Aula 22 - Máximos e mínimos

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 22
Assunto: Máximos e mínimos
Palavras-chaves: máximos e mínimos, valores máximos e valores mínimos
Máximos e mínimos
Sejam f(x, y) uma função a valores reais, A um subconjunto do domínio de f(x, y), e (x0, y0) ∈ A. Dizemos
que (x0, y0) é um ponto de máximo de f(x, y) em A se
f(x, y) ≤ f(x0, y0) (∀(x, y) ∈ A)
Neste caso f(x0, y0) é chamado de valor máximo de f em A.
Diremos que (x0, y0) ∈ Df é um ponto de máximo global(ou absoluto) de f se
f(x, y) ≤ f(x0, y0) (∀(x, y) ∈ Df )
Neste caso f(x0, y0), é dito o valor máximo de f .
O ponto (x0, y0) ∈ Df é chamado de ponto máximo local de f(x, y), se existir uma bola aberta B tal que
f(x, y) ≤ f(x0, y0) (∀(x, y) ∈ B ∩Df )
Se A é um subconjunto de Df e (x0, y0) ∈ A, diremos que (x0, y0) é um ponto de mínimo de f(x, y), em
A se
f(x, y) ≤ f(x, y) (∀(x0, y0) ∈ A)
Neste caso dizemos que f(x0, y0) é o valor mínimo de f(x, y) em A.
Um ponto (x0, y0) ∈ Df é dito ponto de mínimo global (ou absoluto) de f(x, y) se
f(x, y) ≤ f(x0, y0) (∀(x, y) ∈ Df )
Neste caso, diremos que f(x0, y0) é o valor de mínimo de f(x, y).
Um ponto (x0, y0) é chamado de ponto mínimo local de f(x, y), se existir uma bola aberta B tal que
f(x0, y0) ≤ f(x, y) (∀(x, y) ∈ B ∩Df )
Os pontos de máximo e os de mínimo de f(x, y) são chamados de extremantes de f .
Exemplo 1 O ponto (0, 0) é ponto de máximo global de
1
x2 + y2 + 1
. O valor máximo de f(x, y) é 1. Essa
função não tem ponto de mínimo global
Exemplo 2 O ponto (0, 0) é ponto de mínimo global de f(x, y) = x2 + y2 e o valor mínimo de f(x, y) é 0.
Essa função não tem ponto de máximo global
Exemplo 3 O ponto (1, 1) é ponto de máximo de f(x, y) = x2 + y2 em A = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤
y ≤ 1}. O valor máximo de f(x, y) em A é 2. O ponto (0, 0) é o ponto de mínimo de f(x, y) em A e o valor
mínimo de f(x, y) em A é 0
Exemplo 4 Todos os pontos da circunferência de centro na origem e raio 1 são ponto de máximo de f(x, y) =
x2 + y2 em A = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ 1}. O valor máximo de f(x, y) em A é 1. O ponto (0, 0) é o ponto de
mínimo de f(x, y) em A e o valor de mínimo de f(x, y) em A é 0
Exemplo 5 Os pontos de máximo da função f(x, y) = x2 + y2 sobre a elipse A = {(x, y) ∈ R2;x2 + y24 = 1}
são os pontos (0, 2) e (0,−2). Tais pontos correspondem aos pontos que estão mais acima da curva contida
no gráfico de f(ver figura abaixo). O valor máximo de f em A é, portanto, 4. Os pontos de mínimo de f em
A são (1, 0) e (−1, 0).
Esses pontos correspondem aos pontos que estão mais abaixo e sobre a curva contida no gráfico de f . O
valor mínimo de f em A é igual a 1.
Observando as curvas de nível de f , fica evidente que os pontos (0, 2) e (0,−2) da elipse x2 + y
2
4
= 1 são
os pontos de máximo de f em A e que os pontos (1, 0) e (−1, 0) dessa elipse são os pontos de mínimo de f
em A.
Observemos também que a reta tangente à elipse no ponto (0, 2) coincide com a reta tangente a curva de
nível de f em (0, 2). O mesmo acontece com os outros extremantes de f em A.
Exemplo 6 A função f(x, y) = (−x3 + 3x)(y2 − 1), cujo gráfico está representado abaixo, possui um ponto
de máximo local em (−1, 0). Esse ponto não é um ponto de máximo global de f . O ponto (1, 0) é um ponto
de mínimo local de f e também esse ponto não é um ponto de mínimo global de f .
