APRESENTACAO_INTEGRACAO_AULA_3

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CEFET/RJ Cálculo Numérico Profª Natalia Silveira 
 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
 
A integral equivale à área compreendida entre a curva f(x) e o eixo x, no intervalo  ba x,xx . 
 

b
a
x
x
dx)x(fA (1) 
 
 
Pode-se obtê-la analiticamente, empregando fórmulas e princípios de cálculo integral, mas em muitas 
situações, é difícil ou mesmo impossível obter a primitiva (x), e em outras aplicações, a função f(x) é 
conhecida apenas em alguns valores discretos no intervalo dado. A solução, portanto, é a utilização de 
métodos aproximados. A ideia básica da integração numérica é substituir a função f(x) por um polinômio que 
a aproxime razoavelmente e proceder a integração formal deste polinômio neste intervalo  ba x,x . 
Os métodos apresentados a seguir aproximam a função f(x) no intervalo considerado por uma reta 
(Regra dos Trapézios) ou por uma parábola do 2º grau (Regra de Simpson). 
 
 
 
 
 
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 REGRA DOS TRAPÉZIOS 
 
Dada uma função qualquer f(x) contínua no intervalo  10 x,xx  
 
 
1
0
1
0
x
x
x
x
dx)x(Fdx)x(f (2), 
 
 onde hxx 01  
 
A função aproximada F(x) pode ser obtida através da superposição de duas funções lineares: 
 
 
 
10 NN)( .y.yxF 10  (3) 
 
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onde 0y e 1y são constantes iguais a função nos pontos 0x e 1x , respectivamente, e 0N e 1N são as 
funções da variável x a seguir: 
 
0N
1
xx
xx
1
01 


 
1N
001 xx
1
xx 


 
h
xx1 0N (4) h
xx 01N (5) 
 
Substituindo as equações (3), (4) e (5) na expressão (2) chega-se à solução da Regra dos Trapézios 
para dois pontos: 
)yy(
2
hI 10T  
 (6) 
 
Nota: Esta expressão corresponde a área de um trapézio cujas bases são y0 e y1 e altura h. 
 
A Regra dos Trapézios Composta considera um domínio dividido em N segmentos com comprimento 
constante igual a h, conforme esquema abaixo: 
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Tem-se finalmente: 
)yy2y2y2y(
2
hI N1N210T   (7) 
 
 
 
 
 EXEMPLO: 
Calcule numericamente a integral da função 5x4x)x(f 2  , no intervalo  5,0x , considerando h=1: 
Solução analítica:   3
100x5x2
3
xdx5x4x
5
0
2
35
0
2 







 
Solução numérica:   5,32)5898(2052
1IT  ( %5,2p  ) 
 
x F(x) 
0 -5 
1 -8 
2 -9 
3 -8 
4 -5 
5 0 
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 REGRA DE SIMPSON 
 
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 Seja uma função f(x) contínua no intervalo  10 x,xx  : 
 
 
2
0
2
0
x
x
x
x
dx)x(Fdx)x(f
 
 (8) 
 onde hxx 01  e h2xx 02  
 
 A função de forma pela aproximação de Simpson é quadrática e é dada pela expressão: 
210 N.N.N.)( 210 yyyxF  (9), 
 
onde 0y , 1y e 2y são constantes iguais a função nos pontos 0x , 1x e 2x , respectivamente, e 0N , 1N 
2N são as funções da variável x a seguir: 
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 212122
2010
21 xxxxxx
h2
1
xxxx
xxxx



 )(
)).((
)).((N0 (10) 
 
 202022
2101
20 xxxxxx
h
1
xxxx
xxxx



 )(
)).((
)).((N1 (11) 
 
 101022
1202
10 xxxxxx
h2
1
xxxx
xxxx



 )(
)).((
)).((N2 (12) 
 
Substituindo as equações (9), (10), (11) e (12) e (10) na expressão (8) chega-se à solução da Regra de 
Simpson para três pontos: 
)( 210S yy4y3
hI  (13) 
 
A Regra de Simpson Composta considera um domínio dividido em N segmentos pares com 
comprimento constante igual a h, conforme esquema abaixo: 
Nota: A regra de Simpson só é válida para um número N par de segmentos, ou seja, (N+1) pontos ímpar. 
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Tem-se finalmente: 
)( N1N3210S yy4y4y2y4y3
hI   (14) 
 
 
 
 EXEMPLO: 
Obter o resultado da integral anterior aplicando 5 pontos de integração à Regra de Simpson: 
 
x F(x) 
0 -5 
1,25 -8,4375 
2,5 -8,75 
3,75 -5,9375 
5 0 
 
 
3
100)75,8.(2)9375,54375,8.(405
3
25,1
SI ( %0p  ) 
 
 
 
 
 
 
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 Exercícios 
1) Calcule 
4
0
x dxe aplicando as regras de trapézios e Simpson, considerando 3 casas decimais e h=1 e 
h=0,5. 
 
 
 
2) Calcule as integrais abaixo pelas regras dos trapézios e Simpson usando 4 e 6 divisões. Compare os 
resultados com as soluções analíticas 
 
a) 
2
1
x dxe b) 
4
1
dxx c) 
14
2 x
dx
 
 
 
 
3) Calcule o valor aproximado de  
60
0 x1
dx,
 com 6 casas decimais. Adotar N=8.