nidamente na linha. As ondas propagantes de corrente e voltagem se deslocam,
sem nenhum obst�aculo, uma vez que a linha n~ao tem �m.
Imaginando agora que os condutores terminem abruptamente, como se eles fossem cor-
tados, as ondas propagantes ao atingirem o �m da linha ser~ao refletidas. Estas ondas refletidas
se comp~oem com as incidentes resultando na forma�c~ao de um padr~ao de ondas estacion�arias
de corrente e voltagem ao longo da linha. As ondas refletidas representam energia que, n~ao
sendo absorvida pela carga, s~ao refletidas de volta pela linha. Isso �e indesejado em uma linha
de transmiss~ao, uma vez que o objetivo �e transferir o m�aximo de pote^ncia para a carga.
Se energia �e refletida, ondas estacion�arias s~ao formadas, o que implica em uma mudan�ca
da raz~ao entre a voltagem e a corrente ao longo da linha, e uma consequ¨ente altera�c~ao da
impeda^ncia da linha. Se toda a energia �e refletida no �nal da linha, nenhuma energia �e absorvida
pela carga, e a impeda^ncia ao longo da linha �e puramente reativa. Se parte da energia �e absorvida
pela carga e a restante �e refletida, a impeda^ncia ao longo da linha pode ser resistiva (valor maior
ou menor que Z0) ou pode ser complexa (uma parte resistiva e outra reativa).
2.3.4 Linha de transmiss~ao uniforme
Neste item ser~ao consideradas linhas �nitas, terminadas com uma carga ZL, Fig.2.6. A voltagem
total e a corrente total resultam de duas ondas que se propagam em dire�c~oes opostas, sendo a
18 ENE - FT - UnB
Tabela 2.1: Impeda^ncia caracter��stica de algumas linhas de transmiss~ao.
linha geometria impeda^ncia caracter��stica
bi�lar Z0 � ηpi log 2Dd (D >> d)
coaxial cil��ndrica Z0 = η2pi log
b
a
coaxial el��ptica Z0 = η2pi log
b+
p
b2−c2
a+
p
a2−c2
placas paralelas Z0 � η bω (ω >> b)
placas colineares Z0 � ηpi log 4Dω (D >> ω)
�o acima de um plano terra Z0 � η2pi log 4hd (h >> d)
bi�lar com blindagem Z0 � ηpi log
�
2s
d
D2−s2
D2+s2
�
) D >> d
s >> d
�o no interior de uma calha Z0 � η2pi log
�
4ω
pid tanh
rh
ω
�
) h >> d
ω >> b
Antenas e Propagac¸a˜o 19
Figura 2.6: Linha de transmiss~ao uniforme com ondas incidentes e refletidas.
onda incidente a que se propaga em dire�c~ao �a carga.
Sejam V0 e I0, respectivamente, as ondas de voltagem e corrente incidentes e V1 e I1 as
ondas refletidas. Em qualquer ponto da linha, a voltagem resultante V �e dada pela rela�c~ao
V = V0 + V1 (2.1)
em que as grandezas V , V0 e V1 s~ao fasores, tendo, portanto, informa�c~oes de amplitude e fase,
com o tempo impl��cito.
Ent~ao, dependendo dos valores de V0 e V1, V em (2.1) apresenta valores m�aximos e
m��nimos ao longo da linha. Na carga, a raz~ao entre a voltagem refletida e a voltagem incidente
�e dada por
Γv =
V1
V0
(2.2)
em que Γv �e denominado coe�ciente de reflex~ao de voltagem.
Tamb�em sobre a carga, a raz~ao entre as correntes refletida e incidente �e dada por
Γi =
I1
I0
(2.3)
em que Γi �e denominado coe�ciente de reflex~ao de corrente.
Em qualquer ponto da linha, a impeda^ncia caracter��stica Z0 �e obtida por
Z0 =
V0
I0
= −V1
I1
(2.4)
Na carga (ponto x = 0), tem-se
ZL =
V
I
= −V0 + V1
I0 + I1
(2.5)
Das equa�c~oes (2.3) e (2.5), obt�em-se
ZL = Z0
V0 + V1
V0 − V1 (2.6)
Retirando a rela�c~ao para o coe�ciente de reflex~ao de voltagem
Γv =
V1
V0
=
ZL − Z0
ZL + Z0
(2.7)
20 ENE - FT - UnB
Para impeda^ncias ZL reais variando de 0 �a1, Γv varia de −1 �a +1. De maneira an�aloga,
o coe�ciente de reflex~ao de corrente �e
Γi = −ZL − Z0
ZL + Z0
= −Γv (2.8)
A raz~ao V/I em qualquer ponto da linha a partir da carga fornece a impeda^ncia Z(x)
nesse ponto. Para uma linha sem perdas
Z(x) = Z0
ZL + jZ0 tan(βx)
Z0 + jZL tan(βx)
(2.9)
em que β = ω/v = ω
p
µε �e a constante de fase. Quando a linha �e terminada em circuito aberto
(ZL = 1), (2.9) �ca
Z(x) =
Z0
j tan(βx)
(2.10)
Quando a linha �e terminada em circuito aberto (ZL = 0), (2.9 se reduz a
Z(x) = jZ0 tan(βx) (2.11)
Ent~ao, a impeda^ncia para uma linha sem perdas em aberto ou curto circuitada �e uma
reata^ncia pura.
A rela�c~ao entre os m�aximos e m��nimos de voltagem ao longo da linha �e denominada
rela�c~ao de onda estacion�aria, sendo expressa por
S =
Vma´x
Vmı´n
=
jV0j+ jV1j
jV0j − jV1j =
1 + jΓvj
1− jΓvj (2.12)
De (2.12) se obt�em
jΓvj = S − 1
S + 1
(2.13)
Outras denomina�c~oes para a rela�c~ao de onda estacion�ariade voltagem s~ao usadas, como
SWR (standing wave ratio), VSWR (voltage standing wave ratio), ROE (rela�c~ao de onda esta-
cion�aria) e COE (coe�ciente de onda estacion�aria).
A rela�c~ao de onda estacion�aria pode ser obtida experimentalmente movendo-se uma
ponta de prova ao longo de uma fenda na linha (no caso de uma linha coaxial, uma pequena
fenda axial no condutor externo na qual a ponta de prova pode ser movida). Essa ponta de prova
�e convenientemente conectada a um detetor, o qual fornece os valores absolutos da varia�c~ao de
voltagem ao longo da linha.