Sejam agora z = f(x, y) uma função e (x0, y0) um ponto interior de Df tal que f tenha derivadas parciais
em (x0, y0). Suponhamos que (x0, y0) seja um extremante local de f . Por exemplo, suponhamos que (x0, y0)
seja um ponto de máximo local de f .
2
Como (x0, y0) ∈
o
Df , existe um intervalo aberto I, com x0 ∈ I, e uma função g : I → R definida por
g(x) = f(x, y0). Observemos que g
′(0) =
∂f
∂x
(x0, y0). Logo g é derivável em x0. Como (x0, y0) é ponto de
máximo local de f(x, y), temos que x0 é ponto de máximo local de g. Logo g
′(x0) = 0. Assim,
∂f
∂x
(x0, y0) = 0
Analogamente, mostra-se que
∂f
∂y
(x0, y0) = 0. Temos assim o seguinte teorema
Teorema 1 Seja f(x, y) uma função que possui derivadas parciais em (x0, y0) e esse ponto é interior ao
domínio de f . Se (x0, y0) é ponto de máximo local ou de mínimo local de f(x, y), então
∂f
∂x
(x0, y0) = 0 e
∂f
∂y
(x0, y0) = 0
Como o plano tangente ao gráfico de f(x, y) em (x0, y0, f(x0, y0)) é dado por
z =
∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) + ∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0) + f(x0, y0)
Seque que se (x0, y0) ∈
o
Df é extremante local de f , então uma equação desse plano tangente é z = f(x0, y0).
Logo tal plano tangente é paralelo ao plano xy. Se (x0, y0) é ponto de máximo local de f(x, y), então o
mencionado plano tangente, em uma vizinhança do ponto (x0, y0, f(x0, y0)), está acima do gráfico de f(x, y).
Mas se (x0, y0) é um ponto de mínimo local de f(x, y), então, em uma vizinhança do ponto (x0, y0, f(x0, y0)),
o plano tangente está abaixo do gráfico de f(x, y)
O teorema anterior nos diz que para encontrarmos os pontos interiores de Df que são extremantes locais
de f , devemos procurar dentre aqueles pontos (x0, y0) que satisfazem
∂f
∂x
(x0, y0) e
∂f
∂y
(x0, y0).
Os pontos interiores de Df que satisfazem
∂f
∂x
(x0, y0) e
∂f
∂y
(x0, y0) são chamados de pontos críticos de
f(x, y).
Entretanto, é importante lembrar que a condição
∂f
∂x
(x0, y0) e
∂f
∂y
(x0, y0) para (x0, y0) ∈
o
Df é necessária,
mas não é suficiente para que (x0, y0) seja extremante local de f , pois existem funções que tais derivadas
parciais nulas em um ponto (x0, y0) ∈
o
Df sem que tal ponto seja de máximo ou de mínimo local em (x0, y0).
é o caso da função f(x, y) = y2 − x2 no ponto (0, 0)
O gráfico de f(x, y) = y2 − x2 na vizinhança de (0, 0, 0) tem o aspecto de uma sela de cavalo. Isso serve
de inspiração para a seguinte definição.
Definição 1 Um ponto crítico de f(x, y) que não é ponto de máximo ou de mínimo local de f(x, y) é chamado
de ponto de sela de f(x, y).
Se (x0, y0) é um ponto de sela de f(x, y), então o plano tangente ao gráfico de f(x, y) em (x0, y0, f(x0, y0))
é paralelo ao plano xy, mas, em toda vizinhança de (x0, y0, f(x0, y0)), há pontos do gráfico de f(x, y) que estão
3
acima do plano tangente e há pontos do gráfico de f(x, y) que estão abaixo desse plano tangente.
Seja agora f(x, y) uma função tal que Df é aberto e seja (x0, y0) um ponto de máximo local de f(x, y).
Suponhamos que f(x, y) seja de classe C2. Consideremos a função g : I → R, I intervalo aberto com x0 ∈ I,
definida por g(x) = f(x, y0). Temos que
g′(x) =
∂f
∂x
(x, y0)
g′′(x) =
∂f2
∂x2
(x, y0)
Sendo (x0, y0) um ponto de máximo local de f(x, y), temos que x0 é um ponto de máximo local de g. Logo
g′(x0) e g′′(x0) < 0
Portanto,
∂f
∂x
(x0, y0) = 0 e
∂f2
∂x2
(x0, y0) ≤ 0
Se tivéssemos tomado a função h(y) = f(x0, y), teríamos concluído que
∂f
∂y
(x0, y0) = 0 e
∂f2
∂y2
(x0, y0) ≤ 0
Se (x0, y0) fosse um ponto de mínimo local de f(x, y), então teríamos obtido
∂f
∂x
(x0, y0) = 0 ,
∂f
∂y
(x0, y0) = 0
∂f2
∂x2
(x0, y0) ≥ 0 e ∂f
2
∂y2
(x0, y0) ≥ 0
Temos assim o seguinte teorema.
