Aula 20 Derivada direcional

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 20
Assunto: Derivada direcional
Palavras-chaves: derivada,derivada direcional, gradiente
Derivada Direcional
Sejam z = f(x, y) uma função e (x0, y0) um ponto interior de Df . A derivada parcial de f , em relação a
x, no ponto (x0, y0) é definida por
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
t→0
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)
t
A diferença
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)
é a variação de f entre os pontos (x0, y0) e (x0+ t, y0). Tais pontos estão sobre a reta horizontal que passa
por (x0, y0). A distância entre esses pontos é |t|.
Diremos então que o quociente
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)
t
é a taxa de variação de f entre os pontos (x0, y0) e (x0+ t, y0) e que a derivada parcial
∂f
∂x
(x0, y0) é a taxa
de variação de f no ponto (x0, y0).
Observamos que a derivada parcial
∂f
∂x
(x0, y0) leva em conta somente os valores de f ao londo da citada
reta horizontal e nas proximidades do ponto (x0, y0).
De maneira análoga a derivada parcial de f , em relação a y, no ponto (x0, y0) é definida por
∂f
∂y
(x0, y0) = lim
t→0
f(x0, y0 + t)− f(x0, y0)
t
A diferença
f(x0, y0 + t)− f(x0, y0)
é a variação da função f entre os pontos (x0, y0) e (x0, y0+ t). Esses pontos estão sobre a reta vertical que
passa por (x0, y0) e a distância entre eles é |t|. O quociente
f(x0, y0 + t)− f(x0, y0)
t
é a taxa de variação de f entre esses pontos. A derivada parcial
∂f
∂y
(x0, y0) é a taxa de variação de f no
ponto (x0, y0).
A derivada parcial de f , em relação a y, no ponto (x0, y0) leva em conta os valores de f somente ao londo
da mecionada reta vertical e no entorno do ponto (x0, y0).
Queremos agora dar um conceito de derivada da função f no ponto (x0, y0), semelhante as da derivadas
parciais, que leva em conta os valores de f sobre uma reta que passa por (x0, y0), mas que tal reta não seja
necessariamente horizomntal ou vertical. Esse conceito será o de derivada direcional,
Seja
−→u = (a, b) um vetor unitário, isto é, ||−→u || = 1. Os pontos da reta que passa por (x0, y0) e tem a
direção do vetor
−→u são da forma.
(x, y) = (x0, y0) + t(a, b)
= (x0 + at, y0 + bt)
−−−−−→
, t ∈ R
Como
−→u é un itário, a distância entre os pontos (x0, y0) e (x0 + at, y0 + bt) é |t|. Com efeito,
||(x0 + at, y0 + bt)− (x0, y0)|| = ||(at, bt)||
= ||t(a, b)||
= |t|||−→u ||
= |t|
A diferença
f(x0 + at, y0 + bt)− f(x0, y0)
é a variação da função f entre os pontos (x0, y0) e (x0 + at, y0 + bt). O quociente
f(x0 + at, y0 + bt)− f(x0, y0)
t
2
é chamado de taxa de variação de f entre esses pontos (x0, y0) e (x0+at, y0+ bt). O limite, quando existe,
∂f
∂−→u (x0, y0) = limt→0
f(x0 + at, y0 + bt)− f(x0, y0)
t
é a taxa de variação de f em (x0, y0).
Esse limite é principalmente conhecido por derivada direcional de f no ponto (x0, y0) e na direção do vetor−→u .
É importante ressaltar que só calculamos derivadas direcionais na direção de vetores unitários.
Convencionamos que a derivada direcional de f em (x0, y0) e na direção do vetor
−→v não necessariamente
unitário é, na verdade, a derivada direcional de f em (x0, y0) e na direção do versor do vetor
−→v .
Lembramos queo versor de
−→u de um dado vetor −→v é o vetor que tem a mesma norma e o mesmo sentindo
de
−→v , mas que é unitário, ou seja,
−→u =
−→v
||−→v ||
Exemplo 1 Calcule a derivada direcional da função f(x, y) = xy no ponto (1, 2) e na direção do vetor
−→u =
(
1
2
,
√
3
2
)
.
Resolução:
O vetor
−→u é unitário, pois
||−→u || =
√√√√(1
2
)2
+
(√
3
2
)2
=
√
1
4
+
3
4
= 1
Temos que
3
∂f
∂−→u (1, 2) = limt→0
f(1 + 12 t, 2 +
√
3
2 t)− f(1, 2)
t
= lim
t→0
(1 + t2 ).(2 +
√
3t
2 )− 1.2
t
= lim
t→0
�2 +
√
3
2 t+ t+
√
3
4 t
2��−2
t
= lim
t→0
�t(
√
3
2 + 1 +
√
3
4 t)
�t
= lim
t→0
(√
3
2
+ 1 +
√
3
4
t
)
=
√
3
2
+ 1
Adiante veremos outra maneira de calcularmos a derivada direcional de uma função diferenciável.
