aula 1 - PRINCÃ-PIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS (1)

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PRINCÍPIO DOS TRABALHOS 
VIRTUAIS 
Força Generalizada, Deformações e 
Deslocamentos 
• força generalizada: pode ser interna ou externa, 
e uma força externa pode ser ativa ou reativa. 
Admitindo-se que a viga anterior esteja em 
equilíbrio sob a ação das forças indicadas, 
secciona-se o trecho CB. Representamos o 
diagrama de corpo livre da viga abaixo: 
Atenção: Durante a fase de projeto, 
um dos objetivos fundamentais é a 
definição de dimensões suficientes 
para as seções transversais e a 
especificação de materiais com 
resistência adequada para que a 
estrutura suporte com segurança os 
carregamentos atuantes!!!! 
• Uma estrutura solicitada por um sistema de 
forças sofre mudança de forma: deformação. 
 
  São grandezas adimensionais; 
 
  caracterizam completamente a mudança 
 de forma de um elemento infinitesimal em 
 torno de um ponto. 
 
• Neste processo os pontos da estrutura sofrem 
mudanças de posição em relação às suas 
posições iniciais e em relação uns aos outros: 
deslocamento. 
 
  Os deslocamentos decorrem do efeito 
 acumulado das deformações nos pontos do 
 corpo ou da estrutura. 
 
Resumindo: os pontos de uma 
estrutura submetida a um 
carregamento qualquer ficam sujeitos 
a estados de tensão e se deformam 
em maior ou menor grau, 
consequentemente se deslocam!!!! 
Atenção: Durante o projeto estrutural, 
outro objetivo fundamental a ser 
atingido é especificar as peças da 
estrutura com dimensões e materiais 
adequados, para que sejam evitados 
deslocamentos excessivos quando a 
estrutura estiver em funcionamento 
sob ação dos carregamentos!!! 
Δ = translação 
Θ = rotação 
• Um deslocamento deve ser entendido 
genericamente como uma translação ou rotação 
de algum ponto da estrutura. 
Condições de compatibilidade e 
deslocamentos 
• Na análise estrutural, além das condições de 
equilíbrio, devem ser satisfeitos todos os 
requisitos de compatibilidade de deslocamento. 
 
• As condições de compatibilidade dizem respeito 
à continuidade dos deslocamentos e dos 
requisitos de vinculação da estrutura nos apoios. 
• Assim, numa seção qualquer de uma barra da 
estrutura, sendo esta seção definida por um 
ponto sobre o eixo barra, tomando-se um ponto 
localizado um infinitésimo à esquerda e outro à 
direita, os deslocamentos destes pontos vizinhos 
devem ser iguais ao deslocamento do ponto da 
seção para que haja continuidade de 
deslocamentos. 
Atenção: As condições de 
compatibilidade são muito 
importantes na análise estrutural pois 
permitem complementar o número de 
equações de equilíbrio estático 
quando se analisa uma estrutura 
hiperestática pelo método da forças!!! 
Comportamentos Básicos dos Materiais: 
Linearidade, Não-linearidade, Elasticidade, 
Plasticidade 
• O comportamento físico de um material é definido 
pelas relações existentes entre as tensões 
atuantes e as correspondentes deformações por 
elas provocadas. 
 
• A linearidade física corresponde a uma relação 
diretamente proporcional entre tensões e 
deformações. 
• O que não ocorre na não-linearidade. 
• elasticidade é a propriedade que certos materiais 
idealizados possuem de se deformarem quando 
submetidos a tensões, e de voltarem à condição 
inicial indeformada, quando o estado de tensão 
que causou a deformação é removido. 
 
• No caso de não haver retorno à situação inicial, 
permanecendo deformações residuais, o material 
é dito elastoplástico. 
 
Atenção: A utilização de materiais do 
tipo elástico não-linear ou 
elastoplástico induz a estrutura a se 
comportar de forma não-linear, isto é, a 
relação entre as cargas e os 
deslocamentos não é neste caso 
diretamente proporcional!!! 
E ainda: Na maioria dos casos, nos 
projetos estruturais, os fatores de 
segurança aplicados sobre solicitações 
e resistências fazem com que os 
materiais quase sempre trabalhem em 
um nível de tensão abaixo de 40 % da 
sua tensão de escoamento. Por esta 
razão na maioria das vezes considera-se 
o material com comportamento 
elástico-linear para fins de análise 
estrutural!! 
Comportamento Geométrico das 
Estruturas: Linearidade e Não-linearidade 
Geométrica 
• O comportamento geométrico de uma estrutura 
é definido pelas relações entre forças e efeitos 
estruturais correspondentes. 
 