O conhecimento da rela�c~ao de onda estacion�aria (ou do coe�ciente de reflex~ao) tem
importa^ncia fundamental porque fornece o quanto de pote^ncia incidente est�a sendo refletida. A
partir de S determina-se, de (2.13), o coe�ciente de reflex~ao e, a seguir a pote^ncia refletida por
Pref = jΓvj2 Pinc (2.14)
Como exemplo, considere um transmissor conectado a uma antena por meio de uma linha
de transmiss~ao com uma rela�c~ao de onda estacion�aria medida igual a 1,5. De (2.13) obt�em-se
Antenas e Propagac¸a˜o 21
Figura 2.7: Exemplo esquem�atico de uma linha de transmiss~ao.
um coe�ciente de reflex~ao igual a 0,2. Ent~ao, 4% da pote^ncia incidente �e refletida, ou seja,
(0,2)2�100.
Para uma linha sem perdas, Z0 �e real, e pote^ncia m�axima �e entregue �a carga quando
esta estiver casada com a linha (ZL = Z0; Γv = 0). Nesse caso, toda a pote^ncia �e absorvida pela
carga. Para entregar a mesma pote^ncia �a carga quando reflex~oes est~ao presentes, mais pote^ncia
na onda incidente �e necess�aria, o que leva a voltagens mais altas na linha (principalmente nos
pontos de m�aximo), podendo causar ruptura do isolamento. Reflex~oes podem tamb�em dani�car
os circuitos de pote^ncia do transmissor. Ent~ao, uma opera�c~ao sobre condi�c~oes �otimas requer
uma raz~ao de onda estacion�aria t~ao pr�oxima de 1,0 quanto poss��vel.
Para ilustrar a propaga�c~ao em uma linha de transmiss~ao, considere o exemplo es-
quem�atico da Fig.2.7, na qual a entrada consiste de uma bateria em s�erie com uma impeda^ncia
e uma chave, e a linha, de comprimento L, termina em uma carga.
Assumindo que todas as impeda^ncias sejam resistivas e que a impeda^ncia caracter��stica
da linha seja igual �a impeda^ncia em s�erie com a fonte, ao se ligar a chave S1 a voltagem na
entrada da linha ser�a V/2, Fig.2.8a.
A velocidade de propaga�c~ao desse degrau de voltagem sobre a linha depende dos para^metros
da linha e �e dada por v = 1/
p
LC. Em um tempo T1, Fig.2.8b, o degrau j�a caminhou a metade
do percurso. Ao atingir a carga, Fig.2.8c, se esta estiver casada, isto �e, se a impeda^ncia da
carga for igual a impeda^ncia caracter��stica da linha, toda a pote^ncia �e absorvida. Por�em, se a
impeda^ncia caracter��stica da linha, considerada resistiva, for diferente da impeda^ncia de carga,
reflex~oes ir~ao ocorrer em dire�c~ao �a fonte.
A Fig.2.9 mostra uma analogia entre pulsos se propagando em uma corda e em uma
linha de transmiss~ao. Uma corda esticada, Fig.2.9a, �e �xada em uma parede r��gida a qual n~ao
absorve energia de um pulso se propagando na dire�c~ao da parede. No lado livre da corda, ao
ser aplicado um deslocamento vertical, Fig.2.9b, uma onda se propaga, pela corda, em dire�c~ao a
parede com uma velocidade v, Fig.2.9c. Quando o pulso atinge a parede, Fig.2.9d, ele �e refletido,
Fig.2.9e, e se propaga de volta em dire�c~ao a outra extremidade, Fig.2.9f. Se um segundo pulso
�e inserido na corda depois que o primeiro atinge a parede, existir~ao dois pulsos sobre a corda,
Fig.2.10. Quando esses pulsos se interferem, a resultante ser�a a soma alg�ebrica dos dois. Em um
evento em que uma s�erie de pulsos �e aplicado na corda, o padr~ao de interfere^ncia ser�a o de uma
22 ENE - FT - UnB
Figura 2.8: Fun�c~ao degrau se propagando em uma linha de transmiss~ao.
onda estacion�aria, Fig.2.11.
A impeda^ncia da carga conectada no �nal de uma linha de transmiss~ao pode variar
de zero �a in�nito. Ela pode ser resistiva, reativa ou resistiva e reativa. Os valores extremos da
carga correspondem a uma termina�c~ao da linha em curto ou em aberto. Nessas duas termina�c~oes,
nenhuma pote^ncia �e absorvida pela carga, ocorrendo reflex~ao total.
As ondas estacion�arias de voltagem e corrente criadas por uma termina�c~ao em curto s~ao
mostradas na Fig.2.12a, para uma linha de comprimento igual a meio comprimento de onda da
frequ¨e^ncia de opera�c~ao. Por simplicidade, as ondas s~ao mostradas usando o condutor superior
como a linha de base zero. Em uma dista^ncia de um quarto do comprimento de onda da carga
em dire�c~ao ao gerador, observa-se um nulo de corrente e um m�aximo de tens~ao. Nesse ponto, a
linha apresenta uma impeda^ncia in�nita. No gerador, tem-se um m�aximo de corrente e voltagem
nula. A rela�c~ao entre a voltagem e a corrente (impeda^ncia) varia ao longo da linha. Na carga
e no gerador, a impeda^ncia �e zero. Na carga nenhuma pote^ncia �e absorvida (P = I2Z =
I2 � 0 = 0), sendo totalmente refletida de volta ao gerador. Em casos reais, contudo, alguma
pote^ncia �e perdida, seja por radia�c~ao ou por aquecimento. Consequentemente, nenhuma energia
�e transferida para a carga (por exemplo, uma antena), se existe um curto nos terminais da linha.
Na Fig.2.12b, observa-se uma linha terminada em aberto. De maneira semelhante �a
termina�c~ao em curto, as impeda^ncias ao longo da linha variam de in�nito na carga e no gerador
e zero no centro da linha. Uma vez que o gerador est�a trabalhando com uma impeda^ncia in�nita
conectada aos seus terminais, novamente nenhuma pote^ncia �e transmitida �a carga, uma vez que
a corrente �e zero.
Antenas e Propagac¸a˜o 23
Figura 2.9: Analogia entre uma corda e uma linha de transmiss~ao.
Figura 2.10: Interfere^ncia entre ondas opostas.
Figura 2.11: Onda estacion�aria.
24 ENE - FT - UnB
Figura 2.12: Forma�c~ao de onda estacion�aria em uma linha de meio comprimento de onda; (a) linha
terminada em curto; (b) linha terminada em aberto.
