Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade Federal da Paraíba Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral 3 Problemas 1. Seja Ω um conjunto aberto em Rn. Um campo vetorial ~F : Ω ⊂ Rn → Rn é um campo conversativo quando existe uma função ϕ : Ω ⊂ Rn → R que possui derivadas parciais em todas as direções em Ω tal que ~F (X) = ∇ϕ(X) para todo X ∈ Ω. Neste caso, ϕ é chamada função potencial do campo ~F . É verdade que se ϕ : Ω ⊂ Rn → R é uma função potencial do campo ~F , a função ψ : Ω ⊂ Rn → R definida por ψ(X) = ϕ(X) + α para todo X ∈ Ω, onde α é uma constante, é também uma função potencial do campo ~F? Por quê? 2. Seja Ω um conjunto aberto em Rn. O campo vetorial ~F : Ω ⊂ Rn → Rn definido por ~F (x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn) para todo (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω, pode ser conservativo? Por quê? 3. Suponha que a forma diferencial u(x, y)dx+ v(x, y)dy seja exata em um conjunto aberto Ω ⊂ R2. A forma diferencial (u(x, y) + c)dx+ (v(x, y) + k)dy onde c, k são constantes, é também uma forma diferencial exata? Por quê? 4. Seja Ω = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 6= 0}. O campo vetorial ~F : Ω ⊂ R2 → R2 definido por F (x, y) = −y x2 + y2 ~i+ x x2 + y2 ~j para todo (x, y) ∈ Ω, não é conservativo. Por quê? 5. Considere a forma diferencial u(x, y)P (x, y)dx+u(x, y)Q(x, y)dy, onde P,Q e u são supostas de classe C1 no aberto Ω ⊂ R2. Prove que uma condição necessária para que a forma diferencial seja exata em Ω é que ∂u ∂y (x, y)P (x, y)− ∂u ∂x (x, y)Q(x, y) = u(x, y) ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) (x, y), (x, y) ∈ Ω. 6. Determine u(x, y), que só dependa de y, de modo que (y2 + 1)u(x, y)dx+ (x+ y2 − 1)u(x, y)dy seja exata. As contas realizadas para resolver este problema devem ser anexadas à folha de respostas, caso contrário a resposta não será considerada. 7. Calcule a integral ∫ (2,2) (1,1) ydx+ xdy. 8. Verifique se o campo vetorial ~F dada abaixo é conservativo. Em caso afirmativo determine uma função potencial do qual ele deriva. (a) ~F (x, y) = exy~i+ ex+y~j; (b) ~F (x, y, z) = 2xyz~i+ x2z~j + x2y~k; (c) ~F (x, y, z) = xsen(z)~i+ xsen(z)~j + xy cos(z)~k; 9. Verifique que ydx+ xdy + 5dz é uma forma diferencial exata e calcule a integral de linha∫ γ ydx+ xdy + 5dz, onde γ é o segmento de reta de origem A = (1, 1, 1) e extremidade B = (2, 3,−1). 10. Verifique se a forma diferencial é exata, e nos casos afirmativos, determine um potencial do qual ele deriva. (a) (sen(y)− ysen(x) + x)dx+ (cos(x) + x cos(y) + y)dy; (b) (sen(xy) + xy cos(xy))dx+ x2 cos(xy)dy; 7
Compartilhar