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Exercício 1
ATIVIDADES
Exercício 1
Variável = número de "caras"
Árvore de possibilidades Número de "caras" Numero de "caras" - xi freq. simples freq. relativa
ca ca 2 0 1 25.00%
co 1 1 2 50.00%
co ca 1 2 1 25.00%
co 0 total 4 100.00%
Espaço amostral = {0,1,2} Qual a probabilidade de cada evento aparecer?
É o conjunto dos resultados possíveis Quantas vezes cada valor da variável se repete?
Os resultados não são equiprováveis.
O resultado 1 tem o dobro de chances de aparecer do que o resultado 0 ou 2.
O experimento consiste no lançamento de duas moedas e na observação do número de "caras" obtidas neste lançamento. Determine o espaço amostral do experimento e a função de probabilidade.
Exercício 2
Exercício 2
Árvore de possibilidades soma
dado 1 dado 2 espaço amostral - conjunto de valores encontrados frequência de cada evento freq. relativa % - probabilidade de cada evento
1 1 2 2 1 2.78%
1 2 3 3 2 5.56%
1 3 4 4 3 8.33%
1 4 5 5 4 11.11%
1 5 6 6 5 13.89%
1 6 7 7 6 16.67%
2 1 3 8 5 13.89%
2 2 4 9 4 11.11%
2 3 5 10 3 8.33%
2 4 6 11 2 5.56%
2 5 7 12 1 2.78%
2 6 8 total 36 100.00%
3 1 4
3 2 5
3 3 6
3 4 7
3 5 8
3 6 9
4 1 5
4 2 6
4 3 7
4 4 8
4 5 9
4 6 10 Os resultados não são equiprováveis.
5 1 6 Cada valor do espaço amostral tem uma chance de aparecer.
5 2 7 Espaço amostral = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
5 3 8
5 4 9
5 5 10
5 6 11
6 1 7
6 2 8
6 3 9
6 4 10
6 5 11
6 6 12
dado 1 dado 2 soma soma xi fi repetição fr
1 1 2 2 1 2.78%
1 2 3 3 2 5.56%
1 3 4 4 3 8.33%
1 4 5 5 4 11.11%
1 5 6 6 5 13.89%
1 6 7 7 6 16.67%
2 1 3 8 5 13.89%
2 2 4 9 4 11.11%
2 3 5 10 3 8.33%
2 4 6 11 2 5.56%
2 5 7 12 1 2.78%
2 6 8 total 36 100.00%
3 1 4
3 2 5
3 3 6
3 4 7
3 5 8
3 6 9
4 1 5
4 2 6
4 3 7
4 4 8
4 5 9
4 6 10
5 1 6
5 2 7
5 3 8
5 4 9
5 5 10
5 6 11
6 1 7
6 2 8
6 3 9
6 4 10
6 5 11
6 6 12
Quantas vezes cada valor do espaço amostral aparece no conjunto de valores observados?
Use a função frequencia ou cont.se.
Probabilidade de cada evento acontecer
= frequência dividida pelo número total de eventos
= quantidade de sucessos do evento dividido pelo numero total de eventos.
Exercício 2
fi repetição
Exercício 3
Exercício 3
ca co total de eventos
árvore de possibilidades número de "caras" número de "coroas" diferença entre "caras" e "coroas" espaço amostral xi freq. de cada evento fi freq relativa % - probabilidade de cada evento
ca ca ca 3 0 3 -3 1 12.50%
ca ca co 2 1 1 -1 3 37.50%
ca co ca 2 1 1 1 3 37.50%
ca co co 1 2 -1 3 1 12.50%
co ca ca 2 1 1 total 8 100.00%
co ca co 1 2 -1
co co ca 1 2 -1
co co co 0 3 -3
Exercício 3
freq. de cada evento fi
Exercícios 4 e 5
freq. de cada evento fi
Exercícios 6 a 11
Exercício 4
5 brancas cor - xi fi - quantas bolas de cada cor fr % - probabilidade de cada cor aparecer com uma retirada de bola
8 pretas brancas 5 25.00% = 5/20
7 amarelas pretas 8 40.00% = 8/20
20 bolas em uma urna amarelas 7 35.00% = 7/20
a variável é a cor da bola total 20 100.00%
Exercício 5
espaço amostral - xi fi fr % diretamente proporcional à xi
1 1 5.00%
2 2 10.00%
7 7 35.00%
10 10 50.00%
total 20 100.00%
diretamente proporcional ==> multiplicado ou dividido por uma mesma constante, por exemplo 1.
