Primeira Lista de Exercícios - Limites (Resolução)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Ca´lculo 1 - 1 a Lista de Exerc´ıcios - Soluc¸o˜es
Prof. Ce´sar Castilho
Enviar correc¸o˜es para castilho@dmat.ufpe.br
1 - Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→2
(
x2 − 4 x
)
= −4 .
b) lim
x→−1
(
x3 + 2 x2 − 3x− 4
)
= 0 .
c) lim
x→1
(3x− 1)2
(x+ 1)3
=
1
2
.
d) lim
x→0
3x − 3−x
3x + 3−x
=
30 − 30
30 + 30
=
1− 1
1 + 1
= 0 .
e) 1
3
.
f) lim
x→2
x2 − 4
x2 − 5x+ 6 = limx→2
(x− 2) (x+ 2)
(x− 2) (x+ 3) = limx→2
(x+ 2)
(x+ 3)
=
4
5
.
g) lim
x→−1
x2 + 3 x+ 2
x2 + 4 x+ 3
= lim
x→−1
(x+ 1) (x+ 2)
(x+ 1) (x+ 3)
= lim
x→−1
(x+ 2)
(x+ 3)
=
1
2
h) lim
x→2
x− 2
x2 − 4 = limx→2
x− 2
(x− 2) (x+ 2) = limx→2
1
(x+ 2)
=
1
4
.
i) lim
x→2
x− 2√
x2 − 4 = limx→2
√
x− 2√x− 2√
x− 2√x+ 2 = limx→2
√
x− 2√
x+ 2
= 0 .
j) lim
x→2+
√
x− 2
x2 − 4 = limx→2+
√
x− 2√
x− 2√x− 2 (x+ 2) = limx→2+
1√
x− 2 (x+ 2) = +∞ .
k) lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
= lim
h→0
x3 + 3 x2 h+ 3 xh2 + h3 − x3
h
= lim
h→0
h (3x2 + 3 xh+ h2)
h
=
= lim
h→0
(3x2 + 3 xh+ h2) = 3 x2 .
l) lim
x→1
x− 1√
x2 + 3− 2 = limx→1
(x− 1)
(
√
x2 + 3− 2)
(
√
x2 + 3 + 2)
(
√
x2 + 3 + 2)
= lim
x→1
(x− 1) (√x2 + 3 + 2)
(x2 − 1) =
= lim
x→1
(
√
x2 + 3 + 2)
(x+ 1)
= 2.
2 - Calcule os seguintes limites:
1) lim
x→3
x2 − 2x
x+ 1
=
3
4
2) lim
x→0
6x− 9
x3 − 12 x+ 3 = −3
3) lim
t→−2
t3 + 8
t+ 2
= lim
t→−2
(t+ 2) (t2 − 2 t+ 4)
t+ 2
= lim
t→−2(t
2 − 2 t+ 4) = 12 .
4) lim
t→−1
t3 + t2 − 5 t+ 3
t2 − 3 t+ 2 =
4
3
.
5) lim
x→4
x2 − 16
x− 4 = limx→4
(x− 4) (x+ 4)
x− 4 = 8 .
6) lim
x→2
x2 − 4x+ 4
x2 + x− 6 = limx→2
(x− 2)2
(x+ 3) (x− 2) = limx→2
(x− 2)
(x+ 3)
= 0 .
7)lim
t→1
t3 + t2 − 5 t+ 3
t3 − 3 t+ 2 = limt→1
(t− 1)2 (t+ 3)
(t− 1)2 (t+ 2) = limt→1
(t+ 3)
(t+ 2)
=
4
3
.
8) lim
x→3+
x
x− 3 = +∞ .
9) lim
x→1+
x4 − 1
x− 1 = limx→1+
(x− 1) (x3 + x2 + x+ 1)
x− 1 = limx→1+(x
3 + x2 + x+ 1) = 4 .
10) lim
y→6+
y + 6
y2 + 36
=
1
6
.
11) lim
x→4−
3− x
x2 − 2 x− 8 = limx→4−
3− x
(x− 4) (x+ 2) = +∞ .
12) lim
x→4+
3− x
x2 − 2x− 8 = limx→4+
3− x
(x− 4) (x+ 2) = −∞ .
13) lim
x→3−
1
|x− 3| = limx→3−
1
−(x− 3) = limx→3−
1
3− x = +∞ .
14)lim
y→4
4− y
2−√y = limy→4
(2−√y) (2 +√y)
2−√y = limy→4(2 +
√
y) = 4 .
15)lim
x→0
√
x+ 4− 2
x
= lim
x→0
(
√
x+ 4− 2)
x
(
√
x+ 4 + 2)
(
√
x+ 4 + 2)
= lim
x→0
1
(
√
x+ 4 + 2)
=
1
4
.
16)lim
x→0
√
x2 + 4− 2
x
= lim
x→0
(
√
x2 + 4− 2)
x
(
√
x2 + 4 + 2)
(
√
x2 + 4 + 2)
= lim
x→0
x
(
√
x2 + 4 + 2)
= 0 .
17) lim
x→0+
1
x
= +∞ .
18)lim
x→9
x− 9√
x− 3 = limx→9
(
√
x− 3) (√x+ 3)√
x− 3 = limx→9(
√
x+ 3) = 12 .
19) lim
x→0
(
1
x
− 1
x2
)
= lim
x→0
(
x− 1
x2
)
= −∞ .
20) lim
x→0+
(
1
x
− 1
x3
)
= lim
x→0+
(
x2 − 1
x3
)
= −∞ .
21) lim
x→pi−
1
x− pi = −∞ .
3- Calcule os seguintes limites:
1) lim
x→∞
3x+ 1
2 x− 5 = limx→∞
3x
2x
= lim
x→∞
3
2
=
3
2
.
2) lim
y→−∞
3
y + 4
= lim
y→−∞
3
y
= 0 .
3) lim
x→∞
1
x− 12 = limx→∞
1
x
= 0 .
4) lim
x→−∞
x− 2
x2 + 2 x+ 1
= lim
x→−∞
x
x2
= lim
x→−∞
1
x
= 0 .
5) lim
x→−∞
√
3x4 + x
x2 − 8 = limx→−∞
√
3 x4
x2
= lim
x→−∞
√
3 x2
x2
= lim
x→−∞
√
3 =
√
3 .
6) lim
x→∞
7− 6 x5
x+ 3
= lim
x→∞
−6x5
x
= lim
x→∞−6 x
4 = −∞ .
7) lim