• A linearidade geométrica existe quando os 
efeitos são combinações lineares das causas. 
• Para se ter comportamento linear numa 
estrutura exige-se necessariamente o 
comportamento linear do material (linearidade 
física) e linearidade geométrica da estrutura. 
• Para a linearidade geométrica deve-se ter um 
arranjo adequado das barras e dos vínculos de 
forma que seja possível estabelecer as condições 
de equilíbrio estrutural na posição inicial da 
estrutura indeformada. 
 
 Atenção: Para tanto a estrutura deve 
funcionar em regime de pequenos 
deslocamentos e pequenas 
deformações!!! 
Resumindo: Não é possível uma 
estrutura apresentar comportamento 
linear se o material tiver 
comportamento não-linear, bem como 
não há possibilidade da estrutura 
apresentar comportamento linear se 
apresentar alguma não-linearidade 
geométrica. 
• Para estrutura apresentada abaixo, não se 
consegue o equilíbrio no ponto C sem considerar 
a deformação das barras AC e BC e os 
consequentes deslocamentos: estrutura de 
comportamento não-linear geométrico. 
• Comportamento linear-geométrico: 
Atenção: Se a estrutura anterior for composta de 
barras muito delgadas e material muito deformável, 
de forma que os deslocamentos não possam ser 
considerados como pequenos ela é considerada 
não linear-geométrica. 
Princípio da Superposição dos Efeitos 
• Quando uma estrutura tem comportamento 
elástico-linear (linearidade física e geométrica) 
pode-se considerar que os efeitos produzidos 
por várias causas podem ser obtidos 
combinando-se os efeitos produzidos pelas 
causas atuando individualmente. 
• O princípio de superposição dos efeitos pode 
ser aplicado quando: 
 
O material segue a Lei de Hooke 
(comportamento elástico-linear); 
Deslocamentos e deformações nos pontos da 
estrutura são pequenos (linearidade 
geométrica); 
A disposição das barras e de vínculos é tal que 
se pode formular o equilíbrio na posição 
inicial da estrutura indeformada. 
• Exemplo: 
Correspondência entre Força e 
Deslocamento 
• Considera-se que força e deslocamento são 
correspondentes quando: 
 
São de mesma natureza: uma força 
corresponderá a um deslocamento linear, e um 
momento a um deslocamento angular (rotação); 
Estão localizados no mesmo ponto da estrutura; 
Têm mesma direção e mesmo sentido 
considerado como positivo. 
• Exemplo: 
Atenção: A relação de correspondência é 
diferente da relação de causa. No exemplo 
anterior, ∆ e θ são ambos causados pela 
ação conjunta de P e M. 
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) 
Um deslocamento virtual ou uma força virtual são, 
respectivamente, um deslocamento imaginário ou 
uma força imaginária, arbitrariamente impostos 
sobre um sistema estrutural. 
O trabalho virtual pode ser considerado como: 
 
  Trabalho realizado por forças reais 
durante um deslocamento virtual; 
  Trabalho realizado por forças virtuais 
durante um deslocamento real. 
*Pode-se considerar aqui como deslocamento 
virtual um deslocamento provocado por alguma 
outra ação que não o sistema de carregamento 
em questão atuante na estrutura. 
 
*Força virtual, da mesma forma, pode ser 
considerada uma outra força qualquer que não 
seja a que está provocando o deslocamento real. 
 
 
Princípiodos Trabalhos Virtuais para 
Corpos Rígidos 
• Seja um corpo rígido sujeito a um sistema de 
forças reais Pi constantes. Se ele é submetido 
a um deslocamento virtual δv, então δvi são as 
componentes do deslocamento virtual 
correspondentes aos Pi. 
• Mas e quando as forças são virtuais e os 
deslocamentos reais?? Como é calculado o 
trabalho virtual??? 
Princípio dos Deslocamentos Virtuais 
para Corpos Rígidos 
“Se é aplicado um deslocamento virtual a um 
corpo rígido sujeito a um sistema de forças em 
equilíbrio, o trabalho virtual total realizado pelas 
forças é igual a zero” 
A recíproca também é verdadeira: 
 
