Aula 5 - Medidas de Tendência Central e Dispersão 2

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Medidas de Tendência Central e Dispersão para Dados Agrupados
Referências: 
	BUSSAB e MORETTIN, Cap. 3.
	WEBSTER, Cap. 3.
	
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Medidas de posição (ou tendência central) e de dispersão para dados agrupados 
Às vezes os dados que chegam até nós para serem analisados não vem na forma “bruta”, com as observações individuais uma a uma, e sim em forma já de tabelas de frequências com as observações agrupadas em categorias. 
Nestes casos, quando tivermos que calcular as medidas de tendência central (média, mediana, moda) e dispersão (variância, desvio padrão), não poderemos usar os mesmos procedimentos usados para descrever um conjunto de observações individuais, como visto anteriormente.
As medidas resumo calculadas a partir de dados já agrupados serão apenas aproximações. Sempre que possível, é mais informativo calculá-las a partir dos dados individuais. 
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Medidas de posição (ou tendência central) e de dispersão para dados agrupados 
Vejamos um exemplo: 37 alunos de uma turma de RI anotaram suas alturas e me passaram. Então eu construí a Tabela 1 abaixo com as frequências das alturas. 
Agrupei as informações em 7 categorias com amplitude de intervalo = 5 cm. Optei por arredondar a amplitude e, por consequência, precisei aumentar o número de categorias de 6 para 7. 
TABELA 1 - Distribuição de frequências das alturas de 37 alunos RI
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Medidas de posição (ou tendência central) e de dispersão para dados agrupados 
Se fosse para vocês calcularem a média de altura da classe, a partir desta tabela, como fariam? 
E para calcular a mediana? A variância? O desvio padrão... ?
	TABELA 1 - Distribuição de frequências das alturas de 37 alunos RI
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Cálculo da Média em dados agrupados 
Quando calculamos a média dos dados agrupados, assumimos que todas as observações do grupo (ou categoria) são iguais ao ponto médio do mesmo.
Além disso, ao se calcular a média geral dos grupos, é preciso levar em conta quantas observações há em cada um. 
A fórmula para a média de dados agrupados em k grupos é
							i=1, 2, ... k.
Onde
	 ni é a frequência ou número de observações do grupo i
	n é o tamanho da amostra, que é a soma de todas as observações dos grupos ∑ni.
	
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Cálculo da Média em dados agrupados 
Como fica o cálculo da média no nosso exemplo da tabela com a distribuição de frequência das alturas?
O primeiro passo é achar o ponto médio de cada intervalo ou grupo. O ponto médio é simplesmente o ponto do meio: a média entre o valor maior e o menor de cada intervalo (Mi). 
O segundo passo é multiplicar cada ponto médio pela frequência observada em cada grupo (ni Mi).
Em seguida, somam-se todos os pontos médios multiplicados pelas respectivas frequências (∑ni Mi) e divide-se pelo total de observações na amostra (∑ni =n).
Trabalhando com a Tabela 1, o ideal é você acrescentar mais duas colunas a ela, uma com o ponto médio de cada grupo (Mi) e outra com os valores de (ni Mi), para então calcular a média.
	
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Cálculo da Média em dados agrupados 
A média será o resultado da soma das observações da última coluna da tabela dividida pelo total de observações na amostra, que no caso é 37:
Médiag = 6.261,5/ 37 = 169,2
Portanto, com base na tabela, diremos que a altura média dos alunos é de 1,692m. (Conferindo: os dados individuais que os alunos me passaram têm média=1,689m!) 
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Cálculo da Mediana em dados agrupados 
Quando se tem informações em dados agrupados, o cálculo da mediana não é tão imediato. 
Primeiramente, é preciso encontrar o intervalo que contém a mediana das observações. Para tal, recorre-se às informações de frequência acumulada: o intervalo mediano é aquele cuja frequência acumulada é maior ou igual à metade das observações (50% = 0,5 ou n/2=18,5).
Em seguida, usa-se a seguinte fórmula para encontrar a mediana:
Onde
Lmd = limite inferior do intervalo que contém a mediana.
F = frequência acumulada do intervalo precedente ao intervalo que contém a mediana.
fmd = frequência do intervalo que contém a mediana.
C = amplitude do intervalo que contém a mediana.
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Cálculo da Mediana em dados agrupados 
Vamos buscar na Tabela 1 os valores necessários para o cálculo:
Lmd = limite inferior do intervalo que contém a mediana = 167
F = frequência acumulada do intervalo precedente ao intervalo que contém a mediana = 14
Fmd = frequência do intervalo que contém a mediana = 7
C = amplitude do intervalo que contém a mediana = 5.
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Cálculo da Mediana em dados agrupados 
Agora é só jogar na fórmula:
Lmd = limite inferior do intervalo que contém a mediana = 167
F = frequência acumulada do intervalo precedente ao intervalo que contém a mediana = 14
fmd = frequência do intervalo que contém a mediana = 7
C = amplitude do intervalo que contém a mediana = 5.
Portanto, calculamos que o aluno mediano mede 1,7215m de altura. (Conferindo: o aluno mediano dos dados individuais tem altura 1,70m)
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Cálculo da Moda em dados agrupados 
A fórmula para estimar a moda com dados agrupados é
Onde
Lmo = limite inferior da classe modal (a classe com mais observações).
Da = diferença entre a frequência da classe modal e da classe precedente.
Db = diferença entre a frequência da classe modal e da classe posterior.
C = amplitude da classe modal.
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Cálculo da Moda em dados agrupados 
A partir da Tabela temos que o cálculo da moda fica:
Onde
Lmo = limite inferior da classe modal = 172.
Da = diferença entre a frequência da classe modal e da classe precedente = 3
Db = diferença entre a frequência da classe modal e da classe posterior = 7
C = amplitude da classe modal = 5
Portanto, a partir dos dados agrupados , calculamos a moda das alturas como sendo igual a 173,5cm.
(Conferindo nos dados individuais: a moda foi 170cm).
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Variância e Desvio Padrão em dados agrupados 
Se os dados são agrupados em tabelas de frequências, a variância e o desvio padrão podem ser calculados como: 
Onde
ni = frequência de observações em cada intervalo
Mi = ponto médio de cada intervalo
n = total de observações na amostra
 = Média dos dados agregados
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Variância e Desvio Padrão em dados agrupados 
Nos nossos dados temos:
Portanto, calculamos a variância da altura da turma como sendo 77,70cm2 e o desvio padrão como sendo = √77,70 = 8,8149cm. 
(Conferindo: a variância e o desvio padrão dos dados individuais são 79,71 e 8,928, respectivamente!)
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Exercício: medidas de posição e dispersão em dados agrupados
Num passado recente, a empresa XXX computou as seguintes estatísticas em termos de tempo gasto numa tarefa de produção:
Média = 12,2 hr; Mediana = 13,2hr; Moda = 14,5; Variância 8,21.
Você foi contratado como consultor para avaliar se o programa recente de treinamento de funcionários promoveu uma melhora nos tempos de execução da tarefa. 
Calcule as mesmas estatísticas baseando-se nos dados da tabela abaixo e compare com as obtidas anteriormente. Que conclusão você tira? 
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