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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 07 Assunto:Funções contínuas, derivadas, vetor tangente e reta normal, regra de derivação e comprimento de curva Palavras-chaves: continuidade, derivada, reta tangente, comprimento de curva, comprimento de arco. Funções contínuas Sejam α : A ⊂ R −→ Rn e t0 ∈ Dα. A função α é contínua em t0 se lim t→t0 α(t) = α(t0). Intuitivamente, α é contínua em t0 se a trajetória de α, em uma vizinhança de α(t0), é uma linha contínua (sem interrupção). Dizemos que α é contínua em B ⊂ Dα se α é contínua em todos os elementos de B. Quando α é contínua m Dα, dizemos, simplesmente, que α é contínua. Proposição 1 Sejam α(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) uma curva em Rn e t0 ∈ R. Então α é contínua em t0 ⇔ xi é contínua em t0, i = 1, 2, .., n. Demonstração: α é contínua em t0 m lim t→t0 α(t) = α(t0) m lim t→t0 (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) = (x1(t0), x2(t0), ..., xn(t0)) m( lim t→t0 x1(t), lim t→t0 x2(t), ..., lim t→t0 xn(t) ) = (x1(t0), x2(t0), ..., xn(t0)) m lim t→t0 x1(t) = x1(t0), lim t→t0 x2(t) = x2(t0), ..., lim t→t0 xn(t) = xn(t0) m x1, x2, ..., xn são contínuas em t0 Exemplo 1 α(t) = (cos t, sin t, t) é contínua, pois x(t) = cos t y(t) = sin t z(t) = t são contínuas. Exemplo 2 Consideremos a função f(t) = { −1 se t < 0 1 se t ≥ 0 A curva α(t) = (f(t), t, t2), Dα = R, não é contínua em t = 0, pois x(t) = f(t) não é contínua em t = 0. Observamos que y(t) = t e z(t) = t2 são contínuas em t = 0. Exemplo 3 A curva β(t) = ( |t| t , t, t2 ) , Dβ = R − {0}, é contínua, pois é contínua em todos os pontos de seu domínio. Derivada de funções de uma variável real a valores em Rn Sejam α : A ⊂ R −→ Rn uma função e t0 ∈ Dα. A derivada de α em t0 é definida por α′(t0) = lim t→t0 α(t)− α(t0) t− t0 quando esse limite existe. 2 Obs: α(t)− α(t0) t− t0 = 1 t− t0 (α(t)− α(t0)). Quando a derivada existe, dizemos que a função α é derivável ou diferenciável em t0. Temos, então, que α(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) α(t0) = (x1(t0), x2(t0), ..., xn(t0)) α(t)− α(t0) = (x1(t)− x1(t0), x2(t)− x2(t0), ..., xn(t)− xn(t0)) Portanto, α′(t0) = lim t→t0 1 t− t0 (α(t)− α(t0)) = lim t→t0 1 t− t0 (x1(t)− x1(t0), x2(t)− x2(t0), ..., xn(t)− xn(t0)) = lim t→t0 ( x1(t)− x1(t0) t− t0 , x2(t)− x2(t0) t− t0 , ..., xn(t)− xn(t0) t− t0 ) = ( lim t→t0 x1(t)− x1(t0) t− t0 , limt→t0 x2(t)− x2(t0) t− t0 , ..., limt→t0 xn(t)− xn(t0) t− t0 ) = (x′1(t0), x ′ 2(t0), ..., x ′ n(t0)) Logo, se α(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)), então α(t0) = (x ′ 1(t0), x ′ 2(t0), ..., x ′ n(t0)) Exemplo 4 Calcule a derivada da função α(t) no ponto indicado (a) α(t) = (t, t2), α′(2) (b) α(t) = ( cos t, sin t, t 