Aula 12 -Variáveis aleatórias contínuas_nova

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Variáveis aleatórias contínuas
Referências: 
Bussab e Morettin, Cap. 7. 
Webster, Cap.5
Variáveis aleatórias contínuas 
Já foi visto que uma variável aleatória contínua pode assumir infinitos valores dentro de um determinado intervalo, com probabilidade de assumir qualquer um dos valores igual a zero. 
Uma definição mais formal é: uma função X, definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo valores num intervalo de números reais, é dita uma variável aleatória contínua.
Contrariamente ao que ocorre no caso das variáveis aleatórias discretas, o cálculo das probabilidades que envolvem variáveis aleatórias contínuas não pode ser feito a partir do valor da função de probabilidade no ponto, isto é P(X=x). É preciso usar uma estratégia para a obtenção das probabilidades de interesse por meio de intervalos. Isto é, calcula-se P(a ≤ X ≤ b), sendo a < b, com o auxílio da função densidade de probabilidade. 
Vamos ver a definição da função densidade de probabilidade por meio de um exemplo.
Variáveis aleatórias contínuas
Exemplo: o ponteiro dos segundos de um relógio pode parar a qualquer instante, devido a defeito ou término de pilha. Seja X o ângulo que este ponteiro forma com o eixo imaginário que sai do centro e vai até o número 12. 
Se o relógio foi do tipo mecânico, o ponteiro dos segundos dá 60 “saltos” para completar uma volta, cada salto igual a 6 graus (a volta completa =360 graus). 
Se o ponteiro pode parar em qualquer ponto com a mesma probabilidade, então, neste caso, X é uma variável discreta com distribuição uniforme. 
 
Variáveis aleatórias contínuas 
Função densidade de probabilidade
Por meio da divisão do intervalo [0º, 360º) em pequenos subintervalos, pode-se construir um histograma para as probabilidades da v.a. X. Fazendo com que esses intervalos tendam a zero, pode-se construir o “histograma alisado” da variável X, como na figura abaixo.
Lembrando que a área total do histograma é igual à um.
A área correspondente ao intervalo [a, b) deve indicar a probabilidade de X estar entre a e b. 
Função densidade de probabilidade
Função densidade de probabilidade
Valor médio de uma variável aleatória contínua 
Valor médio de uma variável aleatória contínua 
Valor médio e variância de uma variável aleatória contínua 
Valor médio e variância de uma variável aleatória contínua 
Valor médio e variância de uma variável aleatória contínua 
Calcule agora as variâncias para o exemplo 1 e 2! 
Função de Distribuição Acumulada
Função de Distribuição Acumulada
Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas 
Modelos mais importantes:
O modelo uniforme
O modelo Normal
O modelo Exponencial
Aproximação Normal para a Binomial
Outros modelos importantes:
Gama
Qui-quadrado
t de Student
F de Snedecor
O Modelo Uniforme 
O Modelo Uniforme 
Gráfico da fdp:	
Gráfico da fda:					
Para quaisquer valores c e d, com c < d, tem-se: 
P(c < X <d) = F(d) - F(c)
Usa-se a notação X~U(a,b) para indicar que a v.a. X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b].
O Modelo Normal
Modelo fundamental em probabilidade e estatística!
O Modelo ou Distribuição Normal e suas derivadas são as distribuições mais utilizadas em estatística e econometria.
A distribuição Normal:
Simplifica os cálculos de probabilidade.
É muito usada para conduzir inferência em estatística e econometria, mesmo quando a população básica não for necessariamente normal.
Ela é chamada também de distribuição Gaussiana, em homenagem a C. F. Gauss, que por volta de 1810 identificou a distirbuição em seus trabalhos sobre erros de observações astronômicas. 
Muitas variáveis aleatórias parecem seguir uma distribuição Normal. Ex: altura e peso dos indivíduos de uma população; resultados de provas; índices de desemprego municipais etc. Esses são exemplos de variáveis que possuem uma fundação de distribuição de probabiliade aproximadamente Normal.
A variável “renda”, porém, não é distribuída simetricamente em torno de algum valor, mas inclinada em direção à extremidade superior (exibe assimetria à direita). 
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O Modelo Normal
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O Modelo Normal
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O Modelo Normal
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A distribuição Normal Padrão
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A distribuição Normal Padrão
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Propriedades da Normal
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Função de distribuição cumulativa normal padrão
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A função distribuição cumulativa da normal padrão é representada por F(z) e é obtida como a área sob f(z). À esquerda de z: F(z)=P(Z ≤ z).
Como Z é contínua, F(z)=P(Z ≤ z) também é contínua.
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A distribuição Normal Padrão
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O cálculo de F(Z)
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Exercícios
Como exercício, e usando a Tabela III de Bussab e Morettin (2012), calcule as seguintes probabilidades:
P(Z > 0,44)
2) P(Z < -0,92)
3) P(-1 < Z ≤ 0,5)
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Respostas exercícios
Respostas:
P(Z > 0,44) = 0,33
2) P(Z < -0,92) = P(Z > 0,92) = = 0,179.
3) P(-1 < Z ≤ 0,5) = 0,533.
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Propriedades da distribuição Normal
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Exemplo
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Exercícios:
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Aproximação Normal para a Binomial
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Aproximação Normal para a Binomial
Qual curva Normal usar? 
Média da binomial em questão = np= 5
Variância = np(1-p)=2,5
Aproximar o cálculo por meio da curva normal N(5, 2,5)
Chamando de X o valor da variável com distrbuição Normal:
 P(Y ≥ 7)=P(X ≥ 6,5)*
* Quando se usa uma distirbuição contínua para estimar a probabilidade de uma v.a. discreta, é necessário um ajuste chamado de fator de correção de continuidade: como no caso contínuo não se calcula a probabilidade no ponto P(X=7), trabalha-se com um intervalo aproximado: 
P(Y=7)≈P(6,5≤ X ≤ 7,5)
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Aproximação Normal para a Binomial
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Exercícios
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