Lista 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Ca´lculo 1 - 2 a Lista de Exerc´ıcios
1 - Calcule dy
dx
:
a) y = x2 − 4x e) y = 1
d
(
a x3 − 1
b
x+ c
)
i) y = pi3
b) y = −5x12 f) y = 7 x−6 − 5x−2 j) y = x 13 + 3 x 57
c) y = 2 x9 − 3 x+ 2 g) y = x−2 + 5
x6
k) y =
x2 + 1
x
+
1
x3
d) y =
√
2 x− 1
x
h) y =
x3 + 3 x7
x2
l) y = (
1
x
+
1
x8
) (3x2 + 27)
2- Calcule d
2y
dx2
:
1) y = 7 x3 − 5 x2 + x 4) y = (5 x2 − 3) (7 x3 + x) 7) y = xa + 2 xb
2) y =
x+ 1
x
5) y =
1
x
− 1
x2
8) y = (x2)7 − 2 (x7)3
3) y =
3x− 2
5x
6) y = x
2
3 − x−3 9) y = 1
x
+
1
xa
3- Calcule y′:
1) y = (x2 − 3) (x5 − 2 x− 3) 6) y = (x+ 1) (x7 − 5x+ 1) (x3 − 2 x2 − 3)
2) y =
(x2 − 3)
(x5 − 2x− 3) 7) y =
x2 + 3
x3 − x2+3
x5+2x−1
3) y =
(x5 − 2x− 3)
(x2 − 3) 8) y =
1
1 + 1
2x−1
4) y =
(x5 − 2x− 3)
(x2 − 3)3 9) y =
x−2 + 2 x3 − 2
1 + 3 x−3 + x2
5) y =
(x2 − 3)3
(x5 − 2x− 3) 10) y =
1
1− 1
1+ 1
1− 1x
4- Resolva os seguintes problemas:
a) Ache uma func¸a˜o y = a x2+b x+c cujo gra´fico tem um intercepto x de 1, um intercepto
y de -2 e tem uma reta tangente com inclinac¸a˜o de -1 no intercepto y.
b) Ache k se a reta y = x2 + k e´ tangente a` reta y = 2 x
c) Ache a coordenada x do ponto sobre o gra´fico de y = x2 no qual a reta tangente
e´ paralela a` reta secante que corta a curva em x = −1 e x = 2.
d) Ache as coordenadas dos pontos sobre o gra´fico de y = 2 x3 − x2 + 1 nos quais as
retas tangentes sa˜o paralelas a` reta secante que corta a curva em x = 1 e x = 4.
e) Ache as coordenadas de todos os pontos sobre o gra´fico de y = 1 − x2 nos quais a
reta tangente passa pelo ponto (2, 0).
f) Mostre que qualquer par de retas tangentes a` para´bola y = a x2, a 6= 0, intercepta-se
num ponto que esta´ sobre uma reta vertical passando pelo ponto me´dio dos pontos de
tangeˆncia.
g) Seja L a reta tangente ao gra´fico de y = a x3 + b x em x = x0. Ache a coorde-
nada x do ponto onde L intercepta o gra´fico uma segunda vez.
h) Mostre que o segmento de reta tangente ao gra´fico de y = 1
x
que e´ cortado fora
pelos eixos coordenados e´ bissectado pelo ponto de tangeˆncia.
i) Mostre que o triaˆngulo formado por qualquer reta tangente ao gra´fico de y = 1
x
e
pelos eixos coordenados tem uma a´rea de 2 unidades quadradas.
j) Ache as condic¸o˜es sobre a, b, c e d para que o gra´fico do polinoˆmio f(x) = a x3 +
b x2 + c x+ d tenha:
i) exatamente duas tangentes horizontais.
ii) exatamente uma tangente horizontal.
iii) na˜o tenha tangentes horizontais.