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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 31 Assunto: Revisão sobre integrais duplas e triplas Palavras-chaves: integrais duplas, integrais triplas, mudança de variável Revisão de integral simples O cálculo de integrais duplas e triplas recaem em integrais unidimensionais(integrais simples). Assim, é necessário saber as principais primitivas de funções de uma variável. ∫ xn dx = xn+1 n+ 1 , para n ∈ R comn 6= −1∫ 1 x dx = ln |x|∫ sinx dx = − cosx∫ cosx dx = sinx Exemplo 1 • ∫ x4 dx = x5 5 • ∫ x2 dx = x3 3 • ∫ sin 2x dx = −1 2 cos 2x • ∫ cos 2x dx = 1 2 sin 2x Exemplo 2 Calcule ∫ sin2 x dx e ∫ cos2 x dx. Resolução: Temos que cos 2x = cos(x+ x) = cosx cosx− sinx sinx = cos2 x− sin2 x = cos2 x− (1− cos2x) = cos2 x− 1 + cos2x = 2 cos2 x− 1 Portanto, cos2 x = 1 2 (1 + cos 2x) Também temos que sin2 x = 1− cos2 x = 1− 1 2 (1 + cos 2x) = 1− 1 2 − 1 2 cos 2x = 1 2 − 1 2 cos 2x Logo, sin2 x = 1 2 (1− cos 2x) Portanto, ∫ sin2 x dx = ∫ 1 2 (1− cos 2x) dx = 1 2 ∫ (1− cos 2x) dx = 1 2 ( x− 1 2 sin 2x ) ∫ cos2 x dx = ∫ 1 2 (1 + cos 2x) dx = 1 2 ∫ (1 + cos 2x) dx = 1 2 ( x+ 1 2 sin 2x ) Exemplo 3 Calcule ∫ sin3 x dx Resolução: 2 ∫ sin3 x dx = ∫ sin2 xsinx dx = ∫ (1− cos2 x) sinx dx = ∫ (sinx− cos2 x sinx) dx = ∫ sinx dx− ∫ cos2 x sinx dx = cosx− 1 3 cos3 x Revisão de integral dupla Exemplo 4 (Exercício 2 página 893) Calcule ∫ 1 0 ∫ 2 2x (x− y) dydx. Temos que, ∫ 2 2x (x− y) dy = [ xy − y 2 2 ]2 2x = x.2− 2 2 2 − ( x.2x− (2x) 2 2 ) = 2x− 2− 2x2 + 4x 2 2 = 2x− 2− 2x2 + 2x2 = 2x− 2 Portanto, ∫ 1 0 ∫ 2 2x (x− y) dydx = ∫ 1 0 (2x− 2) dx = [ x2 − 2x ]1 0 = 1− 2 = −1 Exemplo 5 (Exercício 14 página 893) Calcule de duas maneiras a integral ∫ D ∫ xy dA, em que D é limitada pelas curvas y = x2 e y = 3x. Resolução: Primeiramente veremos onde as curvas y = x2 e y = 3x se interceptam. { y = x2 y = 3x ⇒ x2 = 3x⇒ x2 − 3x = 0⇒ x(x− 3) = 0⇒ x = 0 ou x = 3{ x = 0⇒ y = 0⇒ (0, 0) x = 3⇒ y = 9⇒ (3, 9) Portanto, (0, 0) e (3, 9) são os pontos de intersecção das curvas. 3 • 1◦ maneira: ∫ D ∫ xy dA = ∫ 3 0 ∫ 3x x2 xy dydx Temos que ∫ 3x x2 xy dy = [ 1 2 xy2 ]3x x2 = 1 2 x [ y2 ]3x x2 = 1 2 x [ (3x)2 − (x2)2] = 1 2 x ( 9x2 − x4) = 1 2 (9x3 − x5) Portanto, ∫ D ∫ xy dA = ∫ 3 0 1 2 (9x3 − x5) dx = 1 2 ∫ 3 0 (9x3 − x5) dx = 1 2 [ 9 4 x4 − x 6 6 ]3 0 = 1 2 . 37 − 2.36 12 = 1 2 . 36(3− 2) 12 = 1 2 . 36.1 4.3 = 35 8 = 243 8 • 2◦ maneira: ∫ D ∫ xy dxdy = ∫ 9 0 ∫ √y y 3 xy dxdy Temos que ∫ √y y 3 xy dx = [ 1 2 x2y ]√y y 3 = 1 2 y [ x2 ]√y y 3 = 1 2 y [ ( √ y2)− (y 3 )2] = 1 2 y [ y − y 2 9 ] = 1 2 ( y2 − y 3 9 ) Portanto, ∫ D ∫ xy dxdy = ∫ 9 0 1 2 ( y2 − y 3 9 ) dy = 1 2 ∫ 9 0 ( y2 − y 3 9 ) dy = 1 2 [ y3 3 − y 4 4.9 ]9 0 = 1 2 [ 93 3 − 9 4 4.9 ] = 1 2 [ 93 3 − 9 3 4 ] = 1 2 [ 4.93 − 3.93 12 ] = 1 2 [ 93 12 ] = 1 2 . 