Aula vetores

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Biof´ısica Aula 3 - Vetores e SI
Conteu´do
1 Unidade 1 - Estudo de sistemas biolo´gicos do ponto de vista f´ısico 1
1.1 Conceitos de grandezas escalares e vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Grandezas Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Grandezas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Mo´dulo de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Operac¸o˜es com vetores - Adic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Operac¸o˜es com vetores - Subtrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.6 Operac¸o˜es com vetores - Multiplicac¸a˜o por escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.7 Operac¸o˜es com vetores - Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.8 Operac¸o˜es com vetores - versor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Sistema internacional de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Pref´ıxos do SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Unidade 1 - Estudo de sistemas biolo´gicos do ponto de vista
f´ısico
Vivemos em um mundo tridimensional, de modo que sempre devemos nos localizar nesse mundo. Os
vetores sa˜o, dessa forma, as ferramentas matema´ticas que nos auxiliam nessa tarefa.
Em geral a pergunta a ser respondida e´:- estamos em movimento ou parados em relac¸a˜o a que?
Ou seja, nosso movimento esta´ sempre condicionado a um referencial e esse referencial e´ somente definido se
soubermos determinar distaˆncias em um sistema tridimensional, o qual conhecemos como sistema euclidiano,
ou sistema carteziano.
Antigamente, a questa˜o dos referenciais se enquadrava na teoria da relatividade de Galileo, a qual foi
posteriormente substituida pela teoria da relatividade de Einstein. Em comum, ambas as teorias definem
o movimento em relac¸a˜o a um referencial, e a distaˆncia percorrida, a velocidade, a acelerac¸a˜o, a forc¸a sa˜o
grandezas que descrevem esse movimento e devem ser definidas como grandezas vetoriais.
Antes de prosseguir, fac¸amos uma revisa˜o do que sa˜o grandezas escalares e vetoriais.
1.1 Conceitos de grandezas escalares e vetoriais
Grandeza e´ um conceito fundamental na cieˆncia. Mas o que e´ uma grandeza? O conceito cient´ıfico
para grandeza e´ tudo o que pode ser medido. Voceˆ ja´ sabe: tudo que pode ser medido e´ denominado de
grandeza f´ısica. Tempo, massa, comprimento, a´rea e temperatura sa˜o exemplos de grandezas que podemos
compreender a partir de seus valores e das unidades de medida em que esses valores sa˜o expressos.
Considere a seguinte situac¸a˜o:
Voceˆ e sua famı´lia sa´ıram para a praia e no meio do caminho, apo´s uma hora, pararam para fazer um
lanche e depois de mais uma hora chegaram na praia.
Qual foi o tempo total transcorrido desde o instante voceˆs sa´ıram de casa ate´ chegarem na praia? - A
resposta na˜o deixa du´vidas: respondera˜o que o tempo foi duas horas.
Entretanto, algumas grandezas f´ısicas na˜o ficam bem definidas quando informamos apenas o seu valor
associado a uma unidade. Pense em outra situac¸a˜o:
1
Duas pessoas empurram uma mesma caixa, que esta´ parada. Essas pessoas fazem forc¸a de mesma in-
tensidade. O que acontecera´ com a caixa? - Voceˆ acertara´ se responder que depende. Se as duas pessoas
empurram a caixa em um mesmo sentido, ela se deslocara´ nesse sentido. Entretanto, se uma pessoa empurrar
a caixa em um certo sentido, e a outra empurrar no sentido contra´rio, sendo ambas as forc¸as de valores iguais,
provavelmente a caixa na˜o saira´ do lugar.
Por que o resultado da ac¸a˜o de dois empurro˜es na˜o depende apenas de qua˜o intenso eles foram? - A
resposta e´ que o empurra˜o, ou seja, a forc¸a aplicada sobre a caixa, e´ uma grandeza vetorial.
1.1.1 Grandezas Escalares
Em f´ısica, um escalar e´ uma quantidade f´ısica unidimensional, isto e´, que pode ser descrita por um
u´nico nu´mero real (por vezes com sinal, muitas vezes com unidades). Em outras palavras um escalar e´ uma
grandeza f´ısica que so´ tem uma magnitude mas na˜o tem direc¸a˜o, diferentemente dos vetores e tensores, que
sa˜o descritos por va´rios nu´meros que caracterizam sua magnitude e direc¸a˜o.
