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1 Instituto de Estudos Superiores da Amazônia - IESAM Curso: Engenharia Elétrica Disciplina Cálculo II – Prof. Ismael Passos 1 – Seqüência Numérica Chama-se seqüência ou sucessão numérica de números reais dispostos em determinada ordem. É comum indicar-se uma seqüência por uma fórmula que representa o seu termo geral. Por exemplo, ( )1 1na a n r= + − indica uma progressão aritmética de 1º termo 1a e razão r . Exemplos 1) 1,3,5,7,... 2) 1 1 11, , , ,... 2 4 8 2 – Séries Numéricas Seja 1 2 3, , ,..., ,...na a a a uma seqüência numérica. Chama-se série numérica de termo geral na à expressão 1 2 3 ... ...na a a a+ + + + + que abreviadamente se costuma escrever 1 n n a +∞ = ∑ ou, ainda, na∑ e 1 n n a ∞ = ∑ . Exemplos 1) ( ) 1 1 3 5 7 ... 2 1 ... 2 1 n n n ∞ = + + + + + − + = −∑ 2) 1 1 1 1 1 1 1 11 ... ... 2 4 8 2 2 n n n − ∞ − = + + + + + + = ∑ 3 – Funções Periódicas Uma função ( )f t definida para todo t é periódica se existir um número positivo p tal que ( ) ( )f t p f t+ = para todo t . O número p é então chamado de período da função f . 4 – Séries de Fourier de funções de período 2pi Seja ( )f t uma função contínua por partes de período 2pi que está definida para todo t . Então a série de Fourier é a série ( )0 1 cos 2 n nn a a nt b sen nt ∞ = + +∑ Onde os coeficientes na e nb estão definidos por meios de fórmulas ( )1 cosna f t ntdt pi pipi − = ∫ para 0,1, 2,3,...n = e ( )1nb f t sen ntdt pi pipi − = ∫ para 0,1, 2,3,...n = . Observe que para 0n = , temos cos 1nt = , para todo t . Sendo assim, obtemos ( )0 1a f t dt pi pipi − = ∫ . 2 Exemplo: 1) Encontre a série de Fourier da função de onda quadrada ( ) 1 0; 1 0 ; 0 , 0, . se t f t se t se t ou pi pi pi pi − − < < = + < < = − Resolução: Observe que a função ( )f t tem período 2pi . Primeiro precisamos calcular 0a e os coeficientes na e nb . ( )1 cosna f t ntdt pi pipi − = ∫ e ( )1nb f t sen ntdt pi pipi − = ∫ Obtidos os valores de 0a , na e nb , os substituímos em ( ) ( )0 1 cos 2 n nn af t a nt b sen nt ∞ = = + +∑ . 2) Encontre a série de Fourier da função de período 2pi que está definida por ( ) 0 0; 0 ; . 2 se t f t t se t se t pi pi pi pi − < ≤ = ≤ < = ± . Faça um esboço do gráfico de ( )f t . 3) Determine a série de Fourier da função definida por ( ) 3, 0; 3, 0 se tf t se t pi pi + − < ≤ = − < ≤ . Faça um esboço do gráfico da função. t pi− pi -1 1 ( )f t 0
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