x→∞
5x2 + 7
3 x2 − x = limx→∞
5x2
3x2
= lim
x→∞
5
3
=
5
3
.
8) lim
y→∞
2− y√
7 + 6 y2
= lim
y→∞
−y√
6 y2
= lim
y→+∞
−y√
6 |y| = limy→+∞
−1√
6
= −1
6
.
9) lim
x→∞
6− t3
7 t3 − 3 = limx→∞
−t3
7 t3
= lim
x→∞
−1
7
= −1
7
.
4- Calcule os seguintes limites:
1) lim
x→∞ cos(
1
x
) = 1 .
2) lim
h→0
sin(h)
2h
=
1
2
lim
h→0
sin(h)
h
=
1
2
.
3) lim
x→0
sin2(x)
3 x2
=
1
3
lim
x→0
(
sin(x)
x
sin(x)
x
)
=
1
3
lim
x→0
(
sin(x)
x
)
lim
x→0
(
sin(x)
x
)
=
1
3
.
4) lim
x→0
tan(7 x)
sin(3x)
= lim
x→0
1
cos(7x)
sin(7x)
sin(3x)
= lim
x→0
1
cos(7x)
(
7x
3x
) (
sin(7x)
7x
) (
3 x
sin(3x)
)
=
7
3
lim
x→0
1
cos(7x)
lim
x→0
(
sin(7x)
7 x
)
lim
x→0
(
3x
sin(3 x)
)
=
7
3
.
5) lim
x→0+
sin(x)
1− cos(h) = limx→0+
sin(x)
1− cos(h)
(1 + cos(h))
(1 + cos(h))
= lim
x→0+
sin(x) (1 + cos(h))
1− cos2(h) =
= lim
x→0+
sin(x) (1 + cos(h))
sin2(h)
= lim
x→0+
(1 + cos(h))
sin(h)
= +∞ .
6) lim
x→∞ sin(
2
x
) = 0 .
7) lim
θ→0
sin(3 θ)
θ
= lim
θ→0
3
sin(3 θ)
3 θ
= 3 lim
θ→0
sin(3 θ)
3 θ
= 3 .
8) lim
x→0+
sin(x)
5
√
x
=
1
5
lim
x→0+
sin(x)√
x
√
x√
x
=
1
5
lim
x→0+
√
x
sin(x)
x
=
1
5
lim
x→0+
√
x lim
x→0+
sin(x)
x
= 0 .
9) lim
θ→0
sin2(θ)
θ
= lim
θ→0
sin(θ)
sin(θ)
θ
= lim
θ→0
sin(θ) lim
θ→0
sin(θ)
θ
= 0 .
10) lim
θ→0
θ
cos(θ)
= 0 .
11) lim
x→∞ sin(
pi x
2− 3 x) = − sin(
pi
3
) = −
√
3
2
12) lim
θ→0+
sin(θ)
θ2
= lim
θ→0+
1
θ
sin(θ)
θ
= +∞ .
13) lim
x→0
sin(6x)
sin(8x)
= lim
x→0
8 x
6 x
6x
8x
sin(6x)
sin(8x)
=
6
8
lim
x→0
(
8 x
sin(8x)
)
lim
x→0
(
sin(6x)
6x
)
=
3
4
.
14) lim
h→0
h
tan(h)
= lim
h→0
cos(h)
h
sin(h)
= lim
h→0
cos(h) lim
h→0
h
sin(h)
= 1 .
15) lim
t→0
t2
1− cos2(t) = limt→0
t2
sin2(t)
= lim
t→0
t
sin(t)
t
sin(t)
= lim
t→0
t
sin(t)
lim
t→0
t
sin(t)
= 1 .
16) lim
x→0
x
cos(pi
2
− x) = limx→0
x
cos(pi/2) cos(x) + sin(pi/2) sin(x)
= lim
x→0
x
sin(x)
= 1 .
17) lim
h→0
1− cos(5h)
cos(7h)− 1 = limh→0
1− cos(5h)
cos(7h)− 1
(
1 + cos(5h)
1 + cos(5h)
) (
cos(7h) + 1
cos(7h) + 1
)
= lim
h→0
1− cos2(5h)
cos2(7h)− 1
(
cos(7h) + 1
1 + cos(5h)
)
= lim
h→0
sin2(5h)
sin2(7h)
(
cos(7h) + 1
1 + cos(5h)
)
.
= lim
h→0
sin2(5h)
sin2(7h)
lim
h→0
(
cos(7h) + 1
1 + cos(5h)
)
=
(
lim
h→0
sin(5h)
sin(7h)
)2
× 1 =
(
5
7
)2
=
25
49
.
18) lim
x→0
x2 − 3 sin(x)
x
= lim
x→0(x− 3
sin(x)
x
) = lim
x→0x− 3 limx→0
sin(x)
x
= −3 .
19) lim
x→0+
cos(
1
x
) = Na˜o existe.
20) lim
x→0
2 x+ sin(x)
x
= lim
x→0 2 + limx→0
sin(x)
x
= 2 + 1 = 3 .
5- Determine se a func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto c:
a) f(x) =
x− 1
x+ 1
c = −1 .
Como f(x) na˜o esta´ definida no ponto x = −1, f(x) na˜o pode ser cont´ınua neste
ponto.
b) f(x) =
x− 1
x+ 1
c = 3 .
Temos que lim
x→3+
f(x) =
1
2
, lim
x→3−
f(x) =
1
2
Como os limites sa˜o iguais a f(3) = 1
2
a
func¸a˜o e´ cont´ınua neste ponto.
c) f(x) = x sin(
1
x
) c = 0 .
Como f(x) na˜o esta´ definida no ponto x = −1, f(x) na˜o pode ser cont´ınua neste
ponto.
d) f(x) =
{
x2 se x ≤ 1
x se 1 < x
c = 1
Temos que lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
x2 = 1 e lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x = 1. Como os limites
laterais sa˜o iguais a f(1) = 1 a func¸a˜o e´ cont´ınua neste ponto.
e) f(x) =

