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Aula 01 Espaços Rn

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 01
Assunto:Os espaços Rn, Operações no Rn, Sistemas de coordenadas retangulares tridimensi-
onais
Palavras-chaves: Espaço, operações, pontos, sistemas de coordenadas.
Os espaços Rn
O índice n, é um número real positivo. Assim, temos que
n = 1 ⇒ R1 = R
n = 2 ⇒ R2 = {(x, y);x, y ∈ R}
n = 3 ⇒ R3 = {(x, y, z);x, y, z ∈ R}
n = 4 ⇒ R4 = {(x1, x2, x3, x4);x1, x2, x3, x4 ∈ R}
Logo,
Rn = {(x1, x2, ..., xn);x1, x2, ..., xn ∈ R}
Por exemplo,
• 2 ∈ R
•
(
1
2
, pi
)
, (2, 3),
(√
2,
3
4
)
∈ R2
•
(
1,−3, 1
2
)
∈ R3
•
(
2, 0,
√
3,−1
2
)
∈ R4
Igualdade no Rn
Seja
−→u = (x1, x2, ..., xn) e −→v = (y1, y2, ..., yn) vetores do Rn. Os vetores −→u e −→v são iguais se, e somente
se, suas coordenadas são iguais, isto é,
(x1, x2, ..., xn) = (y1, y2, ..., yn)⇔

x1 = y1
x2 = y2
.
.
.
xn = yn
Por exemplo,
(3, 4, 2) = (3, 4, 2)
(1, 3,−7) 6= (1, 2,−7), pois 3 6= 2
Operações no Rn
Adição(ou soma)
Seja
−→u = (x1, ..., xn) e −→v = (y1, ..., yn) vetores do Rn. Definimos a soma no Rn como
−→u +−→v = (x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn)
Por exemplo,
(2, 3) + (4,−1) = (2 + 4, 3 + (−1)) = (6, 2)
Multiplicação por um escalar
Seja
−→u = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn e λ ∈ R. Definimos a multiplicação por um escalar no Rn como
λ−→u = λ(x1, x2, ..., xn) = (λx1, λx2, ..., λxn)
Por exemplo,
5(2, 1, 0,−7) = (5.2, 5.1, 5.0, 5.(−7)) = (10, 5, 0,−35)
Notações
Algumas notações são importantes como
• −→0 = (0, 0, ..., 0)︸ ︷︷ ︸
n vezes
• Se −→v = (x1, x2, ..., xn)⇒ −−→v = (−x1,−x2, ...,−xn)
2
Propriedades das operações do Rn
Sejam
−→u ,−→v ,−→w ∈ Rn e α, β, γ ∈ R. As seguintes propriedades são válidas
1. (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w )
2.
−→u +−→v = −→v +−→u
3.
−→u +−→0 = −→u
4.
−→u + (−−→u ) = −→0
5. 1−→v = −→v
6. α(β−→v ) = (αβ)−→v
7. α(−→u +−→v ) = α−→u + α−→v
8. (α+ β)−→v = α−→v + β−→v
Dizemos que (Rn,+, .) é um espaço vetorial.
Interpretação Geométrica
A interpretação geométrica de R (reta numérica) é
A do R2 (plano cartesiano)
3
Exemplo 1 Represente no plano cartesiano os seguintes pares ordenados
(2, 3), (1, 0), (0, 4), (−2, 0), (−1, 2), (1,−2), (−3,−4)
A do R3 é( sistema de coordenadas retangular tridimensional)
4
Os planos coordenados são

plano xy
plano xz
plano yz
Representação de pontos
Representamos o ponto (a, b, c) como
5
ou
(a, 0, c) é a projeção de (a, b, c) no plano xz
(0, b, c) é a projeção de (a, b, c) no plano yz
(a, b, 0) é a projeção de (a, b, c) no plano xy
6
Exemplo 2 Represente os pontos (2, 3, 5), (1, 0, 2), (4, 2, 0) e (1,−2,−4)
7

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