36 3.4 = 1 2 . 35 4 = 243 8 Integrais duplas podem ser usadas para o cálculo do volume de certos sólidos 4 Exemplo 6 (Exercício 31 página 894) Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos z = y, x = 0, z = 0 no primeiro octante. Resolução: V = volume do sólido = ∫ D ∫ y dA Vamos usar coordenadas polares { x = ρ cos θ y = ρ sin θ , ∣∣∣∣∂(x, y)∂(θ, ρ) ∣∣∣∣ = ρ , { 0 ≤ θ ≤ pi2 0 ≤ ρ ≤ 1 Assim, Dθρ = {(θ, ρ) ∈ R2; 0 ≤ θ ≤ pi 2 , 0 ≤ ρ ≤ 1} e, V = ∫ Dθρ ∫ ρ(ρ sin θ)ρ dθdρ = ∫ pi 2 0 ∫ 1 0 ρ2 sin θ dρdθ Temos que ∫ 1 0 ρ2 sin θ dρ = sin θ ∫ 1 0 ρ2 dρ = sin θ [ ρ3 3 ]1 0 = (sin θ) 1 3 = 1 3 sin θ Portanto, V = ∫ pi 2 0 1 3 sin θ dθ = 1 3 ∫ pi 2 0 sin θ dθ = 1 3 [ − cos θ ]pi 2 0 = 1 3 [ − cos pi 2 + cos 0 ] = 1 3 [0 + 1] = 1 3 Revisão de integrais triplas No exemplo anterior poderíamos ter usado integrais triplas. Neste caso, teríamos V = ∫ ∫ E ∫ dV em que E é o sólido em questão. Vamos usar coordenadas cilíndricas para resolver essa integral tripla. 5 x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z , ∣∣∣∣∂(x, y, z)∂(θ, ρ, z) ∣∣∣∣ = ρ , 0 ≤ θ ≤ pi2 0 ≤ ρ ≤ 1 0 ≤ z ≤ ρ sin θ︸ ︷︷ ︸ y Então, Eθρz = {(θ, ρ, z) ∈ R3; 0 ≤ θ ≤ pi 2 , 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ z ≤ ρ sin θ} e, V = ∫ ∫ Eθρz ∫ ρ dθdρdz = ∫ pi 2 0 ∫ 1 0 ∫ ρ sin θ 0 ρ dzdρdθ Temos que ∫ ρ sin θ 0 ρ dz = ρ ∫ ρ sin θ 0 dz = ρ [ z ]ρ sin θ 0 = ρ(ρ sin θ) = ρ2 sin θ Logo, V = ∫ pi 2 0 ∫ 1 0 ρ2 sin θ dρdθ Assim, ∫ 1 0 ρ2 sin θ dρ = sin θ ∫ 1 0 ρ2 dρ = sin θ [ ρ3 3 ]1 0 = (sin θ) 1 3 = 1 3 sin θ Portanto, V = ∫ pi 2 0 1 3 sin θ dθ = 1 3 ∫ pi 2 0 sin θ dθ = 1 3 [ − cos θ ]pi 2 0 = 1 3 [ − cos pi 2 + cos 0 ] = 1 3 [0 + 1] = 1 3 Exemplo 7 (Exercício 21 página 931) Calcule ∫ ∫ B ∫ (x2 + y2 + z2)2 dV , onde B é a bola com centro na origem e raio 5. Resolução: Vamos usar coordenadas esféricas x = ρ sinϕ cos θ y = ρ sinϕ sin θ z = ρ cosϕ , ∣∣∣∣∂(x, y, z)∂(θ, ρ, ϕ) ∣∣∣∣ = ρ2 sinϕ Assim, teremos 6 Bθρϕ = {(, θρ, ϕ) ∈ R3; 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ 5, 0 ≤ ϕ ≤ pi} e, x2 + y2 + z2 = (ρ sinϕ cos θ)2 + (ρ sinϕ sin θ)2 + (ρ cosϕ)2 = ρ2[sin2 ϕ(cos2 θ + sin2 θ) + cos2 ϕ] = ρ2 Logo, I = ∫ ∫ Bθρϕ ∫ (x2 + y2 + z2)2 dV = ∫ ∫ Bθρϕ ∫ (ρ2)2ρ2 sinϕ dθdρdϕ = ∫ 2pi 0 ∫ pi 0 ∫ 5 0 ρ6 sinϕ dρdϕdθ Temos que ∫ 5 0 ρ6 sinϕ dρ = sinϕ ∫ 5 0 ρ6 dρ = sinϕ [ ρ7 7 ]5 0 = (sinϕ) 57 7 = 78125 7 sinϕ Então, I = ∫ 2pi 0 ∫ pi 0 78125 7 sinϕ dϕdθ = 78125 7 ∫ 2pi 0 ∫ pi 0 sinϕ dϕdθ Agora, temos que, ∫ pi 0 sinϕ dϕ = [ − cosϕ ]pi 0 = [− cospi + cos 0] = [1 + 1] = 2 Portanto, I = 78125 7 ∫ 2pi 0 2 dθ = 156250 7 ∫ 2pi 0 dθ = 156250 7 [ θ ]2pi 0 = 156250 7 .2pi = 312500 7 pi Perguntas: Como seria o conjunto Bθρϕ se: 1. O conjunto B fosse o hemisfério acima do plano xy ? 2. A parte fosse da esfera contida no primeiro octante ? 7
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