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Lista de Exercícios - Derivadas

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO I - A´REA II
Lista de Exerc´ıcios No. 2
1. Use a derivac¸a˜o impl´ıcita para calcular a derivada y′.
a) tan(x+ y) =
x
1 + y2
b) sin(x+ y) =
x
y2
c)
√
x+ y = x sin y2 d)ex
2y2 = x+ y2
2. Determine a reta tangente no ponto (1, 1) da curva dada pela equac¸a˜o x2 − xy2 =
y − 1.
3. Duas curvas C1 e C2 sa˜o ditas ortogonais no ponto (x0, y0) quando as retas tangentes
das curvas sa˜o ortogonais. Verifique que a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 e a famı´lia de curvas
y = Cx
a2
b2 sa˜o ortogonais.
4. Ache a ecuac¸a˜o da tangente ao gra´fico de f(x) = ln(tan 2x) no ponto x = pi
8
.
5. Seja f uma func¸a˜o duas vezes diferencia´vel em R. Se g(x) = f(sin2 pix
2
) e f ′(1) = 1,
determine g′′(1).
6. Se x5 + y5 = 5xy, achar y′′.
7. Calcule y′ e y′′, onde y e´ definido implicitamente pela equac¸a˜o 2x2 + y2 = 2.
8. Calcule y′, y′′ e y′′′ para a curva definida por x2 − y2 = 1.
9. Determine f (n) se f(x) e´ definido por:
(a) f(x) = ex sinx.
(b) f(x) = sin2(2x).
(c) f(x) =
x
x− 1.
(d) f(x) =
1
x2 − 3x+ 2.
(e) f(x) =
2x+ 1
x(x+ 1)
.
10. Determine f ′ e f ′′ se f(x) = xg(x2).
11. Suponha que F (x) = f(x)g(x). Mostre que
(a) F ′′ = f ′′ + 2f ′g′ + g′′.
(b) F ′′′ = f ′′′g + 3f ′′g′ + 3f ′g′′ + fg′′′.
(c) F (n) =
n∑
k=0
(
n
k
)
f (n−k)g(k), onde f (0) = f e g(0) = g.
12. Derive as seguintes func¸o˜es:
a) y =
ln |x|
x3
b) y = xlnx c) y = (ln x)cosx
d) y = ln | lnx| e) y = x 1x f) y = xex
g) y =
(lnx)x
xlnx
h) y = (sin x)cosx + (cos x)sinx i) y = xe
x
j) y = xx
x
k)y = (arctan x)x k) y = xx
2(x+1)
13. Encontre os pontos cr´ıticos da func¸a˜o:
a) f(x) = 2x3 − 2x2 − 16x+ 1 b) f(x) = (x2 − 4)2/3
c) f(x) =
x
x2 − 4 d) f(x) = (x
3 − 3x2 + 4)1/3
14. Encontre as dimenso˜es do cilindro circular reto de maior volume poss´ıvel que pode
ser inscrito numa esfera de raio 6 cm.
15. Dada a circunfereˆncia x2 + y2 = 9 encontre a menor e maior distancia do ponto
(4, 5) a` circunferencia.
16. Um fabricante tem um lucro de R$ 20,00 por cada unidade se forem produzidos no
ma´ximo 800 unidades. O lucro decresce 20 centavos por cada unidade que ultrapasse
800. Quantas unidades devem ser produzidas por semana para se obter o ma´ximo
lucro.
17. Entre todos os retaˆngulos com area 1. Qual tem o menor per´ımetro?
18. Encontre os pontos da para´bola y = x2 mais pro´ximos de (0,1).
19. Encontre as dimenso˜es de um triaˆngulo iso´sceles de maior a´rea que pode ser inscrito
num ciculo de raio r.
20. Encontre a a´rea do maior retaˆngulo que pode ser inscrito na elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
21. Mostre usando o teorema de Rolle que a equac¸a˜o x3+2x+ c na˜o pode ter mais que
uma raiz real.
22. Use o Teorema de Rolle para demonstrar que a equac¸a˜o 4x5 + 3x3 + 3x − 2 tem
exatamente uma raiz no itervalo (0, 1).
23. Achar os valores ma´ximo e mı´nimo no intervalo.
a)f(x) = −x2 + 16, x ∈ [−1, 4] b)f(x) = x4 − 81x, x ∈ [−1, 1]
24. Achar os ma´ximos e mı´nimos locais e absolutos das func¸o˜es no intervalo [0, 2pi].
a)f(x) = sin x+ cos2 x b)f(x) = cos2 x
c)f(x) = tanx− 3x c)f(x) = 2 sec x− tan x
25. Determine o intervalo onde as func¸o˜es sa˜o crescentes ou decrescentes
a)f(x) = −x3 + 12x+ 1 b)f(x) = sin x+ cos x
c)f(x) = x3 − 3x2 + 2 d)f(x) = x2e−x
26. Use a regra de L’Hoˆspital para calcular os limites.
a) lim
x→1
xn − 1
xm − 1 b) limx→0
e2x − 1
x
c) lim
x→0
ln senx
ln x
d) lim
x→+∞
lnx
x3
e) lim
x→+∞
x4 + 1
3x
f) lim
x→+∞
x sin(
1
x
)
g) lim
x→0+
x1/2 lnx h) lim
x→0+
xx
3
i) limx→0+ sinx ln x
27. Esboc¸ar o gra´fico das seguintes func¸o˜es.
a)f(x) =
x2 − 4
(x− 2)2 b)f(x) =
2x
x+ 4
c)f(x) =
x2√
x+ 1
d)f(x) = sin x+ cos x e)f(x) = x1/3
√
9− x2;−3 ≤ x ≤ 3 f)f(x) = x+ 2 cos x
g)f(x) = x2 +
1
x− 1 h)f(x) =
x3 + 1
x2 − 1 i)f(x) =
x− 2
x+ 2
28. Joga-se uma pedra num lago de a´guas tranqu¨ilas formando-se ondas conceˆntricas.
Se o raio da regia˜o cresce a raza˜o de 16 cm/seg, com que raza˜o cresce a a´rea da
regia˜o quando seu raio e´ de 4 cm?
29. Um carro viaja a uma velocidade de 15 m/seg em linha reta ate´ um ponto de onde
se deve lanc¸ar um foguete. Quando o carro esta a 90m do lugar de lanc¸amento o
foguete comec¸a a subir e sua altura e´ dada por y = 4
25
t3m. Uma pessoa dentro do
carro esta fotografando o foguete. Com que rapidez muda o angulo de elevac¸a˜o da
caˆmera quando t = 5 seg?

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