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Universidade Federal da Paraíba
Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral 3
Problemas
1. Seja Ω um conjunto aberto em Rn. Um campo vetorial ~F : Ω ⊂ Rn → Rn é um campo
conversativo quando existe uma função ϕ : Ω ⊂ Rn → R que possui derivadas parciais em
todas as direções em Ω tal que
~F (X) = ∇ϕ(X) para todo X ∈ Ω.
Neste caso, ϕ é chamada função potencial do campo ~F . É verdade que se ϕ : Ω ⊂ Rn → R
é uma função potencial do campo ~F , a função ψ : Ω ⊂ Rn → R definida por
ψ(X) = ϕ(X) + α para todo X ∈ Ω,
onde α é uma constante, é também uma função potencial do campo ~F? Por quê?
2. Seja Ω um conjunto aberto em Rn. O campo vetorial ~F : Ω ⊂ Rn → Rn definido por
~F (x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn) para todo (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω,
pode ser conservativo? Por quê?
3. Suponha que a forma diferencial
u(x, y)dx+ v(x, y)dy
seja exata em um conjunto aberto Ω ⊂ R2. A forma diferencial
(u(x, y) + c)dx+ (v(x, y) + k)dy
onde c, k são constantes, é também uma forma diferencial exata? Por quê?
4. Seja Ω = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 6= 0}. O campo vetorial ~F : Ω ⊂ R2 → R2 definido por
F (x, y) =
−y
x2 + y2
~i+
x
x2 + y2
~j para todo (x, y) ∈ Ω,
não é conservativo. Por quê?
5. Considere a forma diferencial u(x, y)P (x, y)dx+u(x, y)Q(x, y)dy, onde P,Q e u são supostas
de classe C1 no aberto Ω ⊂ R2. Prove que uma condição necessária para que a forma
diferencial seja exata em Ω é que
∂u
∂y
(x, y)P (x, y)− ∂u
∂x
(x, y)Q(x, y) = u(x, y)
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
(x, y), (x, y) ∈ Ω.
6. Determine u(x, y), que só dependa de y, de modo que
(y2 + 1)u(x, y)dx+ (x+ y2 − 1)u(x, y)dy
seja exata. As contas realizadas para resolver este problema devem ser anexadas à folha de
respostas, caso contrário a resposta não será considerada.
7. Calcule a integral ∫ (2,2)
(1,1)
ydx+ xdy.
8. Verifique se o campo vetorial ~F dada abaixo é conservativo. Em caso afirmativo determine
uma função potencial do qual ele deriva.
(a) ~F (x, y) = exy~i+ ex+y~j;
(b) ~F (x, y, z) = 2xyz~i+ x2z~j + x2y~k;
(c) ~F (x, y, z) = xsen(z)~i+ xsen(z)~j + xy cos(z)~k;
9. Verifique que ydx+ xdy + 5dz é uma forma diferencial exata e calcule a integral de linha∫
γ
ydx+ xdy + 5dz,
onde γ é o segmento de reta de origem A = (1, 1, 1) e extremidade B = (2, 3,−1).
10. Verifique se a forma diferencial é exata, e nos casos afirmativos, determine um potencial do
qual ele deriva.
(a) (sen(y)− ysen(x) + x)dx+ (cos(x) + x cos(y) + y)dy;
(b) (sen(xy) + xy cos(xy))dx+ x2 cos(xy)dy;
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