Formalmente, um escalar e´ inalterado por rotac¸o˜es do sistema de coordenadas ou reflexo˜es (em mecaˆnica
newtoniana), ou por transformac¸o˜es de Lorentz ou mudanc¸as do espac¸o-tempo (em relatividade). Um conceito
relacionado e´ um pseudoscalar, que e´ invariante sob rotac¸o˜es adequadas, mas (como um pseudovetor) vira
de sinal sob rotac¸o˜es impro´prias.
O conceito de um escalar em f´ısica e´ essencialmente o mesmo como em matema´tica. Um campo f´ısico
escalar e´ um tipo de conjunto mais geral de campos que incluem campos vetoriais, campos de espinores e
campos de tensores.
Um exemplo de uma quantidade escalar e´ temperatura: a temperatura num determinado local e´ um
nu´mero u´nico. Velocidade, por outro lado, e´ uma grandeza vetorial: velocidade no espac¸o tridimensional e´
especificado por treˆs valores; num sistema de coordenadas cartesiano os valores sa˜o as velocidades relativas
de cada eixo de coordenadas.
Uma quantidade f´ısica e´ expressa como o produto de um valor nume´rico e uma unidade f´ısica, na˜o apenas
um nu´mero. A quantidade na˜o dependem da unidade (por exemplo, para a distaˆncia, a 1 km e´ o mesmo que
1000 m), embora o nu´mero depende da unidade. Assim, seguindo o exemplo da distaˆncia, a quantidade na˜o
depende do comprimento dos vetores de base do sistema de coordenadas.
Ale´m disso, outras alterac¸o˜es do sistema de coordenadas podem afetar a maneira de calcular um escalar
(por exemplo, a fo´rmula para a distaˆncia Euclidiana em termos de coordenadas depende de ser representada
em uma base ortonormal), mas na˜o o pro´prio escalar. Neste sentido, a distaˆncia f´ısica desvia-se da definic¸a˜o
de me´trica de na˜o ser apenas um nu´mero real; no entanto, satisfaz todas as outras propriedades. O mesmo
se aplica a outras quantidades f´ısicas que na˜o sa˜o adimensionais. Direc¸a˜o na˜o se aplica a escalares; eles sa˜o
especificados unicamente pela magnitude.
1.1.2 Grandezas Vetoriais
Aquelas grandezas que necessitam de uma direc¸a˜o e um sentido, ale´m do valor nume´rico e da unidade de
medida, sa˜o chamadas de grandezas vetoriais. As grandezas vetoriais sa˜o representadas por vetores.
Em matema´tica, f´ısica e engenharia, um vetor euclidiano (a`s vezes chamado de geome´trico ou vetor
espacial, ou simplesmente um vetor ) e´ um objeto geome´trico que tem magnitude (ou comprimento) e direc¸a˜o
e pode ser adicionado a outros vetores de acordo com a´lgebra vetorial. Um vetor euclidiano e´ frequ¨entemente
representado por um segmento de linha com uma direc¸a˜o definida, ou graficamente como uma flecha, a ligac¸a˜o
de um ponto inicial A com um ponto final B e denotada por
−−→
AB.
Um vetor e´ o que e´ necessa´rio para “carregar” o ponto A para o ponto B uma vez que a palavra latina
vetor significa “portador”. Ela foi usada pela primeira vez por astroˆnomos do se´culo 18 que investigam a
rotac¸a˜o do planeta em torno do Sol. A magnitude do vetor e´ a distaˆncia entre os dois pontos e a direc¸a˜o
refere-se a` direc¸a˜o do deslocamento de A para B.
Muitas operac¸o˜es alge´bricas que atuam sobre nu´meros reais, como adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o, e
negac¸a˜o tem ana´logos pro´ximos de vetores, operac¸o˜es que obedecem as leis alge´bricas familiares de comuta-
tividade, associatividade e distributividade.
Vetores desempenham um papel importante na f´ısica: velocidade e acelerac¸a˜o de um objeto em movimento
e as forc¸as que atuam sobre ele sa˜o todos descritos por vetores. Muitas outras grandezas f´ısicas podem serutilmente pensadas como vetores. Embora a maioria delas na˜o representam distaˆncias (exceto, por exemplo,
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Figura 1: Adic¸a˜o de vetores.
posic¸a˜o ou deslocamento), a sua magnitude e direc¸a˜o pode ser ainda representado pelo comprimento e direc¸a˜o
de uma seta.
A representac¸a˜o matema´tica de um vetor f´ısico depende do sistema de coordenadas usado para descreveˆ-
lo e outros objetos vetoriais, como os que descrevem quantidades f´ısicas e se transformam de uma forma
semelhante aos vetores sa˜o os pseudovectors e os tensores.
