aula18 - A raiz quadrada

Prévia do material em texto

18
A U L A
18
A U L A
Qual Ø o nœmero positivo que elevado ao
quadrado dÆ 16? Basta pensar um pouco para descobrir que esse nœmero Ø 4.
4444422222 = 4 · 4 = 16 = 4 · 4 = 16 = 4 · 4 = 16 = 4 · 4 = 16 = 4 · 4 = 16
O nœmero 4 Ø entªo chamado raiz quadradaraiz quadradaraiz quadradaraiz quadradaraiz quadrada de 16, e essa operaçªo,
chamada de radiciaçªoradiciaçªoradiciaçªoradiciaçªoradiciaçªo, Ø representada assim:
16 = 4
Vamos agora explorar um pouco mais este exemplo pedindo ao leitor para
resolver a equaçªo
xxxxx22222 = 16 = 16 = 16 = 16 = 16
Lembre que resolver uma equaçªo significa encontrar todostodostodostodostodos os valores que,
se colocados no lugar do xxxxx, tornam a igualdade correta. JÆ sabemos que x = 4x = 4x = 4x = 4x = 4 Ø
uma soluçªo porque 4444422222 = 16 = 16 = 16 = 16 = 16. JÆ que, tambØm,
(((((----- 4) 4) 4) 4) 4)22222 = ( = ( = ( = ( = (----- 4) · ( 4) · ( 4) · ( 4) · ( 4) · (----- 4) = 16 4) = 16 4) = 16 4) = 16 4) = 16
descobrimos que a equaçªo xxxxx22222= 16= 16= 16= 16= 16 tem duasduasduasduasduas soluçıes: x = 4x = 4x = 4x = 4x = 4 e x = x = x = x = x = ----- 4 4 4 4 4. Entªo, toda
vez que tivermos uma equaçªo desse tipo, nós a resolveremos assim:
xxxxx22222 ===== 1616161616
xxxxx ===== ±±±±± 16
xxxxx ===== ± 4± 4± 4± 4± 4
Observe que o símbolo ± 4± 4± 4± 4± 4 (lŒ-se: mais ou menos 4) representa dois nœmeros:
o 44444 e o ----- 4 4 4 4 4, que sªo as duas soluçıes da equaçªo dada.
Vamos entªo explorar a raiz quadrada e ver algumas aplicaçıes. Em
primeiro lugar, observe os exemplos a seguir:
9 = 3 porque 3333322222 = 3 · 3 = 9 = 3 · 3 = 9 = 3 · 3 = 9 = 3 · 3 = 9 = 3 · 3 = 9
100 = 10 porque 101010101022222 = 10 · 10 = 100 = 10 · 10 = 100 = 10 · 10 = 100 = 10 · 10 = 100 = 10 · 10 = 100
5,76 = 2, 4 porque 2,42,42,42,42,422222 = 2,4 · 2,4 = 5,76 = 2,4 · 2,4 = 5,76 = 2,4 · 2,4 = 5,76 = 2,4 · 2,4 = 5,76 = 2,4 · 2,4 = 5,76
Introduçªo
Nossa aula
A raiz quadrada
18
A U L ARepare que os dois primeiros exemplos sªo simples, mas o terceiro jÆ parece
difícil. Como podemos descobrir que a raiz quadrada de 5,76 Ø 2,4? Esta pergunta
serÆ respondida ao longo desta aula, mas antes, vamos mostrar como isso
começou.
Um Pouco de História
Por volta do sØculo VI a.C. a matemÆtica começou a se desenvolver de forma
organizada. Temos conhecimento de que, ainda antes dessa Øpoca, existiam
povos, como os egípcios e os babilônios, que usavam matemÆtica para resolver
problemas que ocorriam em suas comunidades. Mas, suas fórmulas, descober-
tas atravØs de experiŒncias, nem sempre eram corretas, ou seja, davam certo em
alguns casos mas em outros nªo.
Esse desenvolvimento organizado da matemÆtica teve início na GrØcia
antiga devido, principalmente, às descobertas de dois gŒnios chamados Tales e
PitÆgoras. Tudo o que sabemos desses dois primeiros grandes matemÆticos que
a humanidade conheceu foram relatos de outras pessoas, de forma que, hoje, Ø
impossível saber o que Ø lenda e o que realmente aconteceu. De qualquer forma,
o importante foram as idØias que surgiram naquela Øpoca e que permitiram o
rÆpido e sólido desenvolvimento da matemÆtica. Esse desenvolvimento se deu
atravØs de teoremasteoremasteoremasteoremasteoremas que sªo afirmaçıes vÆlidas em todastodastodastodastodas as situaçıes de um
mesmo tipo, e sªo demonstradas a partir de conhecimentos anteriores.
