Aula 8 - Introdução à Probabilidade

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Introdução à Probabilidade
Referências: 
	BUSSAB e MORETTIN, Cap. 5.
	WEBSTER, Cap. 4.
	
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Introdução à Probabilidade
É possível prever com certa segurança o resultado futuro de uma decisão feita hoje num contexto de incerteza? 
A probabilidade nos ajuda em questões desse tipo, minimizando riscos.
Como a probabilidade pode ser medida?
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Experimentos, Resultados e Conjuntos
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Definições Importantes
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Definições Importantes
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Aproximações para a probabilidade
A probabilidade é de grande importância nos negócios: no cálculo de taxas de seguro; na estimativa do potencial de erros num processo produtivo; nos experimentos de todos os tipos para se testar novos métodos, produtos, remédios, vacinas, etc.
Como saber ou nos aproximar dos resultados de probabilidade? Há três formas: 
Frequência relativa (ou posterior)
Aproximação subjetiva 
Probabilidade clássica (ou anterior)
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Frequência Relativa
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Frequência Relativa
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Aproximação subjetiva
A aproximação subjetiva usa o melhor conjunto de informações disponíveis para se fazer o cálculo da probabilidade. 
Muitas vezes, a aproximação subjetiva nada mais é do que uma conjectura. 
Ela é usada quando se quer associar probabilidades a um evento que jamais ocorreu. 
Exemplo: qual a probabilidade de que uma mulher venha a ser presidente dos EUA nos próximos 10 anos ?
Neste caso, como não há dados do passado, devemos fazer a avaliação com base em nossas crenças e opinões para obter uma estimativa subjetiva. 
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Probabilidade Clássica
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Uniões, intersecções e relações entre enventos
Um conjunto é qualquer coleção de objetos. 
Nos seguintes casos precisamos identificar como dois conjuntos estão relacionados para encontrar a probabilidade em questão:
Qual a probabilidade de se sortear um aluno da UFU e ele ser um aluno de RI e participar da empresa junior?
Qual a probabilidade do Brasil ganhar uma medalha de ouro na natação e na ginástica olímpica em 2016?
Qual a probabilidade de você se formar em 3 anos e ir trabalhar na área?
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Diagrama de Venn
Ferramenta útil para ilustrar a relação entre dois conjuntos.
John Venn (1834-1923) foi um matemático inglês.
 C B 
 A
 
Área sobreposta: A∩B (lê-se A intersecção B).
Para A∩B ocorrer, ambos A e B devem ocorrer.
Os eventos A e B são, neste caso, associados.
Já a união de A e B (AUB) consiste em todos os elementos que estão somente em A, somente em B e em ambos.
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Como os eventos se relacionam?
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Como os eventos se relacionam?
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Como os eventos se relacionam?
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Tabelas de Contingência e de Probabilidade
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Tabelas de contingência e de probabilidade são muito úteis para o cálculo da probailidade de eventos.
Exemplo: considere uma turma de introdução à estatística com 40 alunos, todos com idade de 16 à 19 anos completos.
 A Tabela A é uma tabela de contingência que mostra a distribuição dos alunos segundo idade e sexo.
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Tabelas de Contingência e de Probabilidade
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A Tabela B é uma tabela de probabilidades construída a partir dos dados da Tabela A: cada célula da Tabela A, contendo as frequências dos alunos segundo idade e sexo, foi dividida pelo número total de alunos da turma 40.
Os valores nas margens da tabela são chamados de probabilidades marginais.
Exemplos de uso das probabilidades marginais: a probabilidade de se selecionar um aluno homem aleatoriamente é 0,375 e a probabilidade de se selecionar um aluno com idade de 17 anos é 0,4.
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Tabelas de Contingência e de Probabilidade
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As células do corpo principal da tabela nos dão a probabilidade conjunta de dois eventos, isto é, a intersecção de dois eventos. Ex: P(M∩16)=0,025. 
A probabilidade marginal é obtida somando-se as probabilidades conjuntas da linha ou coluna correspondente. Exs:
P(M)= P(M∩16) + P(M∩17) + P(M∩18) + P(M∩19)=0,625. 
P(16) = P(M∩16) + P(H∩16) = 0,075
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Probabilidade Condicional
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Regra da Multiplicação
Determinar a probabilidade do evento conjunto P(A∩B): a regra para o cálculo de P(A∩B) irá variar confrome os eventos sejam DEPENDENTES ou INDEPENDENTES.
Se A e B forem independetes, então:
P(A/B)=P(A) 
P(B/A)=P(B)
E também, se A e B forem independetes:
P(A∩B)=P(A).P(B)
Se A e B forem dependentes, então:
P(A∩B)=P(A).P(B/A)
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Regra da Adição
A regra da adição é usada para determinar a probabilidade do evento A ou o evento B ocorrer: P(AUB).
Quando os eventos não são mutuamente exclusivos, eles podem ocorrer ao mesmo tempo, assim:
P(AUB)=P(A) + P(B) – P(A∩B)
Neste caso, subtrai-se a probabilidade conjunta para que não haja dupla contagem.
Quando os eventos são mutuamente exclusivos, então: P(A∩B)=0 e P(AUB)=P(A) + P(B).
Há casos em que precisamos usar as duas regras, multiplicação e adição. Exemplo: iremos lançar 3 vezes uma moeda. Qual a probabilidade de obtermos duas caras?
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Exercícios
Iremos lançar 3 vezes uma moeda. Qual a probabilidade de obtermos duas caras?
Há três formas em que o evento pode ocorrer:
P(Ca, Ca, Co) = ½ . ½ . ½ =1/8
P(Ca, Co, Ca) = ½ . ½ . ½ =1/8
P (Co, Ca, Ca) = ½ . ½ . ½ =1/8
= 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8.
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Exercícios
Você pleitou uma vaga para estágio na ONU ciente de que, se o aceitarem, poderá ser enviado a 10 países diferentes. Destes, 3 ficam na Ásia, 4 na África e 3 no Leste Europeu. Em 2 dos países asiáticos, existem conflitos políticos, enquanto há 3 na África e 2 no Leste Europeu nesta situação. Nos países com conflitos políticos, alguns tem alto risco de entrarem em guerra civil: 1 na Ásia, 2 na África e 2 no Leste Europeu. Se o ser perfil for aceito para o estágio, seu local de trabalho será escolhido por sorteio aleatório jnto com o dos demais selecionados. Nestas codições, calcule as seguintes probabilidades:
Ir para a Ásia numa região com conflito político
Ir para uma região com conflito político e risco de guerra civil
Ir para um país do Leste Europeu sem conflito político
Ir para a África num país com conflito político e risco de guerra civil
Exercícios Webster: 1, 4, 7 , 9, 13.
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Exercícios
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