1.1.3 Mo´dulo de um vetor
Mo´dulo do vetor e´ seu comprimento (na figura acima, seria a distaˆncia AB).
Seu ca´lculo (para uma base ortonormal), deduzido a partir do teorema de pita´goras e´ dado por
|a| =
√
x2 + y2 + z2, (1)
onde x, y e z sa˜o as componentes do vetor a = xiˆ+ yjˆ + zkˆ.
1.1.4 Operac¸o˜es com vetores - Adic¸a˜o
A decomposic¸a˜o dos vetores em seus componentes horizontais e verticais, nos revela componentes de
triaˆngulos retaˆngulos, nos quais podemos observar claramente a propriedade da adic¸a˜o dos vetores, como
mostra a figura 1.
Suponhemos um vetor ~w = ~v + ~u, no qual ~v = (vx, vy) e ~u = (ux, uy), podemos notar que wx = vx + ux,
assim como wy = vy + uy.
Logo temos que, dados dois vetores ~v, ~u a sua adic¸a˜o resulta em
~w = 〈vx + ux, vy + uy〉 (2)
Expandindo para a forma tridimensional temos:
~w = 〈vx + ux, vy + uy, vz + uz〉 (3)
1.1.5 Operac¸o˜es com vetores - Subtrac¸a˜o
Da mesma forma que no caso anterior temos a subtrac¸a˜o como ja´ aprendemos, tambe´m podemos demons-
trar esta propriedade usando a decomposic¸a˜o em triaˆngulos retaˆngulos. Podemos verificar que ~w = ~v − ~u, e
que wx = vx − ux. Do mesmo modo wy = vy − uy.
3
Figura 2: Produto escalar.
Logo temos que, dados dois vetores ~v, ~u, a sua subtrac¸a˜o resulta em
~w = 〈vx − ux, vy − uy〉 (4)
Expandindo para a forma tridimensional temos:
~w = 〈vx − ux, vy − uy, vz − uz〉. (5)
1.1.6 Operac¸o˜es com vetores - Multiplicac¸a˜o por escalares
Definimos que se c ∈ R expressando apenas valor nume´rico, enta˜o o denominamos escalar.
O produto de um escalar por um vetor e´ encontrado pela notac¸a˜o ~w = c ~a que operamos:
~w = 〈c ax, c ay, c az〉, (6)
onde ~w e´ o vetor resultante, ~a e´ o vetor paraˆmetro original c e´ o escalar. Esta operac¸a˜o pode ser observada
graficamente ao lado:
Note que todos os vetores gerados pela multiplicac¸a˜o por escalares sa˜o paralelos ao original, quando
multiplicamos um vetor por (-1) temos uma inversa˜o de sentido e qualquer valor de escalar diferente de 1
altera a magnitude do vetor.
1.1.7 Operac¸o˜es com vetores - Produto escalar
O produto escalar, tambe´m denominado produto interno, e´ o produto de dois vetores que resulta em um
escalar, a operac¸a˜o que define o seu valor definimos abaixo.
Consideremos dois vetores ~v,~u, cujos componentes sa˜o notados por vd e ud respectivamente, sendo d uma
das dimenso˜es: {x, y, z}, enta˜o o produto escalar e´ definido como:
~v · ~u = vxux + vyuy + vzuz (7)
Aproveitando as propriedades geome´trica do espac¸o euclidiano, podemos mostrar que o produto escalar
entre dois vetores ~a e ~b pode ser expresso em func¸a˜o de seua mo´dulos e do cosseno do aˆngulo formado por
eles, como mostra a figura 2.
~a · ~b = |~a||~b| cos θ (8)
Assim, o produto escalar e´ igual ao produto do mo´dulo de um dos vetores vezes a componente do segundo
vetor na direc¸a˜o paralela ao primeiro.
E´ designado de produto escalar, porque os mo´dulos dos dois vetores e o aˆngulo entre as direc¸o˜es sa˜o
grandezas escalares, que na˜o dependem do referencial usado para os medir; consequentemente, o produto
ab cos θ e´ tambe´m um escalar, independente do sistema de eixos usado. Duas retas que se cruzam num ponto
definem dois aˆngulos θ e 180◦ − θ. No caso dos vetores, na˜o ha´ ambiguidade na definic¸a˜o do aˆngulo, porque
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Figura 3: Abrangeˆncia do Sistema Internacional de Unidades.
se deslocarmos os vetores para um ve´rtice comum, o aˆngulo sera´ a regia˜o dos pontos que esta˜o deslocados
no sentido dos dois vetores em relac¸a˜o ao ve´rtice. O produto escalar entre dois vetores com mo´dulos a e b
estara´ sempre dentro do intervalo [−ab, ab]. Se o aˆngulo entre os vetores for agudo, cos θ > θ, o produto sera´
positivo, no contra´rio sera´ obtuso o produto sendo negativo. Se os vetores forem perpendiculares, o produto
sera´ nulo.