4 ) , α′ (pi 2 ) Resolução: (a) α(t) = (t, t2) α′(t) = (1, 2t) α′(2) = (1, 2.2)⇒ α′(2) = (1, 4) (b) α(t) = ( cos t, sin t, t 4 ) α′(t) = ( − sin t, cos t, 1 4 ) α′ (pi 2 ) = ( − sin pi 2 , cos pi 2 , 1 4 ) ⇒ α′ (pi 2 ) = ( −1, 0, 1 4 ) 3 Interpretação gráfica da derivada Sejam α : A ⊂ R −→ Rn e t0 um ponto de A. Temos que α′(t0) = lim t→t0 1 t− t0 (α(t)− α(t0)) 1 t1 − t0 (α(t1)− α(t0)) 1 t2 − t0 (α(t2)− α(t0)) 1 t3 − t0 (α(t3)− α(t0)) . . . lim t→t0 1 t− t0 (α(t)− α(t0)) Portanto, α′(t0) é um vetor tangente à trajetória da curva no ponto α(t0). Por essa razão, vamos chamar α′(t0) de vetor tangente a α(t) no ponto α(t0). Exemplo 5 Calcule e represente graficamente os vetores tangentes indicados (a) α(t) = (t, t2), α′(0) e α′(1) (b) α(t) = (cos t, sin t), α′(0) e α′ (pi 4 ) (c) α(t) = ( cos t, sin t, t 4 ) , α′ (pi 2 ) Resolução: 4 (a) α′(t) = (1, 2t) α′(0) = (1, 0) α′(1) = (1, 2) (b) α′(t) = (− sin t, cos t) α′(0) = (0, 1) α′ (pi 4 ) = ( −√2 2 , √ 2 2 ) (c) α′(t) = ( − sin t, cos t, 1 4 ) α′ (pi 2 ) = ( −1, 0, 1 4 ) 5 Dados α : A ⊂ R −→ Rn e t0 ∈ A. A reta que passa pelo ponto α(t0) e tem a direção do vetor α′(t0) é chamado de reta tangente a α em α(t0). A equação vetorial dessa reta é dada por X = α(t0) + λα ′(t0), λ ∈ R em que X = (x1, x2, ..., xn). Exemplo 6 Determine equações da reta tangente a α(t) = ( cos t, sin t, t 4 ) no ponto α (pi 2 ) . Resolução: 6 α (pi 2 ) = ( 0, 1, pi 8 ) e α′ (pi 2 ) = ( −1, 0, 1 4 ) . Equação da reta tangente (x, y, z) = α (pi 2 ) + λα′ (pi 2 ) = ( 0, 1, pi 8 ) + λ ( −1, 0, 1 4 ) = ( −λ, 1, pi 8 + λ 4 ) Equações paramétricas x = −λ y = 1 z = pi 8 + λ 4 Proposição 2 α derivável em t0 ⇒ α é contínua em t0 Regras de derivação Sejam α, β : A ⊂ R −→ Rn e f : A −→ R funções deriváveis. Temos que, 1. (α+ β)′(t) = α′(t) + β′(t) 2. (f.α)′(t) = f ′(t)α(t) + f(t)α′(t) 3. (α.β)′(t) = α′(t).β(t) + α(t).β′(t) 4. (α× β)′(t) = α′(t)× β(t) + α(t)× β′(t) A demonstração dessas propriedades é muito simples e pode ser feita considerando-se as componentes das funções α e β. A título de exemplo, mostremos (3). Sejam α(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) e β(t) = (y1(t), y2(t), ..., yn(t)). Assim, teremos que α(t).β(t) = x1(t)y1(t) + x2(t)y2(t) + ...+ xn(t)yn(t) Portanto, [α(t).β(t)]′ = [x1(t)y1(t) + x2(t)y2(t) + ...+ xn(t)yn(t)]′ = x′1(t)y1(t) + x1(t)y ′ 1(t) + x ′ 2(t)y2(t) + x2(t)y ′ 2(t)...+ x ′ n(t)yn(t) + xn(t)y ′ n(t) = (x′1(t)y1(t) + x ′ 2(t)y2(t) + ...+ x ′ n(t)yn(t)) + (x1(t)y ′ 1(t) + x2(t)y ′ 2(t) + ...+ xn(t)y ′ n(t)) = (x′1(t), x ′ 2(t), ..., x ′ n(t)).(y1(t), y2(t), ..., yn(t)) + (x1(t), x2(t), ..., xn(t)).(y ′ 1(t), y ′ 2(t), ..., y ′ n(t)) = α′(t).β(t) + α(t).