Figura 2.13: Distribui�c~ao da voltagem e da impeda^ncia em uma linha de meio comprimento de onda;
(a) linha terminada com R < Z0; (b) linha terminada com R > Z0.
Se uma linha de transmiss~ao sem perdas termina em uma carga resistiva, menor ou
maior que Z0, o efeito �e similar a uma linha em curto ou em aberto. Para uma carga menor que
Z0, os pontos de m�aximos e m��nimos sobre a linha s~ao os mesmos que para a linha terminada
em curto, Fig.2.13, em que se observa a distribui�c~ao de voltagem e a varia�c~ao da impeda^ncia ao
longo da linha. A Fig.2.13b mostra a voltagem e a impeda^ncia para uma linha terminada com
carga maior que Z0. Os valores m�aximos e m��nimos da impeda^ncia ao longo da linha se repetem
a cada meio comprimento de onda, sendo, por�em, �nitos e n~ao-nulos, e dependentes do valor da
carga.
A Fig.2.14 mostra o comportamento da voltagem e da corrente ao longo da linha, para
uma carga resistiva cujo valor varia de in�nito �a zero.
Os efeitos de carga puramente reativa s~ao mostrados na Fig.2.15. Na Fig.2.15a, a linha
�e terminada com uma carga puramente capacitiva. Neste caso, o padr~ao de onda estacion�aria
Antenas e Propagac¸a˜o 25
Figura 2.14: Carga resistiva variando de zero a in�nito em uma linha de meio comprimento de onda.
Figura 2.15: Linhas de meio comprimento de onda; (a) terminada em uma capacita^ncia; (b) terminada
em uma induta^ncia.
de voltagem est�a deslocado de um oitavo de comprimento de onda e a corrente segue a voltagem
nesse deslocamento, quando comparado ao padr~ao de onda estacion�aria de uma linha terminada
em aberto. �A medida que a capacita^ncia aumenta, o nulo de voltagem se move para mais perto
do �nal da linha. Esse efeito �e equivalente ao de se conectar na linha um trecho de linha em
aberto menorque um quarto do comprimento de onda.
Terminando a linha com uma induta^ncia, Fig.2.15b, o efeito no deslocamento �e contr�ario
ao do caso anterior. Esse efeito �e equivalente ao de se conectar na linha um peda�co em curto
menor que um quarto de comprimento de onda.
�E poss��vel conectar, o gerador ou a carga, em outros pontos da linha que n~ao sejam as
suas extremidades. Ent~ao, estando a linha terminada com uma carga diferente de Z0, estar~ao
presentes ondas estacion�arias, resultando em uma impeda^ncia que varia ao longo de toda a linha.
O gerador pode ser conectado, por exemplo, em diferentes pontos e trabalhar (enxergar) difer-
26 ENE - FT - UnB
Figura 2.16: Mudan�cas da impeda^ncia ao longo de uma linha de meio comprimento de onda; (a) linha
terminada em aberto; (b) linha terminada em curto.
entes impeda^ncias. A Fig.2.16a ilustra essas varia�c~oes da impeda^ncia (no caso apenas reativa)
para uma linha terminada em aberto. Se o gerador �e conectado entre um quarto e um meio
de comprimento de onda da carga, a impeda^ncia de entrada consiste de uma reata^ncia indu-
tiva. Conectando-se o gerador nos mesmos locais mas com a linha curto-circuitada, Fig.2.16b, a
impeda^ncia vista pelo gerador consistir�a de uma reata^ncia capacitiva.
Se o gerador na Fig.2.16a for conectado exatamente a um quarto de comprimento de
onda do �nal em aberto, a impeda^ncia de entrada �e uma reata^ncia extremamente baixa. O
circuito equivalente em termos de para^metros concentrados �e um circuito ressonante s�erie. Em
outras palavras, a linha de transmiss~ao tem comprimentos ressonantes como em uma antena.
Se o gerador for conectado exatamente a um quarto de comprimento de onda do �nal em curto,
Fig.2.16b, tem-se uma impeda^ncia consistindo de uma reata^ncia extremamente alta. O circuito
equivalente nesse caso �e um circuito ressonante paralelo.
Cargas podem ser conectadas ao longo da linha para modi�car o valor da impeda^ncia
na entrada, de forma a se ter um perfeito casamento de impeda^ncia com o gerador. A Fig.2.17
ilustra uma conex~ao entre um gerador e uma carga usando uma linha coaxial. Considere que
o gerador esteja casado com a carga (ZS = Z0 = 50 Ω), e a carga apresenta uma resiste^ncia
de 50 Ω em s�erie com uma reata^ncia capacitiva igual a 20 Ω. A Fig.2.18 ilustra como corrigir
o valor da carga para que reflex~oes n~ao ocorram na linha. Observa-se nessa �gura um toco de
linha com uma reata^ncia na entrada igual em magnitude, mas de sinal contr�ario, �a da reata^ncia
de carga. Nesse caso, o toco em curto, conectado em s�erie com a carga, anula a reata^ncia da
carga, realizando o casamento de impeda^ncias.
Na pr�atica, �e mais usual proceder o casamento com tocos de linha em paralelo com a
linha de transmiss~ao, evitando, dessa forma, dist�urbios nos campos ocasionados pelas liga�c~oes
em s�erie. Nos c�alculos, �ca mais f�acil usar admita^ncia em vez de impeda^ncia, uma vez que as
Antenas e Propagac¸a˜o 27
Figura 2.17: Liga�c~ao entre uma carga e um gerador usando uma linha coaxial.
Figura 2.18: Sistema de casamento de impeda^ncias com toco de linha.
admita^ncias em paralelo se somam, como as impeda^ncias em s�erie. O local para o casamento
pode ser qualquer ponto sobre a linha, mas �e bom lembrar que, ao se proceder o casamento em
um determinado ponto, elimina-se a onda estacion�aria do gerador no ponto de casamento, mas
n~ao deste ponto at�e a carga.
A Fig.2.19 mostra uma foto de duas conex~oes entre linhas coaxiais e guias de ondas
el��pticos para a transmiss~ao de sinais de TV por assinatura na frequ¨e^ncia pr�oxima a 2,5 GHz.
Nessa frequ¨e^ncia, a necessidade de completar a transmiss~ao por guia de ondas ocorre pelo fato de
o cabo coaxial apresentar perdas que n~ao seriam admiss��veis para o sistema. A Fig.2.20 ilustra
parte de um transmissor de r�adio FM, em que se observa os cabos coaxiais met�alicos respons�aveis
pela condu�c~ao do sinal de sa��da at�e outros dispositivos que comp~oem a esta�c~ao.
