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Instituto de Estudos Superiores da Amazônia - IESAM 
Curso: Engenharia Elétrica 
Disciplina Cálculo II – Prof. Ismael Passos 
 
1 – Seqüência Numérica 
 Chama-se seqüência ou sucessão numérica de números reais dispostos em determinada ordem. 
 É comum indicar-se uma seqüência por uma fórmula que representa o seu termo geral. Por 
exemplo, ( )1 1na a n r= + − indica uma progressão aritmética de 1º termo 1a e razão r . 
 
Exemplos 
 
1) 1,3,5,7,... 
2) 1 1 11, , , ,...
2 4 8
 
 
2 – Séries Numéricas 
 Seja 1 2 3, , ,..., ,...na a a a uma seqüência numérica. Chama-se série numérica de termo geral na à 
expressão 
1 2 3 ... ...na a a a+ + + + + 
que abreviadamente se costuma escrever 
1
n
n
a
+∞
=
∑ ou, ainda, na∑ e 
1
n
n
a
∞
=
∑ . 
Exemplos 
1) ( )
1
1 3 5 7 ... 2 1 ... 2 1
n
n n
∞
=
+ + + + + − + = −∑ 
2) 
1
1
1
1 1 1 1 11 ... ...
2 4 8 2 2
n
n
n
−
∞
−
=
 
+ + + + + + =  
 
∑ 
 
 
3 – Funções Periódicas 
 Uma função ( )f t definida para todo t é periódica se existir um número positivo p tal que 
( ) ( )f t p f t+ = para todo t . O número p é então chamado de período da função f . 
 
4 – Séries de Fourier de funções de período 2pi 
 Seja ( )f t uma função contínua por partes de período 2pi que está definida para todo t . Então a 
série de Fourier é a série 
( )0
1
cos
2 n nn
a
a nt b sen nt
∞
=
+ +∑ 
Onde os coeficientes na e nb estão definidos por meios de fórmulas 
( )1 cosna f t ntdt
pi
pipi −
= ∫ 
para 0,1, 2,3,...n = e 
( )1nb f t sen ntdt
pi
pipi −
= ∫ 
para 0,1, 2,3,...n = . 
Observe que para 0n = , temos cos 1nt = , para todo t . Sendo assim, obtemos ( )0 1a f t dt
pi
pipi −
= ∫ . 
 
2
Exemplo: 
 
1) Encontre a série de Fourier da função de onda quadrada 
( )
1 0;
1 0 ;
0 , 0, .
se t
f t se t
se t ou
pi
pi
pi pi
− − < <

= + < <

= −
 
 
Resolução: Observe que a função ( )f t tem período 2pi . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primeiro precisamos calcular 0a e os coeficientes na e nb . 
 
( )1 cosna f t ntdt
pi
pipi −
= ∫ e ( )1nb f t sen ntdt
pi
pipi −
= ∫ 
 
Obtidos os valores de 0a , na e nb , os substituímos em 
( ) ( )0
1
cos
2 n nn
af t a nt b sen nt
∞
=
= + +∑ . 
 
2) Encontre a série de Fourier da função de período 2pi que está definida por 
( )
0 0;
0 ;
.
2
se t
f t t se t
se t
pi
pi
pi
pi


− < ≤

= ≤ <

 = ±

. 
Faça um esboço do gráfico de ( )f t . 
 
 
3) Determine a série de Fourier da função definida por 
( ) 3, 0;
3, 0
se tf t
se t
pi
pi
+ − < ≤
= 
− < ≤
. 
Faça um esboço do gráfico da função. 
 
 
 
 
 
t pi− pi 
-1 
1 
( )f t 
0