Aula 16 - Regra da cadeia

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 16
Assunto: Regra da cadeia
Palavras-chaves: derivada,derivadas parciais, função composta, regra da cadeia
Regra da Cadeia
Os teoremas que recebem o nome de "regra da cadeia"são utilizados para derivação de funções compostas.
Por exemplo, para funções de uma variável real a valores reais, temos o seguinte resultado: se f e g são
funções tais que Img ⊂ Df e g é diferenciável em t0 e f é diferenciável em g(t0), então F (t) = f(g(t)) é
diferenciável em t0 e
F ′(t0) = f ′(g(t0)).g′(t0)
É claro que se f e g são funções diferenciáveis (em todos os pontos dos seus domínios) então teremos
F ′(t) = f ′(g(t)).g′(t)
Podemos apresentar isso de outra maneira escrevendo
y = f(x) e x = g(t)
Portanto,
y = f(g(t))
e, assim, a fórmula F ′(t) = f ′(g(t)).g′(t), pode ser reescrita da forma
F ′(t) = f ′(x).x′
ou ainda
F ′(t) = y′. x′
ou, usando a notação de Leibniz,
dy
dt
=
dy
dx
.
dx
dt
(1)
Esse resultado pode ser generalizado para funções de várias variáveis através do seguinte teorema.
Teorema 1 (Regra da cadeia) Sejam f : A ⊂ Rn → R, com A aberto, e α : I ⊂ R → Rn tais que α(t) ∈ A,
para todo t no intervalo aberto I. Se α é diferenciável em t0 e f é diferenciável em α(t0), então F (t) = f(α(t))
é diferenciável em t0 e
F ′(t0) = ∇f(α(t0)).α′(t0)
Também é claro que se f e α são diferenciáveis (em todos os pontos dos seus respectivos domínios), então
F ′(t) = ∇f(α(t)).α′(t)
para todo t ∈ I.
Vamos analisar o caso no qual n = 2. Escrevamos α(t) = (g(t), h(t)). Logo
∇f(α(t)) = ∇f(g(t), h(t)) =
(
∂f
∂x
(g(t), h(t)),
∂f
∂y
(g(t), h(t))
)
e α′(t) = (g′(t), h′(t)). Portanto
F ′(t) =
∂f
∂x
(g(t), h(t))g′(t) +
∂f
∂y
(g(t), h(t))h′(t)
Se escrevemos z = f(x, y) e γ = g(t), y = h(t), temos z = f(g(t), h(t)) e a fómula anterior pode ser
reescrita da forma
dz
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
(2)
em que está subentendido que as derivadas parciais estão calculadas no par (g(t), h(t)).
Consideramentos a fórmula 2 como uma generalização de 1.
Em muitos dos problemas envolvendo a regra da cadeia, pede-se para que seja calculada
dz
dt
em que z =
f(x, y) e x = g(t), y = h(t). Na verdade, está sendo pedido a derivada de F (t) = f(α(t)) em que α(t) =
(g(t), h(t))
2
Exemplo 1 Sejam z = xy2 + 2y, x = 2t, y = sin t. Calcule
dz
dt
.
Resolução:
• 1◦ Processo:
Temos que z = xy2 + 2y, x = 2t, y = sin t, logo
z = 2t(sin t)2 + 2 sin t
= 2t sin2 t+ 2 sin t
Portanto
dz
dt
= 2(sin2 t+ t2 sin t+ cos t) + 2 cos t
= 2 sin2 t+ 4t sin t cos t+ 2 cos t
• 2◦ Processo:
Sabe-se que
dz
dt
=
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
Como
∂z
∂x
= y2 ⇒ ∂z
∂x
(2t, sin t) = sin2 t
∂z
∂y
= 2xy + 2 ⇒ ∂z
∂x
(2t, sin t) = 4t sin t+ 2
e
dx
dt
= 2 ;
dy
dt
= cos t
Portanto
dz
dt
= (sin2 t)2 + (4t sin t+ 2) cos t
= 2 sin2 t+ 4t sin t cos t+ 2 cos t
3
Se, por exemplo, T (x, y) = xy2 + 2y representa a temperatura no ponto (x, y), a função T (2t, sin t) repre-
senta a temperatura ao longo da curva α(t) = (2t, sin t) e
dT
dt
é a taxa de variação da temperatura ao longo
da curva.