2.4 Guia de ondas
No estudo anterior de linhas de transmiss~ao, foi dada e^nfase em linhas propagando ondas eletro-
magn�eticas transversais (TEM), isto �e, ondas com os campos el�etrico e magn�etico transversais
�a dire�c~ao de propaga�c~ao.
Os guias de ondas possibilitam a propaga�c~ao da onda eletromagn�etica com componente
28 ENE - FT - UnB
Figura 2.19: Foto de duas transi�c~oes entre linhas coaxiais e guias de onda.
Figura 2.20: Foto de parte de um transmissor FM mostrando trechos de cabos coaxiais rigidos.
Antenas e Propagac¸a˜o 29
Figura 2.21: Guia de onda composto por um tubo condutor.
do campo el�etrico ou do campo magn�etico na dire�c~ao de propaga�c~ao, modos TE ou TM.
Para frequ¨e^ncias baixas, pode-se utilizar o conceito de para^metros concentrados na
an�alise dos circuitos relacionando correntes, voltagens e elementos de circuito. Para frequ¨e^ncias
elevadas, essas id�eias podem ser satisfatoriamente extendidas para linhas de comprimento con-
sider�avel, desde que se leve em considera�c~ao a velocidade de propaga�c~ao e os para^metros dis-
tribu��dos ao longo da linha (capacita^ncia por metro, induta^ncia por metro etc.).
Considere agora um outro tipo de estrutura, consistindo de um tubo met�alico de formato
cil��ndrico, el��ptico ou retangular, Fig.2.21. Pode tal tubo conduzir energia eletromagn�etica?
Com uma an�alise apenas de circuitos el�etricos a resposta �e n~ao, uma vez que existe somente um
condutor e, assim sendo, n~ao existe circuito para a corrente de retorno. Contudo, investigando
sob o conhecimento de �optica, a resposta �e sim, uma vez que a luz passa por um tubo met�alico
e luz consiste de energia eletromagn�etica de frequ¨e^ncia extremamente alta (1016 Hz).
Ent~ao, dependendo da frequ¨e^ncia, o tubo pode conduzir energia eletromagn�etica. Pode-
se deduzir que o tubo met�alico n~ao transmitir�a frequ¨e^ncias baixas, mas transmitir�a frequ¨e^ncias
altas, existindo uma frequ¨e^ncia na qual ocorre uma transi�c~ao de uma condi�c~ao para a outra.
Esta frequ¨e^ncia �e denominada de frequ¨e^ncia de corte, e ocorre quando o comprimento de onda
�e da ordem da dimens~ao do dia^metro do tubo.
Assim, a an�alise considerando elementos de circuitos concentrados ou mesmos distribu��dos
(como usados na an�alise da linha de transmiss~ao de dois condutores) n~ao atende a este caso,
uma vez que necessitam-se considerar o espa�co e os campos E e H.
2.4.1 Termina�c~oes em guias de ondas
De forma semelhante a uma linha de transmiss~ao de dois condutores, quando uma onda eletro-
magn�etica se propagando dentro de um guia de ondas atinge o seu �nal, parte ou toda a energia
pode ser transmitida para fora do guia e parte ou toda a energia pode ser refletida. Se no �nal
do guia tem-se uma antena corneta, a onda eletromagn�etica geralmente �e radiada para o espa�co
livre. Se o guia de ondas termina com uma parede met�alica, ent~ao a energia �e totalmente re-
fletida. A interfere^ncia entre as ondas incidente e refletida forma uma onda estacion�aria no guia.
Tal onda �e estacion�aria com rela�c~ao ao espa�co, mas varia no dom��nio do tempo.
Com a �nalidade de prevenir ondas estacion�arias ou, mais especi�camente, a reflex~ao
que faz surgir as ondas estacion�arias, um guia de ondas deve ser terminado com uma carga
30 ENE - FT - UnB
Figura 2.22: Cargas para guia de ondas; (a) areia e gra�te; (b) carga resistiva.
casada. Quando uma antena devidamente projetada �e usada para terminar um guia de ondas,
ela forma a carga requerida para prevenir reflex~oes. De outra forma, uma carga tem que ser
providenciada, de forma a absorver toda a energia que chegar ao �nal do guia.
Um exemplo de termina�c~ao �e mostrada na Fig.2.22a, onde tem-se um "resistor" composto
de areia e gra�te. Quando os campos eletromagn�eticos se propagampara dentro da carga, eles
causam fluxo de correntes, os quais geram calor. Ent~ao, a pote^ncia de RF �e dissipada na carga,
evitando dessa forma ondas refletidas.
Na Fig.2.22b, o elemento resistivo �e uma haste carbonizada, colocada no centro de forma
a absorver energia do campo el�etrico. O campo el�etrico causa fluxos de corrente e consequ¨ente
perda de energia por aquecimento.
Uma outra classe de cargas terminais, usando materiais como gra�te ou material sint�etico
carbonizado, tendo os formatos de cunha e piramidal, s~ao mostrados na Fig.2.23. Da mesma
forma que nas cargas com areia e gra�te, a absor�c~ao da energia se d�a por dissipa�c~ao devido ao
aquecimento do material.
2.4.2 M�etodos de acoplamento
Na conex~ao entre sistemas, �e comum a necessidade de inserir (ou retirar) sinais de guias de
ondas. Um exemplo est�a mostrado na Fig.2.19, onde sinais provenientes de cabos coaxiais s~ao
acoplados para dentro de guias de ondas el��pticos. Na faixa de microondas, existem tre^s tipos
b�asicos de acoplamento usados em guia de ondas: capacitivo, indutivo e abertura.
O acoplamento capacitivo, Fig.2.24, usa um radiador vertical inserido em um dos �nais
do guia de ondas. Tipicamente, �e uma antena monopolo vertical de um quarto do comprimento
de onda da frequ¨e^ncia de opera�c~ao do sistema. As linhas de campo el�etrico para o modo mais
usual de opera�c~ao est~ao mostradas nas Fig.2.24a e Fig.2.24b, onde tamb�em pode-se notar que
um curto �e posicionado a um quarto do comprimento de onda do monopolo. A esta dista^ncia
tem-se um defasamento do sinal de 90o at�e o curto, 180o no curto e 90o do curto at�e o monopolo
(o sinal �e refletido totalmente pelo curto). Ent~ao, o sinal que foi em dire�c~ao ao curto chega
Antenas e Propagac¸a˜o 31
Figura 2.23: Cargas para guia de ondas; (a) cunha; (b) cunha dupla; (c) piramidal.
em fase no monopolo, somando construtivamente com o sinal que se propaga na outra dire�c~ao.