O Teorema de PitÆgoras
No sØculo VI a.C. foi descoberta uma propriedade vÆlida em todos os
triângulos retângulos. Ela ficou conhecida como Teorema de PitÆgorasTeorema de PitÆgorasTeorema de PitÆgorasTeorema de PitÆgorasTeorema de PitÆgoras.
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusaEm todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusaEm todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusaEm todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusaEm todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa
Ø igual à soma dos quadrados dos catetos.Ø igual à soma dos quadrados dos catetos.Ø igual à soma dos quadrados dos catetos.Ø igual à soma dos quadrados dos catetos.Ø igual à soma dos quadrados dos catetos.
Essa afirmaçªo, que serÆ demonstrada na nossa próxima aula, pode ser
escrita como uma fórmula. Se em um triângulo retângulo, representamos o
comprimento da hipotenusa por aaaaa e os comprimentos dos catetos por b b b b b e ccccc (como
na figura abaixo),
 b a
 c
entªo, o Teorema de PitÆgoras nos diz que
aaaaa22222 = b = b = b = b = b22222 + c + c + c + c + c22222
18
A U L A Por exemplo, jÆ era conhecido mesmo antes de PitÆgoras que o triângulo de
lados 33333, 44444 e 55555 Ø um triângulo retângulo. De fato, observe que, se na fórmula acima
fizemos a = 5a = 5a = 5a = 5a = 5, b = 4b = 4b = 4b = 4b = 4 e c = 3c = 3c = 3c = 3c = 3, obtemos:
555552 2 2 2 2 = 4 = 4 = 4 = 4 = 422222 + 3 + 3 + 3 + 3 + 322222
que Ø uma igualdade correta. Observe ainda que 5555522222 Ø a Ærea de um quadrado de
lado 55555; 4444422222 Ø a Ærea de um quadrado de lado 44444 e 3333322222 Ø a Ærea de um triângulo de
lado 33333. Veja entªo na figura a seguir a seguinte interpretaçªo do Teorema de
PitÆgoras:
A Ærea do quadrado construído sobre a hipotenusa Ø igual à soma
das Æreas dos triângulos construídos sobre os catetos.
A volta da raiz quadrada
SerÆ que todo nœmero positivo possui uma raiz quadrada?
Esta Ø uma pergunta intrigante e a resposta Ø: sim.
Vejamos o seguinte exemplo. Consideremos um triângulo retângulo com
catetos iguais a 1 e tratemos de calcular sua hipotenusa.
Esse Ø um triângulo conhecido. Ele jÆ apareceu na aula 7 e esse problema foi
resolvido, aproximadamente, pela medida do comprimento da hipotenusa.
Agora, podemos resolvŒ-lo pelo teorema de PitÆgoras.
xxxxx22222 = 1 = 1 = 1 = 1 = 122222 + 1 + 1 + 1 + 1 + 122222
xxxxx22222 = 1 + 1 = 1 + 1 = 1 + 1 = 1 + 1 = 1 + 1
xxxxx2 2 2 2 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2
JÆ sabemos que essa equaçªo tem duas soluçıes: uma positiva e outra
negativa. Mas, como xxxxx Ø um comprimento, entªo ele Ø representado por um
nœmero positivo.
Daí,
x = 2
x
1
1
18
A U L ATemos entªo que x Ø a raiz quadradaraiz quadradaraiz quadradaraiz quadradaraiz quadrada de 2. Mas, que nœmero Ø esse? Sabemos
que ele existe porque estamos vendo sua representaçªo no desenho. Vamos ver
que, neste caso, ele só pode ser determinado aproximadamenteaproximadamenteaproximadamenteaproximadamenteaproximadamente.
Façamos entªo algumas tentativas.