β′(t) 7 Comprimento de curva Sejam [a, b] um intervalo com a < b e α : [a, b] −→ Rn uma curva derivável com α′ contínua. Queremos calcular o comprimento da trajetória de α(a) até α(b). Vamos ver uma motivação para tal comprimento considerando o caso em que n = 2. Seja a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b uma partição do intervalo [a, b]. O comprimento da poligonal com vértices α(t0), α(t1), ..., α(tn) é dado por n∑ i=1 ||α(ti)− α(ti−1)|| Sejam x, y : [a, b] −→ R as funções componentes de α. Logo, α(t) = (x(t), y(t)) Assim, 8 α(ti)− α(ti−1) = (x(ti), y(ti))− (x(ti−1), y(ti−1)) = (x(ti)− x(ti−1), y(ti)− y(ti−1)) Portanto, ||α(ti)− α(ti−1)|| = √ (x(ti)− x(ti−1))2 + (y(ti)− y(ti−1))2 Pelo teorema do valor médio, existem ci e di entre ti−1 e ti, tais que x(ti)− x(ti−1) = x′(ci)(ti − ti−1) y(ti)− y(ti−1) = y′(di)(ti − ti−1) Escrevendo ∆ti = ti − ti−1, temos x(ti)− x(ti−1) = x′(ci)∆ti y(ti)− y(ti−1) = y′(di)∆ti Portanto, ||α(ti)− α(ti−1)|| = √ [x′(ci)∆ti]2 + [y′(di)∆ti]2 = √ [x′(ci)]2 + [y′(di)]2∆ti Fazendo máx∆ti → 0, os pontos ci e di estão muito próximos e como y′ é uma função contínua, temos que y′(ci) ≈ y(di). Logo ||α(ti)− α(ti−1)|| ≈ √ [x′(ci)]2 + [y′(di)]2∆ti = ||α′(ci)∆ti|| Assim, ||α(ti)− α(ti−1)|| ≈ ||α′(ci)∆ti|| e n∑ i=1 ||α(ti)− α(ti−1)|| ≈ n∑ i=1 ||α′(ci)∆ti|| é possível mostrar que "passando o limite quando máx∆ti → 0", obtemos lim máx∆ti→0 n∑ i=1 ||α(ti)− α(ti−1)|| = lim máx∆ti→0 n∑ i=1 ||α′(ci)∆ti|| = ∫ b a ||α′(t)|| dt 9 Assim, o comprimento da curva que vamos denotar por (γ), é dado por essa integral, isto é, (γ) = ∫ b a ||α′(t)|| dt Obs: Essa fórmula também é válida para α : [a, b] −→ Rn, com n > 2. Exemplo 7 (1,pág 769) Calcule o comprimento do arco da hélice circular de equação α(t)= (cos t, sin t, t) do ponto (1, 0, 0) até o ponto (1, 0, 2pi). Resolução: Temos que α(0) = (1, 0, 0) e α(2pi) = (1, 0, 2pi) Portanto, ∫ 2pi 0 ||α′(t)|| dt Temos também que α′(t) = (− sin t, cos t, 1) e ||α′(t)|| = √ (− sin t)2 + (cos t)2 + 1 = √ sin2 t+ cos2 t+ 1 = √ 2 Portanto, L(γ) = ∫ 2pi 0 √ 2 dt = √ 2 ∫ 2pi 0 dt = √ 2 [ t ]2pi 0 = 2 √ 2pi Exemplo 8 Calcule o comprimento da parábola α(t) = (t, t2) para t ∈ [0, 2]. Resolução: 10 Temos,então,que L(γ) = ∫ 2 0 ||α′(t)|| dt e α′(t) = (1, 2t) Logo, ||α′(t)|| = √ 1 + (2t)2 = √ 1 + 4t2 O que implica que L(γ) = ∫ 2 0 √ 1 + 4t2 dt Fazendo t = 1 2 tan θ obteremos θ = arctan(2t). Assim, dt = 1 2 sec2 θ dθ t = 2⇒ θ = arctan 4 t = 0⇒ θ = 0 Portanto, 11 L(γ) = ∫ arctan 4 0 √ 1 + 4. 1 4 tan2 θ 1 2 sec2 θ dθ = 1 2 ∫ arctan 4 0 √ 1 + tan2 θ sec2 θ dθ = 1 2 ∫ arctan 4 0 √ sec2 sec2 θ dθ = 1 2 ∫ arctan 4 0 sec3 θ dθ = 1 2 1 2 [ sec θ tan θ + ln | sec θ + tan θ| ]arctan 4 0 = 1 4 [ sec(arctan 4) tan(arctan 4) + ln | sec arctan 4 + tan arctan 4| ] = 1 4 [√ 1 + 42.4 + ln | √ 1 + 42 + 4| ] = 1 4 [ 4 √ 17 + ln( √ 17 + 4) ] = √ 17 + 1 4 ln( √ 17 + 4) 12
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