Exercícios 12 a 20
Exercício 6
dado 1 dado 2 dif. módulo x fi freq. simples p(x) = freq. relativa
1 1 0 0 0 6 16.667%
1 2 -1 1 1 10 27.778%
1 3 -2 2 2 8 22.222%
1 4 -3 3 3 6 16.667%
1 5 -4 4 4 4 11.111%
1 6 -5 5 5 2 5.556%
2 1 1 1 total 36 100.000%
2 2 0 0
2 3 -1 1
2 4 -2 2
2 5 -3 3
2 6 -4 4
3 1 2 2
3 2 1 1
3 3 0 0
3 4 -1 1
3 5 -2 2
3 6 -3 3
4 1 3 3
4 2 2 2
4 3 1 1
4 4 0 0
4 5 -1 1
4 6 -2 2
5 1 4 4
5 2 3 3
5 3 2 2
5 4 1 1
5 5 0 0
5 6 -1 1
6 1 5 5
6 2 4 4
6 3 3 3
6 4 2 2
6 5 1 1
6 6 0 0
Exercício 7
x p(x)
0 dama 0 92.31% =48/52
1 dama 1 7.69% =4/52
total 1
Exercício 8
1 = sair valete
0 0 =48/52*47/51
1 0 ou 0 1 =4/52*48/51+48/52*4/51
1 1 =4/52*3/51
=SOMA(G64:G66)
x p(x)
0 valete 0 85.067873% 0 =48/52*47/51
1 valete 1 14.479638% 0.1447963801 =2*4/52*48/51
2 valetes 2 0.452489% 0.0090497738 =4/52*3/51
total 100.00% 0.1538461538
Exercício 9
pretas total
brancas 2 2
A 3 1 4
B 5
x p(x)
0 6.6667% =2/5*1/6
0 brancas pp 1 43.3333% =2/5*5/6+3/5*1/6
1 branca pb + bp 2 50.0000% =3/5*5/6
2 brancas bb total 100.0000% =SOMA(E85:E87)
Exercício 10
pretas vermelhas total pp 9.5238% =4/7*1/6
brancas 4 0 4 pv 28.5714% =4/7*3/6
A 3 0 3 6 bv 21.4286% =3/7*3/6
B 2
0 3 3 bb 21.4286% =3/7*3/6
B 3 1 3 7 pb 19.0476% =4/7*2/6
B 2
1
p(x)
x 59.52%
0 brancas 0 40.48%
1 branca 1
100.00%
total
59.52%
=3/7*3/6+4/7*1/6+4/7*3/6 40.48%
=3/7*3/6+4/7*2/6
Exercício 11
X f(x) p(x)
DD 2 2 1 10.00%
BDD 3 3 2 20.00%
DBD 3 4 3 30.00%
BBDD 4 5 4 40.00%
DBBD 4 total 10 100.00%
BDBD 4
BBBDD 5
DBBBD 5
BDBBD 5
BBDBD 5
No lançamento de dois dados, a variável aleatória x anota, em módulo, a diferença dos pontos das faces superiores. Determine os valores de x e a função de probabilidade associada.
Uma carta é retirada aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas e a variável X anota o número de damas obtidas nesta retirada. Determine os valores de x e a função de probabilidade associada.
Duas cartas são retiradas aleatoriamente, sem reposição, de um baralho comum de 52 cartas e a variável X anota o número de valetes obtidos nesta retirada. Determine os valores de x e a função de probabilidade associada.
Uma urna A contém 3 bolas brancas e 2 pretas. A urna B contém 5 bolas brancas e 1 bola preta. Uma bola é retirada ao acaso de cada urna e a variável aleatória x anota o número de bolas brancas obtidas. Determine os valores de x e a função de probabilidade associada.
Uma urna A contém 3 bolas brancas e 4 pretas. A urna B contém 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Uma bola é retirada ao acaso da urna A e colocada na urna B. Em seguida retira-se ao acaso uma bola da urna B. A variável aleatória x anota o número de bolas brancas obtidas nesta última extração. Determine os valores de x e a função de probabilidade associada.
