Aula 08 Funções de Rn em R

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 08
Assunto:Funções de várias variáveis reais a valores reais, domínio e imagem, curvas de nível,
gráfico da função de duas variáveis reais a valores reais
Palavras-chaves: função de várias variáveis, domínio, imagem, curvas de nível, gráfico
Funções de várias variáveis reais a valores reais (Funções de Rn em R)
Uma função de n variáveis reais a valores reais é uma regra que associa cada n_upla de um subconjunto
do Rn um único número real.
Se B denota o subconjunto e f a regra, a função é denotada por
f : B ⊂ Rn −→ R
ou
f : B ⊂ Rn −→ R
(x1, x2, ..., xn) 7−→ f(x1, x2, ..., xn)
ou, simplesmente, por
f(x1, x2, ..., xn)
Quando n = 2 escrevemos
f(x, y) ou z = f(x, y)
Quando n = 3
f(x, y, z)
Muitas grandezas são escritas por funções de várias variáveis reais a valores em reais. Por exemplo,
1. A temperatura T de uma chapa metálica pode depender das coordenadas x e y de cada ponto da chapa.
2. A densidade de um sólido pode depender das coordenadas x, y, e z de cada ponto do sólido.
3. O volume contido em um reservatório, que tem a forma de um cone circular reto, que está sendo enchido
de água, depende da altura h do "cone de água"e do raio da base r de tal cone.
4. O lucro obtido por uma empresa com a venda de um produto, por ela produzido, pode depender de
2
x1 = custo com matéria prima
x2 = custo com pessoal
x3 = custo com impostos
x4 = custo com propaganda
x5 = valor venal do produto
l(x1, x2, x3, x4, x5) = lucro
As funções com as quais trabalharemos serão expressas por fórmulas, tais como
f(x, y) = x2 − 2xy3
f(x, y) = ex cos y
f(x, y, z) =
x− y
z
f(x1, x2, x3, x4) = x
2
1 + x
2
2 + x
2
3 + x
2
4
Consideremos mais este exemplo
f(x, y) =
x2
x− y
Temos que
f(2, 3) =
22
2− 3 =
4
−1 = −4
Podemos interpretar essa função como sendo uma "máquina".
Dizemos que
• −4 é o valor da função f no ponto (2, 3)
ou que
3
• −4 é a imagem da função f no ponto (2, 3)
Observemos que f(2, 2) não existe.
Dizemos então que a função não pode ser calculada no ponto (2, 2).
O conjunto dos pontos nos quais podemos calcular uma função f de várias variáveis reais a valores reais é
chamado de domínio da função e é denotado por Df .
O domínio de uma função de várias variáveis reais a valores reais pode ser especificado ou não.
Exemplo 1 (Funções em que o domínio está especificado)
1. f(x, y) = xy − y2, x2 + y2 < 1.
Essa função só deve ser calculada nos pontos do R2 que satisfazem x2 + y2 < 1, ou seja, os pontos que
estão no interior da circunferência de centro na origem e raio 1.
Portanto,
Df = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 < 1}
2. f(x, y, z) = x+ y − z, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
Essa função só pode ser calculada nos pontos do R3 que estão no primeiro octante.
Quando o domínio da função f não é especificado, tomamos como domínio de f o conjunto dos pontos do
Rn para os quais a fórmula da expressão de f fornece um número real bem definido.
Exemplo 2 Determine o domínio das seguintes funções:
1. f(x, y) =
√
y − x
4
Df = {(x, y) ∈ R2; y − x ≥ 0}
= {(x, y) ∈ R2; y ≥ x}
2. f(x, y) =
√
y − x
ln(x− 1)
Df = {(x, y) ∈ R2; y − x ≥ 0, x− 1 > 0, x− 1 6= 1}
= {(x, y) ∈ R2; y ≥ x, x > 1, x 6= 2}
3. f(x, y, z) =
√
z2 − x2 − y2
Df = {(x, y, z) ∈ R3; z2 − x2 − y2 ≥ 0}
= {(x, y, z) ∈ R3; z2 ≥ x2 + y2}
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Imagem
O conjunto imagem de uma função f : A ⊂ Rn −→ R é o subconjunto de R constituído pelos valores
f(x1, x2, ..., xn) de f conforme (x1, x2, ..., xn) percorre o domínio de f , ou seja,
Imf = {f(x1, x− 2, ..., xn) ∈ R; (x1, x− 2, ..., xn) ∈ Df}
Exemplo 3 Determine o conjunto imagem da função dada.
