Lista de Exercícios - Limites

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO I - A´REA II- 2007/2
LISTA DE EXERCI´CIOS No. 1
1. Determine o limite caso exista.
1) lim
x→0
|3 + x| − |x| − 3
x
2) lim
x→0
[x]
|x|
3) lim
t→3
t2 − 9
t2 − t− 6 4) limx→−3
x2 + 5x+ 6
x2 − x− 12
5) lim
y→−2
√
y2 − 4
y2 − 3y − 10 6) limx→0
(x+ 1)
1
3 − 1
x
7) lim
x→0
[x] + [1− x] 8) lim
x→0
1−√1 + x
x
9) lim
x→1
f(x); f(x) =
{
x2 + 3 ;x ≤ 1
x+ 2 ;x > 1
10) lim
x→8
√
2 + x1/3 − 2
x− 8
11) lim
x→1
[x]− 1
[−x] + 1 12) limx→+∞
3x2
9− x2
13) lim
x→+∞
x√
x2 + 4
14) lim
x→−∞
−2x√
x2 − 2
15) lim
x→−∞
(6− x3)1/3
2x
16) lim
x→+∞
|2x− 1|+ 1
|1− x|
17) lim
x→0
sin 4x
sin 8x
18) lim
x→0
1− cos 3x
x2
19) lim
x→pi
2
sin cosx
cosx
20) lim
x→2
sin(4− x2)
x− 2
OBS: [.] = func¸a˜o maior inteiro.
2. Analise a continuidade das seguintes func¸o˜es:
1)f(x) =

x− 3
|x− 3| ;x 6= 3
0 ;x = 3
2)f(x) =
{
x2 − 4 ;x ≤ 2
x ;x > 2
3)f(x) =

2x+ 1 ;x ≤ 1
4− x ; 1 < x < 2
x = 1 ; 2 ≤ x
3. Determine constantes c e k para que a func¸a˜o f seja cont´ınua.
1)f(x) =
 x
2 − 1
x+ 1
;x 6= −1
k ;x = −1
2)f(x) =
{
1 + kx ;x ≤ 2
kx2 − 3 ;x > 2
3)f(x) =

x+ 2c ;x < −2
3cx+ k ;−2 ≤ x ≤ 1
3c− 2k ; 1 < x
4. Usando a definic¸a˜o de limite mostre que:
1) lim
x→2
x3 = 8 2) lim
x→1
(x2 + 2x+ 1) = 3
3) lim
x→2
√
x+ 2 = 2 4) lim
x→1
1
x2 − 1 = +∞
5. Determine a derivada das seguintes func¸o˜es:
1)f(x) = x3 − 2x2 + x− 5 2)f(x) = (x2 − x+ 1)4
3)f(x) =
4
7x2 + 3x− 2 4)f(x) =
(
x+ 1
x− 1
)2
5)f(x) =
2 + cosx
2− cosx 6)f(x) = x tan
2 2x
7)f(x) = cos
√
sin2 x+ 1 8)f(x) =
x3 − 1
cosx
9)f(x) =
cosx
sinx+ 1
10)f(x) =
[
sin(x2 +
√
x)− cos(x2 −√x)]4
11)f(x) = sin[sin(sinx)] 12)f(x) =
√√√
x
6. Seja f(x) = (ax + b) cosx + (cx + d) sinx. Determine as constantes a, b, c, d para que
f ′(x) = x cosx.
7. Determine a reta tangente e reta normal da func¸a˜o f no ponto dado:
1)f(x) = x2 + x− 1; (1, 1) e (0,−1) 2)f(x) = 2x+ 1
x+ 1
; (0, 1) e (1,
3
2
)
3)f(x) =
1
cosx+ 1
; (0,
1
2
) e (
pi
2
, 1)
8. Considere a func¸a˜o dada por f(x) = x3 + 2x2 − x− 2.
(a) Determine os pontos onde a reta tangente e´ horizontal.
(b) Ache a reta tangente e normal no ponto (0,−2).
(c) Ache as retas tangentes que sa˜o paralelas a reta y = −2x+ 1.
(d) Determine os pontos tais que f(x) = 0 e calcule as derivadas nesses pontos. Usando
essa informac¸a˜o fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f .
9. Em cada um dos casos determine a derivada impl´ıcita:
1) x2 + y2 = 4 2)
1
x
+
1
y
= 2
3) cos(xy) + sin(xy) = 1 4) y2 + sin(y2 − 2y) = x
5)
x
y
+
y
x
= 1 6) (y + 1)2 + (y + 2)3 + (y + 3)4 = x
7)
√
x+ y +
√
xy +
√
y
x
= sinx 8) x3y2 = x3 − y3
10. Considere a circunfereˆncia dada pela equac¸a˜o x2 + 2x+ y2 + 2y = −1.
(a) Calcule y′.
(b) Determine a reta tangente nos pontos onde dita reta e´ paralela a y = −x.