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Ca´lculo II - Lista 8 1. (a) Um cilindro anular tem um raio interno R e um raio externo r (veja figura). Seja o momento de ine´rcia dado por I = m 2 (R2 + r2) com m a massa. Os dois raios crescem a` taxa de 2 cent´ımetros por segundo. Calcule a taxa na qual I varia no instante que os raios sa˜o 6 e 8, respectivamente. (b) A voltagem V em um circuito ele´trico decresce lentamente a` me- dida que a pilha se descarrega. A resisteˆncia R aumenta lentamente com o aumento de calor no resistor. Use a lei de Ohm, V = I.R, para calcular como a corrente I esta´ variando no momento que R = 400Ω, I = 0, 08A, dV dt = −0, 01 V/s e dR dt = 0, 03 Ω/s. 2. Usando a regra da cadeia apropriada, calcule as seguintes derivadas: (a) dz dt para z = √ y x , x = cos(t) e y = sen(t); (b) d2z dt2 para z = x2 y , x = t2 e y = t+ 1; (c) ∂z ∂r e ∂z ∂θ para z = √ 25− 5x2 − 5y2, x = r cos(θ) e y = rsen(θ); (d) ∂w ∂s e ∂w ∂t para w = x cos(yz), x = s2, y = t2 e z = s− 2t. 1 3. Diferenciando implicitamente, calcule as seguintes derivadas: (a) dy dx para cos(x) + tg(xy) + 5 = 0; (b) ∂z ∂x e ∂z ∂y para x ln(y) + zy2 + z2 = 8. 4. Sejam f(x, y) = x2 + y2 e ~u = cos(θ)i + sen(θ)j (a) Usando a definic¸a˜o, calcule a derivada direcional Duf(x0, y0) de f em (x0, y0) na direc¸a˜o do vetor ~u. (b) Considere g(h) = f(x0+h cos(θ), y0+h sen(θ)). Verifique que g ′(h) = ∂f ∂x (x0, y0) cos(θ) + ∂f ∂y (x0, y0)sen(θ) e g ′(0) = Duf(x0, y0). Conclua que Duf(x0, y0) = ∂f ∂x (x0, y0) cos(θ) + ∂f ∂y (x0, y0)sen(θ). 5. (a) Defina o vetor gradiente da func¸a˜o z = f(x, y) e enuncie suas propriedades; (b) Descreva a relac¸a˜o entre o vetor gradiente e as curvas de n´ıvel da func¸a˜o z = f(x, y). 2
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