Observemos agora que as derivadas parciais são os casos particulares de derivada direcional. De fato,
consideremos os vetores
−→
i = (1, 0) e
−→
j = (0, 1). Temos
∂f
∂
−→
i
(x0, y0) = lim
t→0
f(x0 + 1t, y0 + 0t)− f(x0, y0)
t
= lim
t→0
f(x0 + t, y0)− f(x0, y0)
t
=
∂f
∂x
(x0, y0)
∂f
∂
−→
j
(x0, y0) = lim
t→0
f(x0 + 0t, y0 + 1t)− f(x0, y0)
t
= lim
t→0
f(x0, y0 + t)− f(x0, y0)
t
=
∂f
∂y
(x0, y0)
Assim, a derivada parcial de f , em relação a x, ponto (x0, y0) é a derivada direcional de f em (x0, y0) e
na direção do vetor
−→
i . A derivada parcial de f , em relação a y, ponto (x0, y0) é a derivada direcional de f
em (x0, y0) e na direção do vetor
−→
j .
Vamos agora dar uma interpretação geométrica para a derivada direcional.
Consideremos a função
g(t) = f(x0 + at, y0 + bt)
Temos que
4
g′(0) = lim
t→0
g(t)− g(0)
t
= lim
t→0
f(x0 + at, y0 + bt)− f(x0, y0)
t
=
∂f
∂−→u (x0, y0)
A derivada direcional pode então ser vista como uma derivada ordinária.
Consideremos agora a curva
γ(t) = (x0 + at, y0 + bt, g(t))
Temos
γ′(t) = (a, b, g′(t))
Logo,
γ′(0) = (a, b, g′(0))
=
(
a, b,
∂f
∂−→u (x0, y0)
)
= (a, b, 0) +
(
0, 0,
∂f
∂−→u (x0, y0)
)
Os vetores (a, b, 0) e
(
0, 0,
∂f
∂−→u (x0, y0)
)
são ortogonais. Assim, teremos a figura
Portanto
tanα =
∂f
∂−→u (x0, y0)
||(a, b, 0)|| =
∂f
∂−→u (x0, y0)
1
=
∂f
∂−→u (x0, y0)
Vimos que a derivada direcional de f em (x0, y0) e na direção do vetor unitário
−→u = (a, b) é igual a g′(0),
em que
g(t) = (x0 + at, y0 + bt)
Essa função g pode ser vista como a composta da função f(x, y) com a curva diferenciável α(t) =
(x0 + at, y0 + bt)⇒ g(t) = f(α(t))
É claro então que, dependendo da função f envolvida, a derivada g′(0) =
∂f
∂−→u (x0, y0) pode não existir.
Mas, de acordo com a regra da cadeia, se f for diferenciável em (x0, y0), então g
′(0) existe e
g′(0) = ∇f(α(0)).α′(0)
5
Portanto,
∂f
∂−→u (x0, y0) = ∇f(x0, y0).
−→u
pois α′(0) = (a, b) = −→u .
Vamos registrar esse fato na forma de teorema.
Teorema 1 Sejam f(x, y) uma função definida em um conjunto aberto A, (x0, y0) ∈ A e −→u = (a, b) um vetor
unitário. Se f(x, y) é diferenciável em (x0, y0), então f(x, y) tem derivada direcional em (x0, y0) e na direção
do vetor
−→u e, além disso,
∂f
∂−→u (x0, y0) = ∇f(x0, y0).
−→u
Exemplo 2 Use a fórmula do teorema anterior para calcular a derivada direcional de f(x, y) = xy no ponto
(1, 2) ena direção do vetor −→u =
(
1
2
,
√
3
2
)
.
Resolução:
Temos que:
∇f(x, y) =
(
∂f
∂x
(x, y),
∂f
∂y
(x, y)
)
= (y, x)
Logo
∇f(1, 2) = (2, 1)
Portanto
∂f
∂−→u (1, 2) = ∇f(1, 2).
−→u = (2, 1).
(
1
2
,
√
3
2
)
= 1 +
√
3
2
Exemplo 3 Calcule a derivada direcional da função f(x, y) = xy2 no ponto (3,−2) ena direção do vetor
−→u = (4, 3).
Resolução:
Como
−→v não é unitário, precisamos antes determinar o seu versor.