A Fig.2.24c mostra um guia de ondas com uma possibilidade de ajuste da posi�c~ao do curto,
procurando com isso adapt�a-lo a diferentes frequ¨e^ncias de funcionamento.
A Fig.2.25 mostra a transi�c~ao entre uma linha coaxial e um guia de ondas retangular,
utilizando um acoplamento por interm�edio de um monopolo em forma de gota. O formato do
monopolo tem a �nalidade de aumentar a largura de faixa de opera�c~ao do dispositivo, o qual
�e na realidade um alimentador para uma antena corneta. A Fig.2.26 ilustra uma fotogra�a do
interior de uma antena corneta, conectada a um alimentador como o da Fig.2.25.
O acoplamento indutivo (ou acoplamento por loop), Fig.2.27, consiste em um pequeno
loop de �o condutor posicionado de tal forma que o n�umero de linhas de fluxo magn�etico seja
maximizado. Este tipo de acoplamento �e usado, por exemplo, para conectar uma antena recep-
tora de microondas a uma linha coaxial. Em alguns casos, o loop �e montando em conjunto com
um diodo detetor de forma que, quando o sinal de microondas �e combinado com um oscilador
local, uma frequ¨e^ncia intermedi�aria entre 30-300 MHz �e obtida.
Acoplamento por aberturas no guia, Fig.2.28, s~ao geralmente usados quando se tem
o interesse de acoplar duas se�c~oes de guias de onda. As aberturas podem ser projetadas de
forma a acoplar o campo el�etrico, o campo magn�etico ou ambos. Na Fig.2.28, a abertura A est�a
posicionada onde te^m-se os picos do campo el�etrico, sendo dessa forma um acoplamento para
campo el�etrico; a abertura B est�a posicionada onde te^m-se os m�aximos do campo magn�etico,
sendo uma abertura para acoplamento de campo magn�etico; e a posi�c~ao intermedi�aria C permite
32 ENE - FT - UnB
Figura 2.24: Acoplamento em guia de ondas utilizando uma ponta de prova (antena monopolo); (a)
linhas de campo saindo do radiador dentro do guia; (b) adequada localiza�c~ao da ponta de prova; (c) guia
de ondas com ajustes de localiza�c~ao do curto.
Figura 2.25: Acoplamento entre uma linha coaxial e um guia de ondas retangular.
Figura 2.26: Antena corneta conectada a um acoplador.
Antenas e Propagac¸a˜o 33
Figura 2.27: Acoplamento indutivo (loop).
Figura 2.28: Acoplamento por abertura.
o acoplamento dos dois campos.
Na Fig.2.29, uma fotogra�a de um combinador de sinais de TV ilustra uma aplica�c~ao de
acoplamento com aberturas, as quais podem ser observadas dentro do guia de ondas retangular.
34 ENE - FT - UnB
Figura 2.29: Guia de ondas retangular aberto mostrando aberturas para acoplamentos.
Cap��tulo 3
Conceitos b�asicos de antenas
3.1 Introdu�c~ao
A radia�c~ao de energia eletromagn�etica - por um circuito, uma cavidade ressonante ou uma linha
de transmiss~ao - pode ter um efeito importante como um feno^meno indesejado ou como parte de
um processo para excitar ondas no espa�co. No primeiro caso, procura-se minimizar as perdas de
pote^ncia por radia�c~ao, mudando a con�gura�c~ao dos circuitos ou adicionando blindagem. Quando
a radia�c~ao �e desejada o que se procura �e excitar ondas a partir uma dada fonte de energia em
uma ou v�arias dire�c~oes, da forma mais e�ciente poss��vel.
O dispositivo que atua como transi�c~ao ou casamento entre a fonte e a onda no espa�co
�e conhecido como radiador ou antena. Para o projeto de uma antena, as seguintes informa�c~oes
s~ao necess�arias.
1. A intensidade relativa do campo para v�arias dire�c~oes (o diagrama de radia�c~ao da antena);
2. A pote^ncia total radiada quando a antena �e excitada por uma tens~ao ou corrente conhecida;
3. A impeda^ncia de entrada da antena para prop�osito de casamento;
4. A largura de banda da antena com rela�c~ao a alguma das propriedades anteriores;
5. A e�cie^ncia de radia�c~ao, ou a rela�c~ao entre a pote^ncia radiada e a pote^ncia total;
6. Para antenas de alta pote^ncia, a m�axima intensidade de campo, em determinadas posi�c~oes
no ar ou diel�etrico, que possa causar efeito corona ou ruptura do diel�etrico.
Para se obter qualquer uma das informa�c~oes anteriores, a t�ecnica utilizada �e a solu�c~ao das
equa�c~oes de Maxwell sujeitas �as condi�c~oes de contorno na antena e no in�nito. Isso s�o �e poss��vel
em alguns poucos casos, porque a maioria das con�gura�c~oes pr�aticas s~ao muito complicadas para
a solu�c~ao por essa t�ecnica direta.
3.2 Equa�c~oes de Maxwell
A teoria eletromagn�etica tem como base as equa�c~oes de Maxwell. Estas equa�c~oes s~ao obtidas
de forma generalizada da experie^ncia e sua precis~ao se con�rma na pr�atica. Na formula�c~ao que
35
36 ENE - FT - UnB
ser�a apresentada, se considera que os campos variam harmonicamente no tempo ou s~ao fun�c~oes
do tipo ejωt, em que ω = 2pif �e a frequ¨e^ncia angular.
As quatro quantidades de interesse s~ao os vetores intensidade de campo el�etrico E (V/m),
intensidade de campo magn�etico H (A/m), densidade de fluxo el�etrico D (C/m2) e densidade
de fluxo magn�etico B (Wb/m2). Esses campos, juntamente com as suas fontes, a densidade de
corrente J (A/m2) e a densidade de carga ρv (C/m3), est~ao relacionados pelas seguintes equa�c~oes
de Maxwell na forma diferencial ou pontual.
r�E = −jωB (3.1)
r�H = jωD + J (3.2)
r �D = ρv (3.3)
r �B = 0 (3.4)
Em adi�c~ao �as equa�c~oes de Maxwell, existem tre^s rela�c~oes constitutivas envolvendo os campos
e as caracter��sticas do meio no qual eles existem. Elas s~ao dadas por
D = εE (3.5)
B = µH (3.6)
J = σE (3.7)
em que σ �e a condutividade do meio. No espa�co livre, as rela�c~oes constitutivas s~ao
D = ε0E (3.8)
B = µ0H (3.9)
J = 0 (3.10)
Em um meio diel�etrico com permissividade ε e condutividade σ, flui uma corrente de
condu�c~ao Jc = σE relacionada �as perdas. Incluindo-se Jc e (3.5) na rela�c~ao (3.2) tem-se
r�H = (jωε + σ)E + J = jω
�
ε+
σ
jω
�
E + J (3.11)
Em (3.11), o fator ε + σ/jω pode ser considerado como umapermissividade complexa.