Uma urna contém 3 peças boas e duas defeituosas. Uma a uma as peças são retiradas da urna, sem reposição e analisadas. O experimento encerra-se quando a segunda peça defeituosa for analisada. A variável aleatória x anota o número de peças retiradas da urna ao se encerrar o experimento. Determine os valores de x e a função de probabilidade associada.
Exercícios 12 a 20
p(x) = freq. relativa
p(x) = freq. relativa ==> diferença em módulo no lançamento de dois dados
Exercícios 21 a 25
p(x)
p(x) número de damas em uma retirada de carta do baralho
p(x)
p(x) - sair valete em duas retiradas de carta de baralho
p(x)
p(x)
Exercício 12
x p(x) x . p(x) (x-µ)²p(x)
2 0.3 0.6 3.072
5 0.4 2 0.016
8 0.2 1.6 1.568
10 0.1 1 2.304
total 1 5.2 6.96
média = µ 5.2
variância = s² 6.96
desvio padrão = s 2.6381811917
Exercício 13
x p(x) x p(x) (x - mi)²p(x)
-1 0.4 -0.4000 0.78400
0 0.2 0.0000 0.03200
1 0.2 0.2000 0.07200
3 0.2 0.6000 1.35200
total 1 0.4000 2.24000
média mi = 0.4000
variância = 2.24000
desvio = 1.4966629547
Exercício 14
bolos vendidos x =lucro para os bolos vendidos p(x) x p(x) (x - mi)²p(x)
0 -50 1% -0.5 $42.51
1 -30 5% -1.5 $102.15
2 -10 20% -2
$127.01
3 10 30% 3 $8.11
4 30 29% 8.7 $63.52
5 50 15% 7.5 $181.66
total 100% * 15.20 $524.96 R$ 22.9120
6 média variância desvio
lucro = -50 + 20 * quantidade vendida
custo diário para 5 bolos 50
custo unitário 10 um
preço de venda unitário 20 um
15.2 lucro médio por dia
524.96 variância de lucro ao quadrado por dia
22.9120 desvio = lucro por dia
Exercício 15
x = lucro P(lucro) x.p(x) (x - mi)²p(x)
segunda $3,000.00 $0.50 $1,500.00 $320,128.01
terça $1,800.00 $0.30 $540.00 $47,961.61
quarta $1,080.00 $0.10 $108.00 $125,404.16
quinta $648.00 $0.05 $32.40 $120,410.37
sexta $388.80 $0.05 $19.44 $163,993.29
total 100% * 2,199.8400 $777,897.45
$2,199.84 um
777897.4464 um²
881.9849468103 um
Exercício 16
x retorno P(x) x.p(x) (x - mi)²p(x)
sucesso $100,000.00 80% * 80,000 * 720,000,000
fracasso $(50,000.00) 20% -10,000 * 2,880,000,000
total 100% * 70,000 * 3,600,000,000
$70,000.00 um
$3,600,000,000.00 um²
$60,000.00 um
Exercício 17
x tempo P(x) x.p(x) (x - mi)²p(x)
painel $15.00 60% * 9 * 10
antena $5.00 40% * 2 * 14
total 100% * 11 * 24
m = E(x) = * 11 minutos
variância * 24
desvio * 4.8990 minutos
Exercício 18
por visita valor venda p(x) x.p(x)
sucesso 1000 80% 800
fracasso 0 20% 0
total 100% 800
m = E(x) = * 800 u.m. por venda
Para quatro vendas
m = E(x) = * 3,200 u.m.
Exercício 19
x p(x) x.p(x)
0 10 90% 9
1 5 5% 0.25
2 2.5 3% 0.075
3 1.25 1% 0.0125
4 0.625 1% 0.00625
100% 9.34375
m = E(x) = 9.34375 u.m.
Exercício 20
Expectativa de venda Lucro por unidade vendida Custo adicional por unidade não vendida Proporção na produção total
A 70% 0.04 0.02 50%
B 80% 0.08 0.05 30%
C 60% 0.02 0.01 10%
D 60% 0.1 0.04 10%
total 270% 24% 12% 100%
A lucro p(x) x.p(x) B lucro p(x) x.p(x)
sucesso 0.04 70% 0.028 sucesso 0.08 80% 0.064
fracasso 0.02 30% 0.006 fracasso 0.03 20% 0.006
total 100% 0.034 total 100% 0.07
C lucro p(x) x.p(x) D lucro p(x) x.p(x)
sucesso 0.02 60% 0.012 sucesso 0.1 60% 0.06
fracasso 0.01 40% 0.004 fracasso 0.06 40% 0.024
total 100% 0.016 total 100% 0.084
X = E(x) de cada fralda Proporção na produção total P(x) x.p(x)
A 0.034 50% 0.017
B 0.07 30% 0.021
C 0.016 10% 0.0016
D 0.084 10% 0.0084
total 100% 0.048
Retorno esperado por unidade = m = E(x) = 0.048 u.m.