 
“Se o trabalho virtual total realizado por um 
sistema de forças reais atuando em um corpo 
rígido quando ele é submetido a um 
deslocamento virtual que é igual a zero, o 
sistema de forças está em equilíbrio”. 
Exemplos 
1. Como nas estruturas isostáticas os 
deslocamentos de apoio não provocam 
deformações na estrutura nem esforços internos, 
pode-se considerar que as estruturas isostáticas 
funcionam como corpos rígidos. Utilizando este 
fato, as reações de apoio de uma estrutura podem 
ser calculadas, como a que se segue, usando o 
Princípio dos Trabalhos Virtuais aplicado aos 
corpos rígidos. Assim propõe-se calcular a reação 
vertical VB no apoio B. 
2. Usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, 
propõe-se calcular o momento MA no apoio A. 
3. Se o apoio B da viga em forma de L abaixo 
sobre um recalque de 1,2 pol, determine: a) o 
deslocamento vertical δc do ponto C; b) o 
deslocamento horizontal δd do ponto D e c) a 
inclinação θ𝐴 no ponto A. 
Princípio dos Trabalhos Virtuais para 
Corpos Deformáveis 
Nos corpos deformáveis, pontos do interior do 
corpo podem mover-se uns em relação aos 
outros sem violar as condições de restrição. 
Portanto, neste caso, tanto as forças externas 
quanto as internas (esforços solicitantes) 
realizam trabalho. 
Genericamente, uma estrutura como a 
mostrada abaixo pode sofrer deformações sem 
apresentar descontinuidades e respeitando-se a 
vinculação nos apoios. 
O elemento de barra dx estará sujeito a resultantes 
de tensão representadas aqui pelos esforços 
solicitantes: 
A deformação da estrutura provoca 
deslocamentos relativos entre as seções 
transversais externas do elemento: 
*extremidade 
esquerda do 
Elemento 
fixada 
• N ↔ dδ 
 dδ = deslocamento relativo entre as 
 seções extremas do elemento de barra na 
 direção do eixo da barra) 
• M ↔ dθ 
 dθ = rotação relativa entre as seções 
 extremas do elemento de barra no plano 
 da mesma 
• V ↔ dλ 
 dλ = deslocamento relativo no plano da 
 barra entre as seções extremas do 
 elemento de barra na direção 
 perpendicular ao eixo 
• T ↔ dφ 
 dφ = rotação relativa entre as seções 
 extremas do elemento em torno do eixo 
 da barra 
 
• Portanto, existe um trabalho real interno 
produzido por estes esforços que, no caso de 
comportamento elástico linear é dado por 
pela integral do trabalho infinitesimal sobre 
cada elemento de barra dx. 
 
Princípio dos Deslocamentos Virtuais 
para Corpos Deformáveis 
“Quando em uma estrutura deformável, em 
equilíbrio sob a ação de um sistema de 
carregamento, é dada uma pequena 
deformação virtual compatível, o trabalho 
virtual realizado pelas forças externas é igual ao 
trabalho virtual realizado pelas forças internas”. 
Observação: 
 Os deslocamentos ou deformações virtuais 
devem ser compatíveis com as condições de 
contorno geométricas (apoios) e não devem 
violar a continuidade das deformações da 
estrutura!!!! 
Considerando a seguinte estrutura: 
Onde: 
P e M: força e momento externos 
VC e θB: deslocamentos correspondentes a P e M, originados da 
deformação (real) causada pelo carregamento (P e M) 
δvC e δθB: deslocamentos virtuais correspondentes a P e M, 
impostos após a deformação real da estrutura . Não são provocados 
por P e M, mas sim da deformação virtual. 
No caso anterior, o trabalho virtual externo será: 
• A deformação virtual imposta provoca 
deslocamentos virtuais das seções 
transversais, correspondentes aos esforços 
solicitantes reais atuantes nestas seções. 
Portanto, o trabalho virtual das forças internas 
realizado ao longo de todo o comprimento da 
estrutura é: 
• Aplicando o PTV, no equilíbrio tem-se δWext = 
δWint, portanto: 
Princípio das Forças Virtuais para 
Corpos Deformáveis 
“Se a um corpo deformável sujeito a 
deslocamentos reais provocados por um sistema 
de forças em equilíbrio é aplicado um sistema 
equilibrado de forças virtuais, o trabalho virtual 
externo (produzido pelas forças virtuais externas 
quando ocorrem os deslocamentos reais) é igual 
ao trabalho virtual interno (produzido pelos 
esforços virtuais internos quando ocorrem as 
deformações reais das barras)”. 
Onde: 
• P e M: força e momento externos reais 
• δQ: força virtual 
• v1, v2, θ : deslocamentos reais correspondentes 
a δQ, P, M (provocados por P e M). 
Na viga anterior, tem-se 
 
Exemplos