x2 se x ≤ 1
2x se 1 < x
c = 1
Temos que lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
2x = 1 e lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x = 1. Como os limites
laterais sa˜o diferentes a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = 1.f) f(x) =

sin(x) se x ≤ pi
x− pi se pi < x
c = pi
Temos que lim
x→pi+
f(x) = lim
x→pi+
(x − pi) = 0 e lim
x→pi−
f(x) = lim
x→pi−
sin(x) = 0. Como os
limites laterais iguais a f(pi) = 0 a func¸a˜o e´ cont´ınua em x = pi.
g) f(x) =

2x+ 3 se x ≤ 4
7 + 16
x
se 4 < x
c = 4
Temos que lim
x→4+
f(x) = lim
x→4+
(7 +
16
x
) = 11 e lim
x→4−
f(x) = lim
x→4−
(2x+ 3) = 11. Como
os limites laterais sa˜o iguais a f(4) = 11 a func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 4.
6- Encontre um valor para a constante k, se poss´ıvel, que fara´ a func¸a˜o cont´ınua.
a) f(x) =

7x− 2 se x ≤ 1
k x2 se 1 < x
Para termos continuidade devemos ter que lim
x→1−
f(x) = lim
x→1+
f(x) isto e´
lim
x→1+
k x2 = lim
x→1−
(7x− 2) ,
k = 5 .
b) f(x) =

k x2 se x ≤ 2
2x+ k se 2 < x
Para termos continuidade devemos ter que lim
x→2−
f(x) = lim
x→2+
f(x) isto e´
lim
x→2+
(2 x+ k) = lim
x→2−
k x2 ,
4 + k = 4 k
e portanto
k =
4
3
.
7- Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
a) lim
x→0x cos(
50 pi
x
) = 0 .
Temos que
−|x| ≤ x cos(50 pi
x
)| ≤ |x|
e portanto
− lim
x→0 |x| ≤ limx→0 x cos(
50pi
x
)| ≤ lim
x→0 |x|
o que implica que lim
x→0x cos(
50 pi
x
) = 0 como desejado.
b) lim
x→0x
2 cos(
50 pi
x
1
3
) = 0 .
Temos que
−x2 ≤ x2 cos(50pi
x
1
3
)| ≤ x2
e portanto
− lim
x→0 x
2 ≤ lim
x→0x
2 cos(
50 pi
x
1
3
)| ≤ lim
x→0x
2
o que implica que lim
x→0x
2 cos(
50 pi
x
1
3
) = 0 como desejado.