A fórmula 2 se esntende para o caso de funções de três ou mais variáveis. Por exemplo, se tivermos
z = f(x, y, z), x = x(t), y = y(t), z = z(t)
então
dz
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
+
∂f
∂z
dz
dt
Exemplo 2 Consideremos as seguintes funções
f(x, y) = xy2; g(u, v) = u+ v;h(u, v) = uv
A partir dessas funções construímos a função F (u, v) dada por F (u, v) = f(g(u, v), h(u, v)). Portanto
F (u, v) = f(u+ v, uv)
= (u+ v)(uv)2
= (u+ v)u2v2
= u3v2 + u2v3
Logo,
∂F
∂u
= 3u2v2 + 2uv3
∂F
∂v
= 3u2v2 + 2u3v
O exemplo anterior faz parte de uma situação geral na qual são dadas três funções como segue
z = f(x, y) x = g(u, v) e y = h(u, v)
e são pedidas as derivadas parciais
∂z
∂u
e
∂z
∂v
. Portanto, temos z = f(g(u, v), h(u, v)) e queremos
∂z
∂u
e
∂z
∂v
.
Para calcularmos, por exemplo,
∂z
∂u
devemos considerar v constante em
z = f(g(u, v), h(u, v)),
ou seja, vamos considerar v constante em
4
z = f(x, y) x = g(u, v) e y = h(u, v)
Logo, estamos considerando x = g(u, v) e y = h(u, v) como funções apenas da variável u. Assim, tudo se
passa como se estivessemos usando a fórmula 2, mas com a diferença que agora as derivadas
dx
du
e
dy
du
são,
na verdade, derivadas parciais. Portanto temos,
∂z
∂u
=
∂f
∂x
∂x
∂u
+
∂f
∂y
∂y
∂u
Analogamente, obtemos
∂z
∂v
=
∂f
∂x
∂x
∂v
+
∂f
∂y
∂y
∂v
A seguir colocamos esse resultado na forma de teorema
Teorema 2 (Regra da cadeia - 2◦ caso) Sejam A e B conjuntos abertos do Rn, f(x, y) uma função diferenciá-
vel em A e g(u, v) e h(u, v) funções diferenciáveis em B tais que (g(u, v), h(u, v)) ∈ A, para todo (u, v) ∈ B.
Então as derivadas parciais da função F (u, v) = f(g(u, v), h(u, v)) são dadas por
∂F
∂u
=
∂f
∂x
∂x
∂u
+
∂f
∂y
∂y
∂u
∂F
∂v
=
∂f
∂x
∂x
∂v
+
∂f
∂y
∂y
∂v
em que x = g(u, v) e y = h(u, v)
As derivadas parciais
∂f
∂x e
∂f
∂y devem ser calculadas no ponto (g(u, v), h(u, v)).
Se escrevermos z = f(x, y), teremos z = f(g(u, v), h(u, v)) e as fórmulas anteriores podem ser escritas
como segue
∂z
∂u
=
∂z
∂x
∂x
∂u
+
∂z
∂y
∂y
∂u
∂F
∂v
=
∂z
∂x
∂x
∂v
+
∂z
∂y
∂y
∂v
Para memorizarmos essas fórmula, podemos usar o seguinte diagrama em árvore.
No topo, temos a variável dependente z e, logo abaixo, as variáveis (intermediárias) x e y das quais z
depende. Abaixo de x e de y estão as variáveis independentes u e v das quais as primeiras dependem.Em cada
ramo da árvore estão as derivadas parciais correspondentes.
Para obtermos, por exemplo,
∂z
∂u
devemos considerar todos os caminhos de z a u, multiplicar as derivadas
parciais que constam em cada um desses caminhos e depois basta somar esses produtos.
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ExUse as fórmulas do teorema anterior para calcular
∂z
∂u
e
∂z
∂v
em que
z = xy2, x = u+ v, y = uv
Resolução: Usando a fórmula anterior teremos
∂z
∂u
=
∂z
∂x
∂x
∂u
+
∂z
∂y
∂y
∂u
= y2.1 + 2xy.v
= (uv)2 + 2(u+ v)uv.v
= u2v2 + 2u2v2 + uv3 = 3u2v2 + 2uv3
e
∂z
∂v
=
∂z
∂x
∂x
∂v
+
∂z
∂y
∂y
∂v
= y2.1 + 2xy.u
= (uv)2 + 2(u+ v)uv.u
= u2v2 + 2u3v + u2v2 = 3u2v2 + 2u3v
Consideremos agora uma situação mais geral em que z depende de n variáveis x1, x2, .., xn e cada uma
dessas variáveis dependem, por sua vez, de m variáveis t1, t2, ..., tm.
