Aula 29 – Integrais triplas em coordenadas cilíndricas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 29
Assunto: Cálculo de áreas com integrais duplas. Integrais triplas em coordenadas cilíndricas
Palavras-chaves: integrais duplas, integrais triplas, áreas,coordenadas cilíndricas
Cálculo de áreas com integrais duplas
Seja f(x, y) uma função definida em um conjunto limitado B.
Se f(x, y) ≥ 0, então a integral dupla
∫ ∫
B
f(x, y) dxdy
nos fornece o volume do sólido formado pelos pontos que estão abaixo do gráfico de f(x, y) e acima do
plano xy, isto é, o conjunto dos pontos dado por
B = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ B e 0 ≤ z ≤ f(x, y)}
Consideremos agora um prisma reto cuja base é um polígono de área a e sua altura mede h.
O volume V desse primas é dado por
V = área da base× altura = ah
Assim, se a altura do prisma for igual a 1, o seu volume será igual a sua altura
V = a.1 = a.
Isso também é válido para sólidos semelhantes a primas retos, mas com bases que não são necessariamente
polígonos
Assim, sendo, quando calculamos a integral dupla da função constante e igual a 1 (ou seja, f(x, y) = 1)
sobre um conjunto B, o volume obtido é igual a área do conjunto B. Portanto,
área de B =
∫ ∫
B
dxdy
Exemplo 1 Use a integral dupla para determinar a área da circunferência de raio r.
Resolução:
Consideremos a circunferência de centro na origem e raio r.
A = área da circunferência =
∫ ∫
D
dxdy ; D = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ r2}
Vamos usar coordenadas polares
{
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
,
∣∣∣∣∂(x, y)∂(θ, ρ)
∣∣∣∣ = ρ , 0 ≤ θ ≤ 2pi e 0 ≤ ρ ≤ r
Portanto,
Dθρ = {(θ, ρ) ∈ R2; 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ r}
A função ϕ(θ, ρ) = (ρ cos θ, ρ sin θ) leva o retângulo Dθρ no disco D.
A =
∫ ∫
Dθρ
ρ dθdρ =
∫ 2pi
0
∫ r
0
ρ dθdρ
=
∫ 2pi
0
[
ρ2
2
]r
0
dθ =
∫ 2pi
0
r2
2
dθ
=
r2
2
∫ 2pi
0
dθ =
r2
2
[
θ
]2pi
0
=
r2
2
2pi = pir2.
Exemplo 2 Use a integral dupla para determinar a área compreendida pela cardióide ρ = 1 + sin θ.
Resolução:
A região interna à cardióide pode ser descrita em coordenadas polares por
{
0 ≤ θ ≤ 2pi
0 ≤ ρ ≤ 1 + sin θ
Portanto, a função ϕ(θ, ρ) = (ρ cos θ, ρ sin θ) leva o conjunto
2
Cθρ = {(θ, ρ) ∈ R2; 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ 1 + sin θ}
na região C interna à cardióide.
A = área de C =
∫ ∫
C
dxdy =
∫ ∫
Cθρ
ρ dθdρ =
∫ 2pi
0
∫ 1+sin θ
0
ρ dρdθ
Temos que,
∫ 1+sin θ
0
ρ dρ =
[
ρ2
2
]1+sin θ
0
=
1
2
[
ρ2
]1+sin θ
0
=
1
2
(1 + sin θ)2
Portanto,
A =
∫ 2pi
0
1
2
(1 + sin θ)2dθ =
1
2
∫ 2pi
0
(1 + 2 sin θ + sin2 θ)dθ
=
1
2
∫ 2pi
0
(
1 + 2 sin θ +
1
2
(1− cos 2θ)
)
dθ
=
1
2
∫ 2pi
0
(
3
2
+ 2 sin θ − 1
2
cos 2θ
)
dθ
=
1
2
[
3
2
θ − 2 cos θ − 1
4
sin 2θ
]2pi
0
=
1
2
[
3
2
2pi − 2 cos 2pi − 1
4
sin 4pi −
(
3
2
.0− 2 cos 0− 1
4
sin 0
)]2pi
0
=
1
2
[3pi − 2− 0− (0− 2− 0)]
=
3pi
2
Coordenadas Cilíndricas
As coordenadas cilíndricas de um ponto P = (x, y, z) do R3 são os números θ, ρ e z em que z é o mesmo
”z” das coordenadas cartesianas de P , ρ é a distância da origem ao ponto (x, y, 0) e θ é o ângulo, medido no
sentido anti-horário, entre o eixo x e o segmento de reta de extremidades na origem e no ponto (x, y, 0).
(x, y, z) coordenadas cartesianas
(θ, ρ, z) coordenadas cilíndricas
Temos que
3
cos θ =
x
ρ
⇒ x = ρ cos θ
sin θ =
y
ρ
⇒ y = ρ sin θ
Portanto, as coordenadas cartesianas e as coordenadas cilíndricas estão relacionadas pelas fórmulas

