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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE CA´LCULO I - A´REA II Lista de Exerc´ıcios No. 2 1. Use a derivac¸a˜o impl´ıcita para calcular a derivada y′. a) tan(x+ y) = x 1 + y2 b) sin(x+ y) = x y2 c) √ x+ y = x sin y2 d)ex 2y2 = x+ y2 2. Determine a reta tangente no ponto (1, 1) da curva dada pela equac¸a˜o x2 − xy2 = y − 1. 3. Duas curvas C1 e C2 sa˜o ditas ortogonais no ponto (x0, y0) quando as retas tangentes das curvas sa˜o ortogonais. Verifique que a elipse x2 a2 + y2 b2 = 1 e a famı´lia de curvas y = Cx a2 b2 sa˜o ortogonais. 4. Ache a ecuac¸a˜o da tangente ao gra´fico de f(x) = ln(tan 2x) no ponto x = pi 8 . 5. Seja f uma func¸a˜o duas vezes diferencia´vel em R. Se g(x) = f(sin2 pix 2 ) e f ′(1) = 1, determine g′′(1). 6. Se x5 + y5 = 5xy, achar y′′. 7. Calcule y′ e y′′, onde y e´ definido implicitamente pela equac¸a˜o 2x2 + y2 = 2. 8. Calcule y′, y′′ e y′′′ para a curva definida por x2 − y2 = 1. 9. Determine f (n) se f(x) e´ definido por: (a) f(x) = ex sinx. (b) f(x) = sin2(2x). (c) f(x) = x x− 1. (d) f(x) = 1 x2 − 3x+ 2. (e) f(x) = 2x+ 1 x(x+ 1) . 10. Determine f ′ e f ′′ se f(x) = xg(x2). 11. Suponha que F (x) = f(x)g(x). Mostre que (a) F ′′ = f ′′ + 2f ′g′ + g′′. (b) F ′′′ = f ′′′g + 3f ′′g′ + 3f ′g′′ + fg′′′. (c) F (n) = n∑ k=0 ( n k ) f (n−k)g(k), onde f (0) = f e g(0) = g. 12. Derive as seguintes func¸o˜es: a) y = ln |x| x3 b) y = xlnx c) y = (ln x)cosx d) y = ln | lnx| e) y = x 1x f) y = xex g) y = (lnx)x xlnx h) y = (sin x)cosx + (cos x)sinx i) y = xe x j) y = xx x k)y = (arctan x)x k) y = xx 2(x+1) 13. Encontre os pontos cr´ıticos da func¸a˜o: a) f(x) = 2x3 − 2x2 − 16x+ 1 b) f(x) = (x2 − 4)2/3 c) f(x) = x x2 − 4 d) f(x) = (x 3 − 3x2 + 4)1/3 14. Encontre as dimenso˜es do cilindro circular reto de maior volume poss´ıvel que pode ser inscrito numa esfera de raio 6 cm. 15. Dada a circunfereˆncia x2 + y2 = 9 encontre a menor e maior distancia do ponto (4, 5) a` circunferencia. 16. Um fabricante tem um lucro de R$ 20,00 por cada unidade se forem produzidos no ma´ximo 800 unidades. O lucro decresce 20 centavos por cada unidade que ultrapasse 800. Quantas unidades devem ser produzidas por semana para se obter o ma´ximo lucro. 17. Entre todos os retaˆngulos com area 1. Qual tem o menor per´ımetro? 18. Encontre os pontos da para´bola y = x2 mais pro´ximos de (0,1). 19. Encontre as dimenso˜es de um triaˆngulo iso´sceles de maior a´rea que pode ser inscrito num ciculo de raio r. 20. Encontre a a´rea do maior retaˆngulo que pode ser inscrito na elipse x2 a2 + y2 b2 = 1. 21. Mostre usando o teorema de Rolle que a equac¸a˜o x3+2x+ c na˜o pode ter mais que uma raiz real. 22. Use o Teorema de Rolle para demonstrar que a equac¸a˜o 4x5 + 3x3 + 3x − 2 tem exatamente uma raiz no itervalo (0, 1). 23. Achar os valores ma´ximo e mı´nimo no intervalo. a)f(x) = −x2 + 16, x ∈ [−1, 4] b)f(x) = x4 − 81x, x ∈ [−1, 1] 24. Achar os ma´ximos e mı´nimos locais e absolutos das func¸o˜es no intervalo [0, 2pi]. a)f(x) = sin x+ cos2 x b)f(x) = cos2 x c)f(x) = tanx− 3x c)f(x) = 2 sec x− tan x 25. Determine o intervalo onde as func¸o˜es sa˜o crescentes ou decrescentes a)f(x) = −x3 + 12x+ 1 b)f(x) = sin x+ cos x c)f(x) = x3 − 3x2 + 2 d)f(x) = x2e−x 26. Use a regra de L’Hoˆspital para calcular os limites. a) lim x→1 xn − 1 xm − 1 b) limx→0 e2x − 1 x c) lim x→0 ln senx ln x d) lim x→+∞ lnx x3 e) lim x→+∞ x4 + 1 3x f) lim x→+∞ x sin( 1 x ) g) lim x→0+ x1/2 lnx h) lim x→0+ xx 3 i) limx→0+ sinx ln x 27. Esboc¸ar o gra´fico das seguintes func¸o˜es. a)f(x) = x2 − 4 (x− 2)2 b)f(x) = 2x x+ 4 c)f(x) = x2√ x+ 1 d)f(x) = sin x+ cos x e)f(x) = x1/3 √ 9− x2;−3 ≤ x ≤ 3 f)f(x) = x+ 2 cos x g)f(x) = x2 + 1 x− 1 h)f(x) = x3 + 1 x2 − 1 i)f(x) = x− 2 x+ 2 28. Joga-se uma pedra num lago de a´guas tranqu¨ilas formando-se ondas conceˆntricas. Se o raio da regia˜o cresce a raza˜o de 16 cm/seg, com que raza˜o cresce a a´rea da regia˜o quando seu raio e´ de 4 cm? 29. Um carro viaja a uma velocidade de 15 m/seg em linha reta ate´ um ponto de onde se deve lanc¸ar um foguete. Quando o carro esta a 90m do lugar de lanc¸amento o foguete comec¸a a subir e sua altura e´ dada por y = 4 25 t3m. Uma pessoa dentro do carro esta fotografando o foguete. Com que rapidez muda o angulo de elevac¸a˜o da caˆmera quando t = 5 seg?
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