Em geral, al�em de uma poss��vel condutividade �nita, um diel�etrico apresenta perdas de polar-
iza�c~ao, de modo que mesmo que σ seja zero, ε ainda �e complexo da forma ε0 − jε00. Ent~ao,
quando o meio diel�etrico tem perdas, trabalha-se com uma permissividade complexa e qualquer
perda por condu�c~ao �e inclu��da como uma parte da componente imagin�aria ε00.
Antenas e Propagac¸a˜o 37
Figura 3.1: Condi�c~oes de contorno para um condutor perfeito.
3.2.1 Condi�c~oes de contorno
As rela�c~oes (3.1) a (3.11) s~ao v�alidas em pontos do espa�co onde n~ao existem descontinuidades. Na
interface entre dois meios, elas n~ao se aplicam e deve-se utilizar condi�c~oes de contorno. Como
exemplo, a Fig.3.1 mostra um condutor perfeito (σ =1) com um vetor unit�ario n normal �a
superf��cie. O campo eletromagn�etico �e zero no condutor perfeito. Na superf��cie do condutor, a
componente tangencial do campo el�etrico �e cont��nua atrav�es do contorno e, portanto, �e igual a
zero, ent~ao
n�E = 0 (3.12)
Do mesmo modo, a componente normal do campo magn�etico deve ser zero, uma vez que
nenhum fluxo magn�etico penetra no condutor, logo
n �H = 0 (3.13)
Na superf��cie condutora, deve fluir uma densidade de corrente Js (A/m) dada por
Js = n�H (3.14)
A densidade de corrente �e igual, em magnitude, �a componente tangencial do campo
magn�etico, mas esses dois vetores formam um a^ngulo reto. A densidade de carga na superf��cie
do condutor �e
ρs = n �D (3.15)
As linhas de densidade de fluxo terminam nas cargas uma vez que n~ao existe campo
dentro do condutor.
38 ENE - FT - UnB
Figura 3.2: Vetores usados para a solu�c~ao de problemas de radia�c~ao.
3.2.2 Fun�c~oes potenciais
Para a solu�c~ao das equa�c~oes de Maxwell e a obten�c~ao dos campos eletromagn�eticos radiados, �e
conveniente se introduzir a fun�c~ao auxiliar potencial vetor magn�etico A, que satisfaz a seguinte
equa�c~ao de onda vetorial
r2 �A + k2A = −J (3.16)
em que k = ω
p
µε �e a constante de propaga�c~ao do meio. Os vetores campo el�etrico e campo
magn�etico s~ao determinados do potencial vetor magn�etico por meio das rela�c~oes
E = −jωµA− j
ωε
r(r �A) (3.17)
H = r�A (3.18)
Em geral, ao se calcular os campos eletromagn�eticos de estruturas radiantes com dis-
tribui�c~oes de correntes conhecidas, se utiliza uma s�erie de suposi�c~oes simpli�cadoras do modelo.
A primeira delas consiste em se considerar a antena emissora localizada no espa�co homoge^neo
in�nito. Nesse caso, a solu�c~ao para a equa�c~ao de onda (3.16) �e da forma
A(x, y, z) =
1
4pi
Z
v
J(x0, y0, z0)
e−jkjr−r′j
jr− r0j dv
0 (3.19)
em que jr− r0j = p(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 �e a dista^ncia do ponto de observa�c~ao para
um ponto qualquer localizado na regi~ao da fonte de corrente, Fig.3.2.
O problema do c�alculo do campo radiado por uma antena, conhecida a distribui�c~ao de
corrente, reduz-se, em esse^ncia, �a resolu�c~ao da equa�c~ao (3.19).
3.3 Dipolo el�etrico elementar
Uma grande classe de antenas �e aquela constitu��da por �os condutores dispostos de modo a
produzir certas propriedades de radia�c~ao. Na maioria dos casos pr�aticos, pode-se desprezar a
dimens~ao da se�c~ao transversal dos �os e trat�a-los como condutores �lamentares.
O dipolo el�etrico de Hertz, com corrente in�nitesimal Idl, �e um radiador elementar,
Fig.3.3. Embora uma corrente elementar n~ao possa ser isolada do restante da antena, os campos
de uma antena real podem ser calculados a partir dela mediante uma integra�c~ao apropriada.
Antenas e Propagac¸a˜o 39
Figura 3.3: Corrente elementar na origem do sistema de coordenadas esf�ericas.
3.3.1 Campos radiados
Para a corrente in�nitesimal da Fig.3.3, em que Idl est�a na dire�c~ao z, o potencial vetor magn�etico,
determinado por (3.19), ter�a uma �unica componente na dire�c~ao z igual a
Az =
Idz
4piR
e−jkR (3.20)
Utilizando-se a componente esf�erica do potencial vetor Aθ = −Az sin θ e as rela�c~oes
(3.17) e (3.18) determina-se, na regi~ao de campo distante (r >> λ),
Eθ = j
Idz
2λ
r
µ0
ε0
sin θ
e−jkR
R
(3.21)
Hφ =
Eθ
η
= j
Idz
2λ
sin θ
e−jkR
R
(3.22)
em que η =
q
µ0
ε0
= 120pi = 377 ٠�e a impeda^ncia intr��nseca do espa�co livre.
Das express~oes (3.21) e (3.22) e da Fig.3.3, se conclui que:
1. O dipolo de Hertz emite ondas progressivas, que se deslocam para o in�nito com a veloci-
dade da luz;
2. O vetor E se localiza no plano de eleva�c~ao, que passa pelo eixo do dipolo; e o vetor H se
localiza no plano de azimute. Assim, o dipolo emite ondas com polariza�c~ao linear;
3. As superf��cies de fase constante dessas ondas s~ao esferas cujos centros coincidem com o
centro do dipolo. Ent~ao, o dipolo tem um centro de fase que coincide com o seu centro.
As magnitudes dos campos el�etrico e magn�etico dependem do a^ngulo de observa�c~ao θ.