x fi fr =p(x) x. p(x)
2 2 0.4 0.8
3 1 0.2 0.6
4 2 0.4 1.6
total 5 1 3
x Frequência simples Freq. relativa p(x) x . P(x) (x-média)²p(x)
2 1 0.0277777778 0.0555555556 0.6944444444
3 2 0.0555555556 0.1666666667 0.8888888889
4 3 0.0833333333 0.3333333333 0.75
5 4 0.1111111111 0.5555555556 0.4444444444
6 5 0.1388888889 0.8333333333 0.1388888889
7 6 0.1666666667 1.1666666667 0
8 5 0.1388888889 1.1111111111 0.1388888889
9 4 0.1111111111 1 0.4444444444
10 3 0.0833333333 0.8333333333 0.75
11 2 0.0555555556 0.6111111111 0.8888888889
12 1 0.0277777778 0.3333333333 0.6944444444
total 36 1 7 5.8333333333
média 7
variância 5.8333333333
desvio padrão 2.4152294577
x p(x) x p(x) (x-média)²*p(x)
2 0.3 0.6 3.072
5 0.4 2 0.016
8 0.2 1.6 1.568
10 0.1 1 2.304
total 5.2 6.96
média = 5.2000
variância 6.9600
desvio padrão 2.6382
bolos vendidos x p(x) x p(x) (x-média)²*p(x)
0 -50 1% -0.5 42.5104
1 -30 5% -1.5 102.152
2 -10 20% -2 127.008
3 10 30% 3 8.112
4 30 29% 8.7 63.5216
5 50 15% 7.5 181.656
100% 15.2 524.96
LUCRO MÉDIO * 15.20
VARÂNCIA 524.96
DESVIO PADRÃO * 22.91
DIA DA SEMANA x lucro p(x) x p(x) (x-média)²*p(x)
2 $3,000.00 50% $1,500.00 320128.01
3 $1,800.00 30% $540.00 47961.61
4 $1,080.00 10% $108.00 125404.16
5 $648.00 5% $32.40 120410.37
6 $388.80 5% $19.44 163993.29
total 100% $2,199.84 777897.45
LUCRO MÉDIO * 2,199.84
VARIÂNCIA 777897.4464
DESVIO PADRÃO * 881.98
* (446.11) * 435.87 * 1,317.86 * 2,199.84 * 3,081.82 * 3,963.81 * 4,845.79
Uma confeitaria produz cinco bolos em determinado dia. As probabilidades de vender nenhum, um, dois, três, quatro ou cinco valem respectivamente 1%, 5%, 20%, 30%, 29% e 15%. O custo total de cada bolo é de 10u.m. e o preço unitário de venda é de 20u.m. Calcule o lucro médio, a variância e o desvio padrão.
Um negociante espera vender um automóvel até sexta-feira. A expectativa de que venda na segunda é de 50%, na terça de 30%, na quarta feira é de 10 % na quinta é de 5% e na sexta é de 5%. Seu lucro é de 3mil u.m. se vender na segunda e diminui 40 % a cada dia. Calcule o valor esperado de lucro nesta venda, a variância e o desvio padrão.
Um produto deve ser lançado no mercado no próximo ano. A expectativa do departamento de marketing de que o projeto seja bem-sucedido é de 80%. Neste caso o retorno esperado em sua vida útil é de 100mil u.m. Se isto não acontecer, o prejuízo deve chegar a 50 mil u.m. Calcule o lucro médio, a variância e o desvio padrão.
O trem do metrô para no meio do túnel. O defeito pode ser na antena receptora ou no painel de controle. Se o defeito for na antena receptora, o conserto poderá ser feito em 5 minutos. Se o defeito for no painel, o conserto poderá ser feito em 15 minutos. O encarregado da manutenção acredita que a probabilidade do defeito ser no painel é de 60%. Qual a expectativa do tempo de conserto?
