Aula 31 – Revisão sobre integrais duplas e triplas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 31
Assunto: Revisão sobre integrais duplas e triplas
Palavras-chaves: integrais duplas, integrais triplas, mudança de variável
Revisão de integral simples
O cálculo de integrais duplas e triplas recaem em integrais unidimensionais(integrais simples). Assim, é
necessário saber as principais primitivas de funções de uma variável.
∫
xn dx =
xn+1
n+ 1
, para n ∈ R comn 6= −1∫
1
x
dx = ln |x|∫
sinx dx = − cosx∫
cosx dx = sinx
Exemplo 1 •
∫
x4 dx =
x5
5
•
∫
x2 dx =
x3
3
•
∫
sin 2x dx = −1
2
cos 2x
•
∫
cos 2x dx =
1
2
sin 2x
Exemplo 2 Calcule
∫
sin2 x dx e
∫
cos2 x dx.
Resolução:
Temos que
cos 2x = cos(x+ x)
= cosx cosx− sinx sinx
= cos2 x− sin2 x
= cos2 x− (1− cos2x)
= cos2 x− 1 + cos2x
= 2 cos2 x− 1
Portanto,
cos2 x =
1
2
(1 + cos 2x)
Também temos que
sin2 x = 1− cos2 x
= 1− 1
2
(1 + cos 2x)
= 1− 1
2
− 1
2
cos 2x
=
1
2
− 1
2
cos 2x
Logo,
sin2 x =
1
2
(1− cos 2x)
Portanto,
∫
sin2 x dx =
∫
1
2
(1− cos 2x) dx = 1
2
∫
(1− cos 2x) dx = 1
2
(
x− 1
2
sin 2x
)
∫
cos2 x dx =
∫
1
2
(1 + cos 2x) dx =
1
2
∫
(1 + cos 2x) dx =
1
2
(
x+
1
2
sin 2x
)
Exemplo 3 Calcule
∫
sin3 x dx
Resolução:
2
∫
sin3 x dx =
∫
sin2 xsinx dx =
∫
(1− cos2 x) sinx dx
=
∫
(sinx− cos2 x sinx) dx =
∫
sinx dx−
∫
cos2 x sinx dx
= cosx− 1
3
cos3 x
Revisão de integral dupla
Exemplo 4 (Exercício 2 página 893) Calcule
∫ 1
0
∫ 2
2x
(x− y) dydx.
Temos que,
∫ 2
2x
(x− y) dy =
[
xy − y
2
2
]2
2x
= x.2− 2
2
2
−
(
x.2x− (2x)
2
2
)
= 2x− 2− 2x2 + 4x
2
2
= 2x− 2− 2x2 + 2x2
= 2x− 2
Portanto,
∫ 1
0
∫ 2
2x
(x− y) dydx =
∫ 1
0
(2x− 2) dx =
[
x2 − 2x
]1
0
= 1− 2 = −1
Exemplo 5 (Exercício 14 página 893) Calcule de duas maneiras a integral
∫
D
∫
xy dA, em que D é limitada
pelas curvas y = x2 e y = 3x.
Resolução:
Primeiramente veremos onde as curvas y = x2 e y = 3x se interceptam.
{
y = x2
y = 3x
⇒ x2 = 3x⇒ x2 − 3x = 0⇒ x(x− 3) = 0⇒ x = 0 ou x = 3{
x = 0⇒ y = 0⇒ (0, 0)
x = 3⇒ y = 9⇒ (3, 9)
Portanto, (0, 0) e (3, 9) são os pontos de intersecção das curvas.
3
• 1◦ maneira:
∫
D
∫
xy dA =
∫ 3
0
∫ 3x
x2
xy dydx
Temos que
∫ 3x
x2
xy dy =
[
1
2
xy2
]3x
x2
=
1
2
x
[
y2
]3x
x2
=
1
2
x
[
(3x)2 − (x2)2] = 1
2
x
(
9x2 − x4)
=
1
2
(9x3 − x5)
Portanto,
∫
D
∫
xy dA =
∫ 3
0
1
2
(9x3 − x5) dx = 1
2
∫ 3
0
(9x3 − x5) dx
=
1
2
[
9
4
x4 − x
6
6
]3
0
=
1
2
.
37 − 2.36
12
=
1
2
.
36(3− 2)
12
=
1
2
.
36.1
4.3
=
35
8
=
243
8
• 2◦ maneira:
∫
D
∫
xy dxdy =
∫ 9
0
∫ √y
y
3
xy dxdy
Temos que
∫ √y
y
3
xy dx =
[
1
2
x2y
]√y
y
3
=
1
2
y
[
x2
]√y
y
3
=
1
2
y
[
(
√
y2)−
(y
3
)2]
=
1
2
y
[
y − y
2
9
]
=
1
2
(
y2 − y
3
9
)
Portanto,
∫
D
∫
xy dxdy =
∫ 9
0
1
2
(
y2 − y
3
9
)
dy =
1
2
∫ 9
0
(
y2 − y
3
9
)
dy
=
1
2
[
y3
3
− y
4
4.9
]9
0
=
1
2
[
93
3
− 9
4
4.9
]
=
1
2
[
93
3
− 9
3
4
]
=
1
2
[
4.93 − 3.93
12
]
=
1
2
[
93
12
]
=
1
2
.
36
3.4
=
1
2
.
35
4
=
243
8
Integrais duplas podem ser usadas para o cálculo do volume de certos sólidos
4
Exemplo 6 (Exercício 31 página 894) Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1 e
pelos planos z = y, x = 0, z = 0 no primeiro octante.
Resolução:
V = volume do sólido =
∫
D
∫
y dA
Vamos usar coordenadas polares
{
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
,
∣∣∣∣∂(x, y)∂(θ, ρ)
∣∣∣∣ = ρ ,
{
0 ≤ θ ≤ pi2
0 ≤ ρ ≤ 1
Assim,
Dθρ = {(θ, ρ) ∈ R2; 0 ≤ θ ≤ pi
2
, 0 ≤ ρ ≤ 1}
e,
V =
∫
Dθρ
∫
ρ(ρ sin θ)ρ dθdρ =
∫ pi
2
0
∫ 1
0
ρ2 sin θ dρdθ
Temos que
∫ 1
0
ρ2 sin θ dρ = sin θ
∫ 1
0
ρ2 dρ = sin θ
[
ρ3
3
]1
0
= (sin θ)
1
3
=
1
3
sin θ
Portanto,
V =
∫ pi
2
0
1
3
sin θ dθ =
1
3
∫ pi
2
0
sin θ dθ =
1
3
[
− cos θ
]pi
2
0
=
1
3
[
− cos pi
2
+ cos 0
]
=
1
3
[0 + 1] =
1
3
Revisão de integrais triplas
No exemplo anterior poderíamos ter usado integrais triplas. Neste caso, teríamos
V =
∫ ∫
E
∫
dV
em que E é o sólido em questão.
Vamos usar coordenadas cilíndricas para resolver essa integral tripla.
5

