Buscar

Lista 8 - C2

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Ca´lculo II - Lista 8
1. (a) Um cilindro anular tem um raio interno R e um raio externo r
(veja figura). Seja o momento de ine´rcia dado por I =
m
2
(R2 + r2) com m a
massa. Os dois raios crescem a` taxa de 2 cent´ımetros por segundo. Calcule
a taxa na qual I varia no instante que os raios sa˜o 6 e 8, respectivamente.
(b) A voltagem V em um circuito ele´trico decresce lentamente a` me-
dida que a pilha se descarrega. A resisteˆncia R aumenta lentamente com
o aumento de calor no resistor. Use a lei de Ohm, V = I.R, para calcular
como a corrente I esta´ variando no momento que R = 400Ω, I = 0, 08A,
dV
dt
= −0, 01 V/s e dR
dt
= 0, 03 Ω/s.
2. Usando a regra da cadeia apropriada, calcule as seguintes derivadas:
(a)
dz
dt
para z =
√
y
x
, x = cos(t) e y = sen(t);
(b)
d2z
dt2
para z =
x2
y
, x = t2 e y = t+ 1;
(c)
∂z
∂r
e
∂z
∂θ
para z =
√
25− 5x2 − 5y2, x = r cos(θ) e y = rsen(θ);
(d)
∂w
∂s
e
∂w
∂t
para w = x cos(yz), x = s2, y = t2 e z = s− 2t.
1
3. Diferenciando implicitamente, calcule as seguintes derivadas:
(a)
dy
dx
para cos(x) + tg(xy) + 5 = 0;
(b)
∂z
∂x
e
∂z
∂y
para x ln(y) + zy2 + z2 = 8.
4. Sejam f(x, y) = x2 + y2 e ~u = cos(θ)i + sen(θ)j
(a) Usando a definic¸a˜o, calcule a derivada direcional Duf(x0, y0) de f em
(x0, y0) na direc¸a˜o do vetor ~u.
(b) Considere g(h) = f(x0+h cos(θ), y0+h sen(θ)). Verifique que g
′(h) =
∂f
∂x
(x0, y0) cos(θ) +
∂f
∂y
(x0, y0)sen(θ) e g
′(0) = Duf(x0, y0). Conclua que
Duf(x0, y0) =
∂f
∂x
(x0, y0) cos(θ) +
∂f
∂y
(x0, y0)sen(θ).
5. (a) Defina o vetor gradiente da func¸a˜o z = f(x, y) e enuncie suas
propriedades;
(b) Descreva a relac¸a˜o entre o vetor gradiente e as curvas de n´ıvel da
func¸a˜o z = f(x, y).
2

Outros materiais

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

Materiais recentes

Perguntas Recentes