x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
z = z
A função ϕ(θ, ρ, z) = (ρ cos θ, ρ sin θ, z) leva o paralelepípedo
Bθρz = {(θ, ρ, z) ∈ R3; 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ z ≤ h}
no cilindro
B = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 ≤ r2, 0 ≤ z ≤ h}
O determinante jacobiano da função ϕ é dado por
∂(x, y, z)
∂(θ, ρ, z)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂θ
∂x
∂ρ
∂x
∂z
∂y
∂θ
∂y
∂ρ
∂y
∂z
∂z
∂θ
∂z
∂ρ
∂z
∂z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣
−ρ sin θ cos θ 0
ρ cos θ sin θ 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = −ρ sin2 θ − ρ cos2 θ = −ρ
Logo,
∣∣∣∣∂(x, y, z)∂(θ, ρ, z)
∣∣∣∣ = ρ
Portanto, a fórmula da mudança de variável na integral tripla de uma função f(x, y, z) sobre um conjunto
B para coordenadas cilíndricas é a que segue
∫ ∫
B
∫
f(x, y, z) dxdydz =
∫ ∫
Bθρz
∫
f(ρ cos θ, ρ sin θ, z)ρ dθdρdz
Exemplo 3 Calcule
∫ ∫
E
∫ √
x2 + y2 dV onde E é o sólido contido no cilindro x2+y2 = 1, abaixo do plano
z = 4 e acima do parabolóide z = 1− x2 − y2.
Resolução:
4
O conjunto E pode ser descrito como segue
E = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 ≤ 1, 1− x2 − y2 ≤ z ≤ 4}
Portanto, temos

0 ≤ θ ≤ 2pi
0 ≤ ρ ≤ 1
1− ρ2 ≤ z ≤ 4
Assim a função ϕ(θ, ρ, z) = (ρ cos θ, ρ sin θ, z) leva o conjunto
Eθρz = {(θ, ρ, z) ∈ R3; 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ 1, 1− ρ2 ≤ z ≤ 4}
no conjunto E.
Temos que
∫ ∫
E
∫ √
x2 + y2 dV =
∫ ∫
Eθρz
∫ √
(ρ cos θ)2 + (ρ sin θ)2ρ dθdρdz =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
[∫ 4
1−ρ2
ρ2 dz
]
dρdθ
Resolvendo a integral mais interna teremos,
∫ 4
1−ρ2
ρ2 dz = ρ2
∫ 4
1−ρ2
dz = ρ2
[
z
]4
1−ρ2
= ρ2[4− (1− ρ2)] = ρ2[3 + ρ2] = 3ρ2 + ρ4
Logo,
∫ ∫
E
∫ √
x2 + y2 dV =
∫ 2pi
0
[∫ 1
0
3ρ2 + ρ4 dρ
]
dθ
Resolvendo a integral interna obteremos,
∫ 1
0
3ρ2 + ρ4 dρ =
[
ρ3 +
ρ5
5
]1
0
= 1 +
1
5
=
6
5
Portanto,
∫ ∫
E
∫ √
x2 + y2 dV =
∫ 2pi
0
6
5
dθ =
6
5
∫ 2pi
0
dθ =
6
5
[
θ
]2pi
0
=
6
5
2pi =
12pi
5
Exemplo 4 Calcule a integral iterada
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ 2
√
x2+y2
(x2 + y2) dzdydx.
Temos que,
5
I =
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ 2
√
x2+y2
(x2 + y2) dzdydx =
∫ ∫
E
∫
(x2 + y2) dxdydz
em que o conjunto E é dado por
E = {(x, y, z) ∈ R3;−2 ≤ x ≤ 2,−
√
4− x2 ≤ y ≤
√
4− x2,
√
x2 + y2 ≤ z ≤ 2}
Portanto, em coordenadas cilíndricas, temos

0 ≤ θ ≤ 2pi
0 ≤ ρ ≤ 2
ρ ≤ z ≤ 2
Logo,
I =
∫ ∫
Eθρz
∫
ρ2ρ dθdρdz =
∫ 2pi
0
∫ 2
0
[∫ 2
ρ
ρ3 dz
]
dρdθ
Resolvendo a integral mais interna obteremos,
∫ 2
ρ
ρ3 dz = ρ3
∫ 2
ρ
dz = ρ3
[
z
]2
ρ
= ρ3[2− ρ] = 2ρ3 − ρ4
Logo,
I =
∫ 2pi
0
[∫ 2
0
(2ρ3 − ρ4) dρ
]
dθ
Calculando a integral interna teremos,
∫ 2
0
(2ρ3 − ρ4) dρ =
[
ρ4
2
− ρ
5
5
]2
0
=
24
2
− 2
5
5
= 8− 32
5
=
8
5
Portanto,
I =
∫ 2pi
0
8
5
dθ =
8
5
∫ 2pi
0
dθ =
8
5
[
θ
]2pi
0
=
8
5
2pi =
16pi
5
6