Devido �a simetria axial, os campos n~ao dependem do a^ngulo de observa�c~ao φ. No plano de
40 ENE - FT - UnB
Figura 3.4: Diagrama direcional do dipolo el�etrico de Hertz.
eleva�c~ao (plano do vetor E), o diagrama de radia�c~ao �e uma sen�oide. No plano azimute (plano
do vetor H), o diagrama de radia�c~ao �e uma circunfere^ncia. Portanto, o dipolo de Hertz radia
o m�aximo de energia na dire�c~ao perpendicular ao seu eixo e, ao longo do seu eixo, a radia�c~ao �e
zero, Fig.3.4.
3.3.2 Pote^ncia radiada e resiste^ncia de radia�c~ao
A pote^ncia m�edia no tempo radiada pelo dipolo de Hertz �e calculada integrando-se o vetor de
Poynting atrav�es da superf��cie de uma esfera arbitr�aria. Na regi~ao de campo distante, tem-se
Pr =
1
2
Re
�I
s
E�H� � ds
�
=
1
2
Z 2pi
0
dφ
Z pi
0
jEθj2
η
R2 sin θdθ =
40pi2
λ2
(Idz)2 (3.23)
�E conveniente se expressar a pote^ncia m�edia radiada da seguinte forma
Pr =
1
2
jIAj2Rr (3.24)
em que Rr �e a resiste^ncia de radia�c~ao da antena e IA �e o valor da amplitude da corrente em
qualquer ponto da antena, em geral utiliza-se o valor m�aximo da corrente. Comparando-se (3.23)
e (3.24), tem-se que a resiste^ncia de radia�c~ao, para o dipolo de Hertz, �e
Rr = 80pi2
�
dz
λ
�2
Ω (3.25)
A resiste^ncia de radia�c~ao da antena �e importante do ponto de vista da sua compara�c~ao
com a resiste^ncia devido �as perdas o^hmicas Rp, que determina a pote^ncia dissipada por aqueci-
mento: Pp = 1/2 jIj2Rp. Quando a corrente se distribui uniformemente, como ocorre no dipolo
Antenas e Propagac¸a˜o 41
de Hertz, a resiste^ncia de perdas �e igual a Rp = Rldz, em que Rl �e a resiste^ncia linear do condu-
tor, calculada em alta frequ¨e^ncia mediante a teoria do efeito pelicular ou efeito skin, em Ω/m.
Pode-se estabelecer a e�cie^ncia de radia�c~ao do dipolo de Hertz mediante a rela�c~ao
er =
Pr
Pr + Pp
=
Rr
Rr +Rp
=
dz
λ
dz
λ +
3Rlλ
2piη
(3.26)
Observa-se que, para um valor pr�e-�xado da resiste^ncia o^hmica do condutor Rlλ, cor-
respondente a um comprimento de onda, a e�cie^ncia somente pode aumentar com o aumento
do comprimento dz do dipolo. Se o comprimento dz do dipolo diminui, a sua e�cie^ncia tende
a zero. A tende^ncia de redu�c~ao da e�cie^ncia com a redu�c~ao do comprimento el�etrico (isto �e,
a dimens~ao em fra�c~oes do comprimento de onda) �e uma caracter��stica de todos os radiadores
elementares. Cabe notar que um valor pequeno da resiste^ncia de radia�c~ao da antena torna dif��cil
a sua adapta�c~ao com a linha de alimenta�c~ao na banda de frequ¨e^ncias de opera�c~ao, com rela�c~ao
ao casamento de impeda^ncias.
3.3.3 Diretividade
A quantidade de pote^ncia radiada, que �e concentrada no plano normal do dipolo elementar,
pode ser estimada por meio da diretividade. A diretividade �e determinada pela rela�c~ao entre
a magnitude do vetor de Poynting em uma dadadire�c~ao e o vetor de Poynting m�edio sobre a
superf��cie de uma esfera envolvendo a antena (para dista^ncias iguais nos dois casos). Para a
dire�c~ao de m�axima radia�c~ao, a diretividade �e determinada por
Dma´x =
Sma´x
Sme´d
(3.27)
Como Sme´d = Pr/4piR2 e Sma´x = jEma´xj2 /2η, a express~ao para a determina�c~ao da
diretividade torna-se
Dma´x =
jEma´xj2 2piR2
ηPr
(3.28)
ou, para o espa�co livre,
Dma´x =
jEma´xj2R2
60Pr
(3.29)
Substituindo-se (3.23) em (3.29) e considerando, de (3.21), que jEma´xj = Iη2R (dzλ ), obt�em-
se que a diretividade do dipolo de Hertz, na dire�c~ao de m�axima radia�c~ao, �e igual a 1,5 e independe
da rela�c~ao dz/λ.
3.3.4 Influe^ncia de um plano condutor in�nito
O diagrama de radia�c~ao mostrado anteriormente foi obtido considerando-se o dipolo elementar no
espa�co livre, distante de qualquer corpo condutor ou superf��cie refletora. Na pr�atica, as antenas
podem estar posicionadas pr�oximas (em termos de comprimentos de onda) da superf��cie da terra
ou de uma superf��cie refletora qualquer. Nessas condi�c~oes, correntes que fluem na superf��cie
refletora produzem um campo eletromagn�etico que ser�a adicionado ao campo da corrente original,
modi�cando o diagrama de radia�c~ao quando comparado �a situa�c~ao de antena isolada.
42 ENE - FT - UnB
Figura 3.5: Sentidos das correntes imagens.
A Fig.3.5 mostra o dipolo elementar posicionado horizontalmente e verticalmente acima
da terra (considerada perfeitamente condutora). As condi�c~oes de contorno exigem que a com-
ponente tangencial de E e a componente normal de H sejam zero na superf��cie do condutor
perfeito. Ent~ao, na superf��cie, o campo E �e normal e o campo H �e tangencia.
O efeito da presen�ca do plano condutor no diagrama de radia�c~ao pode ser obtido
utilizando-se o m�etodo das imagens, segundo o qual o campo secund�ario, no espa�co acima do
plano condutor, n~ao se altera ao se substituir o plano por uma fonte de corrente imagem de igual
magnitude da fonte real e com o sentido escolhido de modo a zerar a componente tangencial
do campo el�etrico total na superf��cie do plano condutor. No caso do dipolo el�etrico horizontal,
a corrente imagem tem o sentido contr�ario �a da corrente real; para o dipolo el�etrico vertical, a
corrente imagem tem o mesmo sentido da corrente real, Fig.3.5.
