Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 01 Assunto:Os espaços Rn, Operações no Rn, Sistemas de coordenadas retangulares tridimensi- onais Palavras-chaves: Espaço, operações, pontos, sistemas de coordenadas. Os espaços Rn O índice n, é um número real positivo. Assim, temos que n = 1 ⇒ R1 = R n = 2 ⇒ R2 = {(x, y);x, y ∈ R} n = 3 ⇒ R3 = {(x, y, z);x, y, z ∈ R} n = 4 ⇒ R4 = {(x1, x2, x3, x4);x1, x2, x3, x4 ∈ R} Logo, Rn = {(x1, x2, ..., xn);x1, x2, ..., xn ∈ R} Por exemplo, • 2 ∈ R • ( 1 2 , pi ) , (2, 3), (√ 2, 3 4 ) ∈ R2 • ( 1,−3, 1 2 ) ∈ R3 • ( 2, 0, √ 3,−1 2 ) ∈ R4 Igualdade no Rn Seja −→u = (x1, x2, ..., xn) e −→v = (y1, y2, ..., yn) vetores do Rn. Os vetores −→u e −→v são iguais se, e somente se, suas coordenadas são iguais, isto é, (x1, x2, ..., xn) = (y1, y2, ..., yn)⇔ x1 = y1 x2 = y2 . . . xn = yn Por exemplo, (3, 4, 2) = (3, 4, 2) (1, 3,−7) 6= (1, 2,−7), pois 3 6= 2 Operações no Rn Adição(ou soma) Seja −→u = (x1, ..., xn) e −→v = (y1, ..., yn) vetores do Rn. Definimos a soma no Rn como −→u +−→v = (x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn) Por exemplo, (2, 3) + (4,−1) = (2 + 4, 3 + (−1)) = (6, 2) Multiplicação por um escalar Seja −→u = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn e λ ∈ R. Definimos a multiplicação por um escalar no Rn como λ−→u = λ(x1, x2, ..., xn) = (λx1, λx2, ..., λxn) Por exemplo, 5(2, 1, 0,−7) = (5.2, 5.1, 5.0, 5.(−7)) = (10, 5, 0,−35) Notações Algumas notações são importantes como • −→0 = (0, 0, ..., 0)︸ ︷︷ ︸ n vezes • Se −→v = (x1, x2, ..., xn)⇒ −−→v = (−x1,−x2, ...,−xn) 2 Propriedades das operações do Rn Sejam −→u ,−→v ,−→w ∈ Rn e α, β, γ ∈ R. As seguintes propriedades são válidas 1. (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w ) 2. −→u +−→v = −→v +−→u 3. −→u +−→0 = −→u 4. −→u + (−−→u ) = −→0 5. 1−→v = −→v 6. α(β−→v ) = (αβ)−→v 7. α(−→u +−→v ) = α−→u + α−→v 8. (α+ β)−→v = α−→v + β−→v Dizemos que (Rn,+, .) é um espaço vetorial. Interpretação Geométrica A interpretação geométrica de R (reta numérica) é A do R2 (plano cartesiano) 3 Exemplo 1 Represente no plano cartesiano os seguintes pares ordenados (2, 3), (1, 0), (0, 4), (−2, 0), (−1, 2), (1,−2), (−3,−4) A do R3 é( sistema de coordenadas retangular tridimensional) 4 Os planos coordenados são plano xy plano xz plano yz Representação de pontos Representamos o ponto (a, b, c) como 5 ou (a, 0, c) é a projeção de (a, b, c) no plano xz (0, b, c) é a projeção de (a, b, c) no plano yz (a, b, 0) é a projeção de (a, b, c) no plano xy 6 Exemplo 2 Represente os pontos (2, 3, 5), (1, 0, 2), (4, 2, 0) e (1,−2,−4) 7
Compartilhar