1,21,21,21,21,222222 = 1,44 = 1,44 = 1,44 = 1,44 = 1,44 (Ø pouco)
1,31,31,31,31,322222 = 1,69 = 1,69 = 1,69 = 1,69 = 1,69 (Ø pouco)
1,41,41,41,41,422222 = 1,96 = 1,96 = 1,96 = 1,96 = 1,96 (Ø pouco mas estÆ próximo)
1,51,51,51,51,522222 = 2,25 = 2,25 = 2,25 = 2,25 = 2,25 (passou de 2)
Concluímos que 1,4 Ø uma aproximaçªoaproximaçªoaproximaçªoaproximaçªoaproximaçªo de 2 por falta, ou seja, ele Ø
próximo mas Ø menormenormenormenormenor que o valor que procuramos. Vamos entªo acrescentar
mais uma casa decimal ao 1,4 para continuar nossas tentativas.
1,411,411,411,411,4122222 = 1,9881 = 1,9881 = 1,9881 = 1,9881 = 1,9881 (Ø pouco)
1,421,421,421,421,4222222 = 2, 0164 = 2, 0164 = 2, 0164 = 2, 0164 = 2, 0164 (passou)
Concluímos agora que 1,41 Ø uma aproximaçªo por falta de 2 melhor que
a anterior. Podemos continuar tentando encontrar mais uma casa decimal.
1,413† = 1,99661,413† = 1,99661,413† = 1,99661,413† = 1,99661,413† = 1,9966 (Ø pouco)
1,414† = 1,99941,414† = 1,99941,414† = 1,99941,414† = 1,99941,414† = 1,9994 (Ø pouco)
1,415† = 2,00221,415† = 2,00221,415† = 2,00221,415† = 2,00221,415† = 2,0022 (passou)
Temos entªo que 1,414 Ø uma aproximaçªo ainda melhor para 2 . Esse
processo pode continuar mas, infelizmente, nuncanuncanuncanuncanunca conseguiremos encontrar um
nœmero decimal cujo quadrado seja exatamente 2. Tudo o que podemos fazer Ø
encontrar aproximaçıes cada vez melhores.
Uma mÆquina de calcularcomum, com tecla de raiz quadrada, faz isso muito
bem. Apertando as teclas 2 e encontramos no visor o nœmero 1,4142135 que
Ø uma excelente aproximaçªo para a raiz quadrada de 2.
Esses nœmeros, com infinitas casas decimais e que só podemos conhecer por
meio de aproximaçıes, sªo chamados de nœmeros irracionaisirracionaisirracionaisirracionaisirracionais.
Os nœmeros irracionais aparecerªo com grande freqüŒncia em nosso curso.
Mas, felizmente, em nossos problemas prÆticos só necessitaremos de aproxima-
çıes com poucas casas decimais.
Uma aplicaçªo da raiz quadrada
Certo dia, um automóvel vinha em grande velocidade por uma estrada
quando um transeunte distraído foi atravessÆ-la. O motorista pisou fundo no
freio, os pneus cantaram no asfalto e felizmente o carro parou a uma pequena
distância do assustado pedestre. Um guarda próximo quis logo multar o moto-
rista por excesso de velocidade mas o motorista garantiu que vinha a menos de
80 km por hora, que era a velocidade mÆxima permitida naquele trecho. Como
o guarda poderia saber a velocidade com que vinha o carro?
É possível saber. Em uma freada de emergŒncia os pneus deixam uma marca
no asfalto. Medindo o comprimento dessa marca Ø possível saber, aproximada-
mente a velocidade com que vinha o carro. A fórmula, obtida atravØs da física,
Ø a seguinte:
v = 14,6 c
onde ccccc Ø o comprimento da marca deixada pelos pneus em metros e vvvvv Ø a
velocidade do carro em quilômetros por hora.
18
A U L A Na nossa história, os pneus do carro deixaram gravadas no asfalto uma
marca de 43 m. Aplicando a fórmula, teremos:
v = 14,6 ·v = 14,6 ·v = 14,6 ·v = 14,6 ·v = 14,6 · 43 = 14,6 · 6,56 = 95,78 = 14,6 · 6,56 = 95,78 = 14,6 · 6,56 = 95,78 = 14,6 · 6,56 = 95,78 = 14,6 · 6,56 = 95,78
ou seja, o carro vinha a aproximadamente 96 km/h e, portanto, seu motorista
deveria ser multado.
Propriedades da raiz quadrada
JÆ sabemos que todo nœmero positivo possui raiz quadrada. Quanto vale a
raiz quadrada de zero?
Pense:
Vale zero, Ø claro, porque 02 = 0. E quanto serÆ a raiz quadrada de - 3?