Quando a dista^ncia da fonte real para o plano �e igual a zero, os campos prim�ario e
secund�ario do dipolo horizontal s~ao iguais em m�odulo e de sinais contr�arios, o campo total
resultante �e igual a zero e a radia�c~ao �e nula. Para o dipolo vertical, os campos prim�ario e
secund�ario s~ao iguais em m�odulo e sinal, de modo que o campo total �e o dobro quando comparado
ao campo do dipolo no espa�co livre.
A resiste^ncia de radia�c~ao para o dipolo na altura igual a zero no caso horizontal ser�a nula
e no caso vertical ser�a o dobro, devido ao fato da densidade de pote^ncia radiada em cada ponto
do espa�co ser quaduplicada, devido �a pote^ncia ser radiada somente no semi-espa�co superior.
Portanto, a resiste^ncia de radia�c~ao de um dipolo el�etrico vertical de comprimento dz, situado na
superf��cie de um plano condutor perfeito, �e determinada pela express~ao
Rr = 160pi2
�
dz
λ
�2
(Ω) (3.30)
A Fig.3.6 mostra o diagrama de radia�c~ao, no plano de eleva�c~ao, do dipolo el�etrico vertical
situado na superf��cie do plano condutor (h = 0). Como se observa, o dipolo vertical radia
o m�aximo de pote^ncia ao longo da superf��cie do plano e tem radia�c~ao zero em uma dire�c~ao
perpendicular ao plano.
Antenas e Propagac¸a˜o 43
Figura 3.6: Diagrama de radia�c~ao do dipolo el�etrico elementar sobre um condutor perfeito.
Figura 3.7: Dipolo el�etrico.
Cabe notar que para h = 0 o plano condutor in�nito aumenta em duas vezes a diretivi-
dade do dipolo vertical e, ent~ao, na dire�c~ao de radia�c~ao m�axima se obt�em Dma´x = 3.
3.4 Antena dipolo
A antena dipolo �e amplamente utilizada na pr�atica de forma isolada ou como um elemento na
forma�c~ao de conjuntos. O dipolo el�etrico, Fig.3.7, �e um condutor cil��ndrico de comprimento
l1 + l2 e raio a, alimentado nos pontos de corte por um gerador em alta frequ¨e^ncia. Quando os
comprimentos dos bra�cos s~ao iguais (l1 = l2), o dipolo �e sim�etrico. O gerador pode ser acoplado
no dipolo de diversas maneiras. Em particular, os dipolos sim�etricos podem ser alimentados por
meio de linhas de transmiss~ao bi�lares (equilibradas).
Para determinar os campos el�etrico e magn�etico radiados pelo dipolo, pode-se utilizar
o m�etodo direto da se�c~ao 3.2.2. Considere o dipolo sim�etrico orientado no eixo z e com o seu
centro coincidindo com a origem do sistema de coordenadas esf�ericas, Fig.3.8. Como as correntes
que circulam no dipolo te^m somente componentes na dire�c~ao z, o potencial vetor na regi~ao de
campo distante, equa�c~ao (3.19), ter�a somente a componente z, igual a
Az =
e−jkR
4piR
Z l
−l
Iz(z0)ejkz
′ cos θdz0 (3.31)
em que z0 cos θ �e a diferen�ca de percurso entre os raios tra�cados desde a origem das coordenadas
e desde o ponto de integra�c~ao z0 at�e o ponto de observa�c~ao.
Utilizando uma distribui�c~ao de corrente senoidal da forma
Iz(z) = I0
sin k(l − jzj)
sin kl
jzj < l (3.32)
e a rela�c~ao entre o potencial vetor magn�etico e o campo el�etrico dada por (3.17), determina-se
Eθ =
jI0η
2pi sin kl
�
cos(kl cos θ)− cos kl
sin θ
�
e−jkR
R
(3.33)
44 ENE - FT - UnB
Figura 3.8: Determina�c~ao do campo distante radiado pelo dipolo el�etrico sim�etrico.
A Fig.3.9 mostra a varia�c~ao da forma do diagrama de radia�c~ao do dipolo sim�etrico
no plano transversal, em fun�c~ao do comprimento do bra�co do dipolo. Para um dipolo curto,
Fig.3.9a, os cossenos com pequenos argumentos na express~ao (3.33) podem ser substitu��dos pelos
dois primeiros termos do desenvolvimento em s�erie exponencial cosα � 1−α2/2, e, considerando
que sin kl � kl, chega-se a
Eθ =
jI0η
2
�
l
λ
�
sin θ
e−jkR
R
kl << 1 (3.34)
Comparando as equa�c~oes (3.34) e (3.21) se conclui que o dipolo sim�etrico curto, com
distribui�c~ao de corrente senoidal, �e equivalente, para o campo radiado, ao dipolo el�etrico de
Hertz de comprimento duas vezes menor. Ent~ao, para o dipolo curto de comprimento total 2l,
a diretividade no plano transversal �e igual 1,5 e o m�odulo da resiste^ncia de radia�c~ao no espa�co
livre �e igual a
Rr = 80pi2
�
l
λ
�2
(Ω) (3.35)
Para o dipolo de meia onda com o comprimento de cada bra�co l = λ/4, Fig.3.9a, a
express~ao (3.33) se reduz a
Eθ = j
I0η
2pi
cos(pi2 cos θ)
sin θ
e−jkR
R
(3.36)
A radia�c~ao m�axima, como no caso anterior, est�a orientada no plano transversal θ = pi/2
e a largura do diagrama de radia�c~ao �e um pouco menor. A largura do diagrama de radia�c~ao �e
normalmente caracterizada pelo a^ngulo de abertura �θ, em cujos limites a intensidade de campo
n~ao �e menor que a intensidade de campo na dire�c~ao de radia�c~ao m�axima dividida por
p
2. Esse
Antenas e Propagac¸a˜o 45
Figura 3.9: Diagramas direcionais de um dipolo sim�etrico.
Figura 3.10: Distribui�c~oes de corrente e de carga em um dipolo el�etrico.
a^ngulo de abertura �e denominado de largura de feixe de meia pote^ncia. Os valores caracter��sticos
de largura de feixe do diagrama de radia�c~ao no plano transversal de um dipolo sim�etrico est~ao
indicados na Fig.3.9.
Aumentando-se o comprimento dos bra�cos do dipolo para l = λ/2, o diagrama de ra-
dia�c~ao transversal do dipolo sim�etrico se estreita e, para l > λ/2, al�em do lobo principal apare-
cem l�obulos secund�arios. Aumentando-se ainda mais o comprimento dos bra�cos do dipolo, o
lobo principal come�ca a diminuir e os l�obulos secund�arios aumentam. Isso se deve ao surgimento
de setores