Lista 6 - C1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
Projeto Newton - Ca´lculo I
Lista 06: Encontros 16 e 17.
1. (0,2 pts) Derive
(a) y = |e−x| cosx
(b) y = ln(secx+ tanx)
(c) y =
√
x2 + e
√
x
(d) y =
coshx
sen2 x
2. (0,2 pts) Seja g : R −→ R uma func¸a˜o diferencia´vel e seja f dada por
f(x) = xg(x2). Calcule f ′(1) supondo g(1) = 6 e g′(1) = 2.
3. (0,2 pts) Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo, dizendo que grandezas
elas representam e em quais unidades:
(a) s(t) = 5 sen(5t), se s(t) representa a posic¸a˜o (dada em m, me-
tros) em um instante t (dado em s, segundos) de uma part´ıcula em
movimento retil´ıneo;
(b) Q(t) = e−
√
7t, se Q(t) exprime a carga ele´trica (dado em coulombs,
C) de um capacitor ele´trico em cada instante t (dado em segundos);
4. (0,2 pts) Verifique se a func¸a˜o
y = e−3x cos(4x)
e´ soluc¸a˜o da seguinte equac¸a˜o diferencial:
d2y
dx2
+ 6
dy
dx
+ 25y = 0
5. (0,2 pts) Mostre que:
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i. a derivada da a´rea de um c´ırculo em relac¸a˜o ao raio fornece o
comprimento da circunfereˆncia;
ii. a derivada do volume de uma esfera em relac¸a˜o ao raio fornece
a a´rea da superf´ıcie esfe´rica;
iii. a derivada do volume de um cilindro em relac¸a˜o ao raio
(supondo sua altura constante) fornece a a´rea lateral do mesmo;
iv. a derivada do volume de um cilindro em relac¸a˜o a` altura
(supondo agora o raio constante) fornece a a´rea de uma base do
mesmo.
Fac¸a um esforc¸o para “enxergar geometricamente” cada uma dessas relac¸o˜es
(pense, por exemplo, o quanto muda o volume de uma esfera quando se
varia “so´ um pouquinho” o raio da esfera). Apo´s ter conseguido enxergar
esses quatro exemplos, ficara´ mais fa´cil de “entender geometricamente”
por que a derivada, em relac¸a˜o a` medida da aresta, do volume de um cubo
fornece a a´rea de exatamente treˆs faces laterais.
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