Pense:
Essa nªo existe, porque quando elevamos qualquer nœmero ao quadrado, o
resultado Ø sempre positivo. Logo, nenhum nœmero negativo possui raiz qua-
drada. A nossa primeira propriedade serÆ, entªo:
I I I I I ----- Se a Se a Se a Se a Se a > 0 existe 0 existe 0 existe 0 existe 0 existe a . Se a . Se a . Se a . Se a . Se a < 0, nªo existe 0, nªo existe 0, nªo existe 0, nªo existe 0, nªo existe a
A nossa segunda propriedade Ø uma consequŒncia da definiçªo de raiz
quadrada:
II II II II II ----- Se a Se a Se a Se a Se a > 0, entªo 0, entªo 0, entªo 0, entªo 0, entªo a · · · · · a = a= a= a= a= a
A terceira e a quarta propriedades vªo nos ajudar a operar com as raízes
quadradas:
III III III III III ----- Se a e b sªo positivos, entªo Se a e b sªo positivos, entªo Se a e b sªo positivos, entªo Se a e b sªo positivos, entªo Se a e b sªo positivos, entªo ab = = = = = a · · · · · b
IV IV IV IV IV ----- Se a e b sªo positivos (e b Se a e b sªo positivos (e b Se a e b sªo positivos (e b Se a e b sªo positivos (e b Se a e b sªo positivos (e b „ 0), entªo 0), entªo 0), entªo 0), entªo 0), entªo 
a
b
=
a
b
Observe agora o exemplo seguinte, no qual aplicaremos essas propriedades
na soluçªo de uma equaçªo:
EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO
Use a mÆquina de calcular para obter aproximadamente (4 casas decimais)
a soluçªo positiva da equaçªo.
3x3x3x3x3x22222 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7
SoluçªoSoluçªoSoluçªoSoluçªoSoluçªo:
A primeira coisa a fazer Ø dividir por 3 para isolar a incógnita.
3x2
3
=
7
3
=
x2 =
7
3
18
A U L AAgora vamos extrair a raiz quadrada. Neste caso, nªo precisaremos colocar
o sinal + do lado direito porque o enunciado só nos pede para determinar a
soluçªo positiva. Temos entªo:
x =
7
3
Observe agora como usamos as propriedades para dar a resposta de outra
forma. Pela propriedade IV, podemos escrever
x =
7
3
É sempre incômodo ter uma raiz no denominador de uma fraçªo. Para
resolver isso, multiplicamos o numerador e o denominador da fraçªo pelo
próprio denominador. Chamamos isto de racionalizarracionalizarracionalizarracionalizarracionalizar o denominador.
x =
7 × 3
3 × 3
Pelas propriedades II e III temos que 3 × 3 = 3 e ainda, 7 × 3 = 7×3 = 21 .
Entªo,
x =
21
3
Esta Ø a soluçªo positiva da nossa equaçªo. Usando a mÆquina, e digitando
encontraremos como aproximaçªo de x o nœmero 1,5275.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Determine as raízes quadradas
a)a)a)a)a) 25 b)b)b)b)b) 64 c)c)c)c)c) 196
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Resolva as equaçıes
a)a)a)a)a) x2 = 36
b)b)b)b)b) 2x2 = 98
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Sem usar a tecla de sua calculadora, determine as raízes abaixo fazendo
tentativas e aproximaçıes.
a)a)a)a)a) 529
b)b)b)b)b) 1156
c)c)c)c)c) 57 76,
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Determine um valor aproximado para 3 com duas casas decimais.
2 1 3 =
Exercícios
18
A U L A Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Se aaaaa Ø um nœmero positivo, complete:
a)a)a)a)a) a2 =
b)b)b)b)b) a4 =
c)c)c)c)c) a6 =
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
Simplifique as raízes fatorando o nœmero que estÆ em baixo do radical.
Exemplo: 512 2 2 2 2 2 2 2 16 29 8 8 4= = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
(Para recordar as regras de operaçıes com potŒncias reveja a aula 14.)
a)a)a)a)a) 12
bbbbb) 144
c)c)c)c)c) 800
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7
Racionalize os denominadores e dΠvalores aproximados (com 2 decimais)
para as fraçıes abaixo.
a)a)a)a)a) 10
2
b)b)b)b)b) 6
3
Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8
Uma certa quadra de futebol de salªo tem 30 m de comprimento e 18 m de
largura. Determine um valor aproximado para o comprimento de sua
diagonal.
 
30 m
18 m
Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9
Na casa de Joªo existe um quarto cujo chªo Ø quadrado e tem 12 m2 de Ærea.
Quanto mede, aproximadamente o lado desse quadrado?