6
−→u =
−→v
||−→v || =
(4, 3)√
42 + 32
=
(4, 3)√
16 + 9
=
(4, 3)√
25
=
(4, 3)
5
=
(
4
5
,
3
5
)
Sabemos que
∇f(x, y) = (y2, 2xy)
Logo
∇f(3,−2) = ((−2)2, 2.3.(−2)) = (4,−12)
Portanto
∂f
∂−→u (3,−2) = ∇f(3,−2).
−→u = (4,−12).
(
4
5
,
3
5
)
=
16
5
− 36
5
= −20
5
= −4
Exemplo 4 Calcule a derivada direcional da função f(x, y) = x2 + y2 no ponto (1, 1) ena direção do vetor
−→u = (−1, 1).
Resolução:
Perceba que o vetor
−→v não é unitário, logo devemos calcular seu versor. Assim, teremos o vetor unitário
dado por
−→u =
−→v
||−→v || =
(−1, 1)√
(−1)2 + 12 =
(−1, 1)√
2
=
(
− 1√
2
,
1√2
)
Sabemos que
∇f(x, y) = (2x, 2y)
Logo
∇f(1, 1) = (2, 2)
Portanto
∂f
∂−→u (1, 1) = ∇f(1, 1).
−→u = (2, 2).
(
− 1√
2
,
1√
2
)
= − 2√
2
+
2√
2
= 0
O fato da derivada direcional ser nula, no exemplo anterior, pode ser visto como consequência de um
fato geral, a saber, se
−→u tem a direção da reta tangente a curva de nível de f no ponto (x0, y0), então
∂f
∂−→u (x0, y0) = 0, pois neste caso ∇f(x0, y0)⊥
−→u .
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Esse resultado está de acordo com o fato de que a função f é constante sobre uma curva de nível e a
derivada direcional é a taxa de variação da função em (x0, y0) e na direção do vetor
−→u . Se −→u aponta na
direção em que f é constante, essa taxa de variação deve ser nula.
No exemplo anterior, o ponto (1, 1) pertence à curva x2 + y2 = 2, que é a curva de nível da função
f(x, y) = x2 + y2 referente ao nível 1, e o vetor −→v = (−1, 1) é tangente a essa curva de nível. Assim,
∂f
∂−→u (1, 1) = 0
Consideremos agora a seguinte questão. Seja f(x, y) uma função definida em um conjunto aberto A e
diferenciável em (x0, y0) ∈ A. Dentre todos os vetores unitários −→u . qual aquele que produzirá o maior valor
para a derivada direcional
∂f
∂−→u (x0, y0) e qual é esse valor máximo? E também qual o vetor unitário
−→u que
produzirá o menor valor para a derivada direcional
∂f
∂−→u (x0, y0) e qual é esse valor mínimo?
Para responder a essas perguntas, consideremos o ângulo entre os vetores ∇f(x0, y0) e −→u .
Portanto, 0 ≤ θ ≤ pi. Temos que
∂f
∂−→u (x0, y0) = ∇f(x0, y0).
−→u
= ||∇f(x0, y0)||.||−→u || cos θ
= ||∇f(x0, y0)|| cos θ
Concluímos que
∂f
∂−→u (x0, y0) é máximo quando θ = 0, isto é, quando
−→u tem a direção e sentido do vetor
gradiente ∇f(x0, y0) e esse valor máximo é ||∇f(x0, y0)||. Já o valor mínimo da derivada direcional de f em
(x0, y0) se dá quando θ = pi, isto é, quando
−→u tem a direção de ∇f(x0, y0), mas sentido contrário a esse
gradiente e tal valor mínimo é igual a −||∇f(x0, y0)||.
Exemplo 5 A função T (x, y) = x3 − y2 mede a temperatura no ponto (x, y).
1. Estando-se no ponto (1, 2), qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa
de crescimento da temperatura nessa direção?
2. Estando-se no ponto (1, 2), qual a direção e sentido de maior decrescimento da temperatura? Qual a
taxa de decrescimento da temperatura nessa direção?
3. Estando-se no ponto (1, 2), qual a direção que deve ser seguida para que ataxa de variação da temperatura
seja nula?
Resolução:
(1) Temos que
∇T (x, y) = (3x2,−2y)
Então
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∇T (1, 2) = (3,−4)
Assim, no ponto (1, 2), o vetor −→v = (3,−4) indica a direção e sentido de maior crescimento da temperatura.
A taxa de crescimento da temperatura nesta direção e sentido é 5, pois
||∇T (1, 2)|| =
√
(3)2 + (−4)2 = √9 + 16 =
√
25 = 5
(2) A direção e sentido de maior decrescimento da temperatura é indicada pelo vetor
−∇T (1, 2) = (−3, 4),
e taxa de decrescimento da temperatura nesta direção e sentido é −5
(3) A taxa de variação da temperatura é nula na direção do vetor −→w = (4, 3) pois −→w⊥∇T (1, 2)
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