O valor mı´nimo do produto, −ab, obte´m-se no caso em que os vetores tenham a mesma direc¸a˜o mas
sentidos opostos. O valor ma´ximo, ab, e´ obtido no caso em que os vetores tenham a mesma direc¸a˜o e sentido.
1.1.8 Operac¸o˜es com vetores - versor
Versor e´ um vector de valor unita´rio, ou seja, o mo´dulo e´ igual a 1. E´ utilizado para indicar direcc¸a˜o,
sentido e o aˆngulo formado com o eixo referencial.
uˆ =
v
|v| (9)
Versores podem ser utilizados como bases de um dado espac¸o vetorial Vn. A condic¸a˜o necessa´ria e
suficiente para tanto, e´ que tais versores sejam linearmente independentes entre si. Uma propriedade al-
tamente conveniente e´ que todo vetor pertencente ao espac¸o vetorial Vn de base (a1,a2, · · · ,an) pode ser
expresso como uma combinac¸a˜o linear dos versores base. Assim, dado um vetor gene´rico b, temos que
b = k1a1 + k2a2 + ...+ knan, em que ki sa˜o nu´meros reais.
1.2 Sistema internacional de unidades
Sistema Internacional de Unidades (sigla SI, do franceˆs Syste`me international d’unite´s) e´ a forma moderna
do sistema me´trico e e´ geralmente um sistema de unidades de medida concebido em torno de sete unidades
ba´sicas e da convenieˆncia do nu´mero dez. E´ o sistema de medic¸a˜o mais usado do mundo, tanto no come´rcio
todos os dias e na cieˆncia. O SI e´ um conjunto sistematizado e padronizado de definic¸o˜es para unidades
de medida, utilizado em quase todo o mundo moderno, que visa a uniformizar e facilitar as medic¸o˜es e as
relac¸o˜es internacionais da´ı decorrentes.
O antigo sistema me´trico inclu´ıa va´rios grupos de unidades. O SI foi desenvolvido em 1960 do antigo
sistema metro-quilograma-segundo, ao inve´s do sistema cent´ımetro-grama-segundo, que, por sua vez, teve
algumas variac¸o˜es. Visto que o SI na˜o e´ esta´tico, as unidades sa˜o criadas e as definic¸o˜es sa˜o modificadas por
meio de acordos internacionais entre as muitas nac¸o˜es conforme a tecnologia de medic¸a˜o avanc¸a e a precisa˜o
das medic¸o˜es aumenta.
O sistema tem sido quase universalmente adotado. As treˆs principais excec¸o˜es, como mostra a figura 3
sa˜o a Myanmar, a Libe´ria e os Estados Unidos. O Reino Unido adotou oficialmente o Sistema Internacional
de Unidades, mas na˜o com a intenc¸a˜o de substituir totalmente as medidas habituais.
As unidades ba´sicas do SI sa˜o
1.2.1 Pref´ıxos do SI
Os prefixos do SI permitem escrever quantidades sem o uso da notac¸a˜o cient´ıfica, de maneira mais clara
para quem trabalha em uma determinada faixa de valores. Os prefixos oficiais mostrados na figura 4.
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Figura 4: Prefixos usados no sistema internacional.
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Tabela 1: Unidades ba´sicas do SI
Grandeza Unidade S´ımbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente ele´trica ampere A
Temperatura termodinaˆmica kelvin K
Quantidade de mate´ria mol mol
Intensidade luminosa candela cd
O sistema me´trico foi introduzido em 1795 com seis prefixos. As outras datas esta˜o relacionadas ao
reconhecimento pela resoluc¸a˜o da Confereˆncia Geral de Pesos e Medidas (CGPM). Para utiliza´-los, basta
juntar o prefixo aportuguesado e o nome da unidade, sem mudar a acentuac¸a˜o, como em nanossegundo,
microssegundo, miliampere e deciwatt. Para formar o s´ımbolo, basta juntar os s´ımbolos ba´sicos: nm, µm,
mA e dW.
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