Um vendedor prepara quatro visitas e espera vender 1000u.m. em cada uma delas. A expectativa de vendas em cada cliente é de 80%, independentemente. Qual o valor esperado de vendas deste vendedor?
Uma prensa de fraldas descartáveis produz quatro modelos: A, B, C e D. A tabela a seguir anota as proporções fabricadas, a expectativa de vendas de cada tipo, lucros correspondentes e as peças vendidas. A peça não comercializada é reaproveitada com um custo adicional. Qual o retorno esperado por unidade?
Uma máquina fabrica placas de papelão que podem apresentar nenhum, um, dois, três ou quatro defeitos, com probabilidade de 90%, 5%, 3%, 1% e 1% respectivamente. O preço de venda de uma placa perfeita é de 10u.m. e, à medida que apresenta defeitos, o preço cai 50% para cada defeito apresentado. Qual é o preço médio de venda dessas placas?
R: E(x)=70.000,00 u.m.; Variância=3.600.000.000,00 u.m.²; Desvio Padrão=60.000,00 u.m.
Exercício 21
x p(x) x p(x) (x - mi)²p(x)
2 0.3 0.6 0.36300
3 0.5 1.5 0.00500
5 0.2 1 0.72200
total 1 3.1 1.09000
m média(x) 3.1
s2 variância(x) 1.090000
s desvio (x) 1.0440306509
m E(y) = média y = 2. média x +5 = 2 . 3,1 + 5 11.2
s2 variância(y) = 4. var(x) = 4 . 1,09 4.36
s desvio(y)= raiz(var(y)) 2.0880613018
Exercício 22
Calcule a média e o desvio padrão da variável
x p(x) x p(x) (x - mi)²p(x)
-1 0.2 -0.2 3.528
2 0.3 0.6 0.432
5 0.4 2 1.296
8 0.1 0.8 2.304
total 1 3.2 7.56
m média(x) 3.2
s2 variância(x) 7.560000
s desvio (x) 2.749545417 =RAIZ(D30)
m E(y) = 4/3 E(x) -3 1.27
s2 variância(y) =( 4/3)^2* var(x) 13.44
s desvio(y)= raiz(var(y)) 3.67
Exercício 23
Se a variável aleatória x apresenta
Calcule:
= 2 * 8 = 16
= 4* 4 = 16
= 3 * 8 - 2 = 22
= raiz(16 * 4) 64 8
Exercício 24
caixa e produto são variáveis aleatórias
caixas de papelão produto
m 200 g m 1000 g
s2 100 g² s2 25 g²
s 10 g s 5 g
Cada caixa contém 6 unidades
y = c + 6 p
m 6200 g =200+6*1000 = 6,2Kg
s2 1000 g² =100+ 36*25
s 31.6227766017 g =RAIZ(C64)
0.0316227766 Kg
Exercício 25
cf $10,000.00 um a) custo = cf +1000 cu
cu m 5 um m $15,000.00 um
s 0.2 um s2 $40,000.00 um²
s2 0.04 um² s 200 um
pu venda m 20 um b) receita = 1000 puvenda
s 1.5 um m $20,000.00 um
s2 2.25 um² s2 $2,250,000.00 um²
unidades $1,000.00 s $1,500.00 um
c) lucro = receita - custo
m $5,000.00 um
s2 $2,290,000.00 um²
s $1,513.27 um
Uma variável aleatória x assume os valores 2,3 e 5 com probabilidades 0,30, 0,50, e 0,20, respectivamente. Calcule o valor esperado e o desvio padrão de y = 2x +5.
Um produto é embalado em caixas de papelão que pesam em média 200 gramas com desvio padrão de 10 gramas. Cada caixa contém seis unidades do produto. O peso médio de cada unidade é 1kg, com desvio padrão de 5 g. Calcule o peso médio e o desvio padrão de uma caixa cheia.
O custo fixo de produção de um bem é de 10.000 u.m. O custo unitário variável de produção é uma variável aleatória com média de 5u.m. e desvio padrão de 0,2u.m. O preço unitário de venda do bem é outra variável aleatória com média de 20u.m. e desvio padrão de 1,5u.m. Determine:
a- O custo médio de produção para 1000 unidades e o desvio padrão correspondente.
b- A receita média e o desvio padrão para 1000 unidades vendidas.
c- O lucro médio e o desvio padrão para 1000 unidades vendidas.
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