1. f(x, y, z) = x+ y + z
Imf = R
2. f(x, y) = x2 + y2
Img = [0,+∞)
3. f(x1, x2, x3, x4) =
1
x21 + x
2
2 + x
2
3 + x
2
4
Img = (0,+∞)
Como uma função f : A ⊂ Rn −→ R transforma pontos do Rn em números reais, uma maneira de
descrevê-la é como segue
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Consideremos a seguinte função constante de uma variável real a valores em R.
f(x) = 2
Na expressão dessa função, não consta a variável x.
Isso também ocorre com funções de várias variáveis reais a valores reais. Por exemplo,
f(x, y, z) = 5
é uma função constante de três variáveis reais a valores reais.
Também pode acontecer de não constarem todas as variáveis x1, x2, ..., xn na expressão da função f(x1, x2, ..., xn).
Dizemos, neste caso, que f é independente das variáveis ausentes.Por exemplo,
f(x, y) = x2
é independente da variável y, e
f(x, y, z) = 1− z
é independente das variáveis x e y.
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Agora, nos restringiremos, momentaneamente, às funções de duas variáveis reais a valores em R. Estabe-
leceremos as curvas de nível e o gráfico de tais funções.
Curvas de nível
Seja a função
f(x, y) =
√
x2 + y2
Temos que Df = R2 e Imf = [0,+∞). Portanto, 2 ∈ Imf .
Queremos encontrar todos os pontos (x, y) do R2 que tem como valor 2 pela função f , ou seja,
(xy) = ? t.q. f(x, y) = 2⇒
√
x2 + y2 = 2⇒ x2 + y2 = 22
que é a circunferência de centro na origem e raio 2.
Os pontos da circunferência x2 + y2 = 4 são levados no 2 pela função f .
Dizemos então que x2 + y2 = 4 é a curva de nível de f(x, y) =
√
x2 + y2 correspondente ao nível 2.
Da mesma maneira, x2 + y2 = 9 é a curva de nível de f correspondente ao nível 3.
De um modo geral, dados f : A ⊂ R2 −→ R e c ∈ Imf , a equação
f(x, y) = c
(e o conjunto dos pontos de Df satisfeitos por essa equação) é chamada de curva de nível de f correspon-
dente ao nível c.
Nem sempre a curva de nível de uma função f correspondente a um nível c é de fato uma curva. A curva
de nível pode ser um ponto ou uma reta.
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Por exemplo, a curva de nível da função f(x, y) =
√
x2 + y2 correspondente ao nível zero é um ponto, a
saber, a origem; a curva de nível da função f(x, y) = y − x+ 1 correspondente ao nível 1 é a reta y = x.
Exemplo 4 Determine e esboce as curvas de nível da função dada
1.
√
x2 + y2.
As curvas de nível são a origem e as circunferências concêntricas de centro na origem.
2. f(x, y) = y − x+ 1, Imf = R.
y − x+ 1 = c⇒ y = x− 1 + c, c ∈ R
Retas paralelas à bissetriz do primeiro e terceiro quadrante
c = −1 ⇒ y = x− 2
c = 0 ⇒ y = x− 1
c = 1 ⇒ y = x
c = 2 ⇒ y = x+ 1
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3. z = y − x2.
As curvas de nível são parábolas.
c ∈ R, y − x2 = c⇒ y = x2 + c
Pergunta: Duas curvas de nível de uma função f correspondentes a níveis diferentes podem ser intercep-
tar?
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