Teorema 2 Sejam f(x, y) uma função de classe C2 em um aberto A e (x0, y0) ∈ A.
(a) Se (x0, y0) é um ponto de máximo local de f(x, y), então (x0, y0) é um ponto crítico de f(x, y) e
∂f2
∂x2
(x0, y0) ≤ 0 e ∂f
2
∂y2
(x0, y0) ≤ 0
(b) Se (x0, y0) é um ponto de mínimo local de f(x, y) então (x0, y0) é um ponto crítico de f(x, y) e
∂f2
∂x2
(x0, y0) ≥ 0 e ∂f
2
∂y2
(x0, y0) ≥ 0
Queremos agora obter uma condição suficiente para que um ponto crítico seja extremante local de f . Para
isso, introduziremos o conceito de hessiano de f .
4
Definição 2 O hessiano de uma função f(x, y) de classe C2 é a função H(x, y) definida por
H(x, y) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂f2
∂x2
(x, y)
∂f2∂y∂x
(x, y)
∂f2
∂y∂x
(x, y)
∂f2
∂y2
(x, y)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Portanto,
H(x, y) =
∂f2
∂x2
(x, y)
∂f2
∂y2
(x, y)−
[
∂f2
∂y∂x
(x, y)
]2
Teorema 3 Seja f(x, y) uma função de classe C2 em um aberto A e (x0, y0) ∈ A um ponto crítico de f(x, y).
(a) Se H(x0, y0) > 0 e
∂f2
∂x2
(x0, y0) > 0, então (x0, y0) é um ponto de mínimo local de f(x, y)
(b) Se H(x0, y0) > 0 e
∂f2
∂x2
(x0, y0) < 0, então (x0, y0) é um ponto de máximo local de f(x, y)
(c) Se H(x0, y0) < 0 então (x0, y0) é um ponto de sela de f(x, y).
Quando temos H(x0, y0) = 0, nada podemos afirmar.
Vamos demonstrar a parte (a) desse teorema.
Seja
−→v = (h, k) 6= (0, 0) e consideremos a função
g−→v (t) = f(x0 + ht, y0 + kt)
em que t pertence a um intervalo aberto I.
O gráfico de g−→v coincide com a curva que é obtida pela intersecção do gráfico de f(x, y) com o plano
perpendicular ao plano xy e que contém a reta
(x, y) = (x0, y0) + t(h, k)
Pela regra da cadeia temos:
g′−→v (t) =
∂f
∂x
(x0 + ht, y0 + kt)h+
∂f
∂y
(x0 + ht, y0 + kt)k
Aplicando novamente a regra da cadeia obtemos:
g′′−→v (t) =
[
∂2f
∂x2
(x0 + ht, y0 + kt)h+
∂2f
∂y∂x
(x0 + ht, y0 + kt)k
]
h+
[
∂2f
∂x∂y
(x0 + ht, y0 + kt)h+
∂2f
∂y2
(x0 + ht, y0 + kt)k
]
k
5
Segue do teorema de Schwarz que
g′′−→v (t) =
∂2f
∂x2
(x0 + ht, y0 + kt)h
2 + 2
∂2f
∂y∂x
(x0 + ht, y0 + kt)hk +
∂2f
∂y2
(x0 + ht, y0 + kt)k
2
Observemos que a função g′′−→v é contínua, pois f é de classe C
2
. Temos que
g′′−→v (0) =
∂2f
∂x2
(x0, y0)h
2 + 2
∂2f
∂y∂x
(x0, y0)hk +
∂2f
∂y2
(x0, y0)k
2
Para facilitar a escrita, escrevamos
a =
∂2f
∂x2
(x0, y0) , b =
∂2f
∂y∂x
(x0, y0) e c =
∂2f
∂y2
(x0, y0)
Logo
g′′−→v (0) = ah
2 + 2bhk + ck2
Portanto,
g′′−→v (0) = a
[
h2 + 2h
b
a
k +
c
a
k2
]
= a
[
h2 + 2h
(
b
a
k
)
+
(
b
a
k
)2
−
(
b
a
k
)2
+
c
a
k2
]
= a
[(
h+
b
a
k
)2
+
c
a
k2 − b
2
a2
k2
]
= a
[(
h+
b
a
k
)2
+
(
c
a
− b
2
a2
)
k2
]
= a
[(
h+
b
a
k
)2
+
ac− b2
a2
k2
]
= a

(
h+
b
a
k
)2
+
∣∣∣∣∣ a bb c
∣∣∣∣∣
a2
k2

= a
(
h+
b
a
k
)2
+
∣∣∣∣∣ a bb c
∣∣∣∣∣
a
k2
Logo,
g′′−→v (0) =
∂2f
∂x2
(x0, y0)
(
h+
b
a
k
)2
+
H(x0, y0)
∂2f
∂x2 (x0, y0)
k2
6
Supondo que
∂2f
∂x2
(x0, y0) > 0 e H(x0, y0) > 0, temos que g
′′−→v (0) > 0. Como g
′′−→v é contínua, segue do
teorema da conservação do sinal, que g′′−→v (t) > 0, para t em um intervalo aberto que contém zero. Logo a
concavidade de g′′−→v é para cima.