x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
z = z
,
∣∣∣∣∂(x, y, z)∂(θ, ρ, z)
∣∣∣∣ = ρ ,

0 ≤ θ ≤ pi2
0 ≤ ρ ≤ 1
0 ≤ z ≤ ρ sin θ︸ ︷︷ ︸
y
Então,
Eθρz = {(θ, ρ, z) ∈ R3; 0 ≤ θ ≤ pi
2
, 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ z ≤ ρ sin θ}
e,
V =
∫ ∫
Eθρz
∫
ρ dθdρdz =
∫ pi
2
0
∫ 1
0
∫ ρ sin θ
0
ρ dzdρdθ
Temos que
∫ ρ sin θ
0
ρ dz = ρ
∫ ρ sin θ
0
dz = ρ
[
z
]ρ sin θ
0
= ρ(ρ sin θ) = ρ2 sin θ
Logo,
V =
∫ pi
2
0
∫ 1
0
ρ2 sin θ dρdθ
Assim,
∫ 1
0
ρ2 sin θ dρ = sin θ
∫ 1
0
ρ2 dρ = sin θ
[
ρ3
3
]1
0
= (sin θ)
1
3
=
1
3
sin θ
Portanto,
V =
∫ pi
2
0
1
3
sin θ dθ =
1
3
∫ pi
2
0
sin θ dθ =
1
3
[
− cos θ
]pi
2
0
=
1
3
[
− cos pi
2
+ cos 0
]
=
1
3
[0 + 1] =
1
3
Exemplo 7 (Exercício 21 página 931) Calcule
∫ ∫
B
∫
(x2 + y2 + z2)2 dV , onde B é a bola com centro na
origem e raio 5.
Resolução:
Vamos usar coordenadas esféricas

x = ρ sinϕ cos θ
y = ρ sinϕ sin θ
z = ρ cosϕ
,
∣∣∣∣∂(x, y, z)∂(θ, ρ, ϕ)
∣∣∣∣ = ρ2 sinϕ
Assim, teremos
6
Bθρϕ = {(, θρ, ϕ) ∈ R3; 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ ρ ≤ 5, 0 ≤ ϕ ≤ pi}
e,
x2 + y2 + z2 = (ρ sinϕ cos θ)2 + (ρ sinϕ sin θ)2 + (ρ cosϕ)2
= ρ2[sin2 ϕ(cos2 θ + sin2 θ) + cos2 ϕ]
= ρ2
Logo,
I =
∫ ∫
Bθρϕ
∫
(x2 + y2 + z2)2 dV =
∫ ∫
Bθρϕ
∫
(ρ2)2ρ2 sinϕ dθdρdϕ =
∫ 2pi
0
∫ pi
0
∫ 5
0
ρ6 sinϕ dρdϕdθ
Temos que
∫ 5
0
ρ6 sinϕ dρ = sinϕ
∫ 5
0
ρ6 dρ = sinϕ
[
ρ7
7
]5
0
= (sinϕ)
57
7
=
78125
7
sinϕ
Então,
I =
∫ 2pi
0
∫ pi
0
78125
7
sinϕ dϕdθ =
78125
7
∫ 2pi
0
∫ pi
0
sinϕ dϕdθ
Agora, temos que,
∫ pi
0
sinϕ dϕ =
[
− cosϕ
]pi
0
= [− cospi + cos 0] = [1 + 1] = 2
Portanto,
I =
78125
7
∫ 2pi
0
2 dθ =
156250
7
∫ 2pi
0
dθ =
156250
7
[
θ
]2pi
0
=
156250
7
.2pi =
312500
7
pi
Perguntas:
Como seria o conjunto Bθρϕ se:
1. O conjunto B fosse o hemisfério acima do plano xy ?
2. A parte fosse da esfera contida no primeiro octante ?
7