Teorema 3 (Regra da cadeia - Caso geral) Sejam f, f1, f2, ..., fn funções diferenciáveis tais que z = f(x1, x2, .., xn)
e x1 = f1(t1, t2, ..., tm), x2 = f2(t1, t2, ..., tm), ..., xn = f + n(t1, t2, ..., tm). Então
∂z
∂ti
=
∂z
∂x1
∂x1
∂ti
+
∂z
∂x2
∂x2
∂ti
+ ...+
∂z
∂xn
∂xn
∂ti
para cada i = 1, 2, ...,m
Exemplo 3 Vamos escrever as fórmulas da regra da cadeia para o caso em que w = f(x, y, z, t), x =
x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) e t = t(u, v)
Resolução
∂w
∂u
=
∂w
∂x
∂x
∂u
+
∂w
∂y
∂y
∂u
+
∂w
∂z
∂z
∂u
+
∂w
∂t
∂t
∂u
∂w
∂v
=
∂w
∂x
∂x
∂v
+
∂w
∂y
∂y
∂v
+
∂w
∂z
∂z
∂v
+
∂w
∂t
∂t
∂v
Exemplo 4 Se u = x4y + y2z2, onde x = rset, y = rs2e−t e z = r2s sin t, determine o valor de
∂u
∂s
quando
r = 2, s = 1, t = 0
6
Resolução
Temos que:
∂u
∂s
=
∂u
∂x
∂x
∂s
+
∂u
∂y
∂y
∂s
+
∂u
∂z
∂z
∂s
= (4x3y)(ret) + (x4 + 2yz3)2rse−t + (3y2z2)(s2 sin t)
Substituindo os valores de r, s e t em x, y, e z teremosque x = 2, y = 2, z = 0. Portanto:
∂u
∂s
= (4.8.2)2.1 + (16 + 2.2.0)2.2.1.1 + (3.4.0)(4.0) = 128 + 64 = 192
Vamos mostrar que se f(x, y) é diferenciável em (x0.y0), então toda curva diferenciável, contida no gráfico
de f e que passa pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)), tem a sua reta tangente nesse ponto contida no plano tangente
ao gráficod e f nesse ponto.
Com efeito, seja α : I ⊂ R→ R3 uma tal curva. Como α(t) pertence ao gráfico de f , devemos ter
α(t) = ((x(t), y(t), f(x(t), y(t)))
e como α passa pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)), existe t0 ∈ I tal que α(t0) = (x0, y0, f(x0, y0)). Logo x(t0) =
x0 e y(t0) = y0. Segue da regra da cadeia que
α′(t0) =
(
x′(t0), y′(t0),
∂f
∂x
(x(t0), y(t0))x
′(t0) +
∂f
∂y
(x(t0), y(t0))y
′(t0)
)
=
(
x′(t0), y′(t0),
∂f
∂x
(x0, y0)x
′(t0) +
∂f
∂y
(x0, y0)y
′(t0)
)
A reta tangente a α em α(t0) é dada por
(x, y, z) = α(t0) + λα
′(t0), λ ∈ R
= (x0, y0, f(x0, y0)) + λ
(
x′(t0), y′(t0),
∂f
∂x
(x0, y0)x
′(t0) +
∂f
∂y
(x0, y0)y
′(t0)
)
Portanto,

x = x0 + λx
′(t0)
y = y0 + λy
′(t0)
z = f(x0, y0) + λ
(
∂f
∂x
(x0, y0)x
′(t0) +
∂f
∂y
(x0, y0)y
′(t0)
)
Uma equação do plano tangente ao gráfico de f em (x0, y0, f(x0, y0)) é a seguinte
z =
∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) + ∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0) + f(x0, y0)
7
Nessa equação, fazendo x = x0 + λx
′(t0) e y = y0 + λy′(t0), obtemos
z = f(x0, y0) + λ
(
∂f
∂x
(x0, y0)x
′(t0) +
∂f
∂y
(x0, y0)y
′(t0)
)
O que mostra que a reta tangente a α em α(t0) = (x0, y0, f(x0, y0)) pertence ao plano tangente ao gráfico
de f nesse ponto.
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