Fazendo g′′−→v variar em todas as direções, concluiremos que o gráfico de f(x, y) está acima do plano tangente
ao gráfico de f(x, y) em (x0, y0, f(x0, y0)). Logo (x0, y0) é um ponto de mínimo de f(x, y).
Exemplo 7 Encontre os pontos críticos da função f(x, y) = (−x3+3x)(y2−1) e classifique-os como máximo
local, mínimo local ou ponto de sela.
Resolução:
Temos que:
∂f
∂x
(x, y) = (−3x2 + 3)(y2 − 1) = −3(x2 − 1)(y2 − 1)
∂f
∂y
(x, y) = (−x3 + 3x)2y = −2xy(x2 − 3)
De
{
−3(x2 − 1)(y2 − 1) = 0
−2xy(x 2− 3) = 0 ⇒
{
(x2 − 1)(y2 − 1) = 0
xy(x2 − 3) = 0,
teremos que
(x2 − 1)(y2 − 1) = 0⇒ x = −1, y = 1, y = −1⇒, y = 1
Assim, quando:
x = −1 ⇒ −y(−2) = 0⇒ 2y = 0⇒ y = 0 (1)
x = 1 ⇒ y(−2) = 0⇒ −2y = 0⇒ y = 0 (2)
y = −1 ⇒ −x(x2 − 3) = 0⇒ x = 0, x = −
√
3, x =
√
3 (3)
y = 1 ⇒ x(x2 − 3) = 0⇒ x = 0, x = −
√
3, x =
√
3 (4)
De (1) concluímos que (−1, 0) é ponto crítico de f . De (2), (1, 0) é ponto crítico de f . De (3), (0,−1), (−√3,−1)
e (
√
3,−1) são pontos críticos de f e de (4), (0, 1), (−√3, 1) e (√3, 1) são pontos críticos de f .
Portanto, os pontos críticos de f são:
(−1, 0) , (1, 0) , (0,−1) , (−
√
3,−1) , (
√
3,−1) , (0, 1) , (−
√
3, 1) e (
√
3, 1)
7
O hessiano será da forma:
∂2f
∂x2
(x, y) = −3.2x(y2 − 1) = −6x(y2 − 1)
∂2f
∂y∂x
(x, y) = −3(x2 − 1)2y = −6y(x2 − 1)
∂2f
∂y2
(x, y) = −2x(x2 − 3)
H(x, y) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂f2
∂x2
(x, y)
∂f2
∂y∂x
(x, y)
∂f2
∂y∂x
(x, y)
∂f2
∂y2
(x, y)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣ −6x(y2 − 1) −6y(x2 − 1)−6y(x2 − 1) −2x(x2 − 3)
∣∣∣∣∣ = 12x2(x2−3)(y2−1)−36y2(x2−1)2
• Para o ponto (−1, 0) teremos:
H(−1, 0) = 12.1.(−2)(−1) = 24 > 0
∂f2
∂x2
(−1, 0) = −6.(−1)(−1) = −6 < 0
Portanto, (−1, 0) é ponto de máximo local de f .
• Para o ponto (1, 0) teremos:
H(1, 0) = 12.1.(−2)(−1) = 24 > 0
∂f2
∂x2
(1, 0) = −6.1.(−1) = 6 > 0
• Portanto, (1, 0) é ponto de mínimo local de f .
Para o ponto (0,−1) teremos:
H(0,−1) = −36.1.1 = −36 < 0
Portanto, (0,−1) é ponto de sela de f .
De modo análogo, temos que (−√3,−1), (√3, 1), (0, 1), (−√3, 1) e (√3, 1) são pontos de sela de f .
8