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UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA II CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 PRIMEIRO EXERCI´CIO ESCOLAR SEGUNDO SEMESTRE DE 2005 06 de fevereiro de 2006 1a Questa˜o - 2a Questa˜o - 3a Questa˜o - 4a Questa˜o - Total - Nome leg´ıvel – Curso – Turma – ASSINATURA – OBS. 1: Entender o enunciado das questo˜es e´ parte integral da prova; os fiscais na˜o dara˜o informac¸o˜es complementares. OBS. 2: Assuma o valor do seguinte limite especial: lim x→0 sen(x) x = 1. OBS. 3: Na˜o e´ permitido usar a regra de L’Hoˆpital. 1. Determine o valor dos seguintes limites. Justifique sua resposta. a) (0.5 ponto) lim x→−1 sen(x + 1) x2 − 1 . Soluc¸a˜o : lim x→−1 sen(x + 1) (x + 1)(x− 1) = limx→−1 1 (x− 1) limx→−1 sen(x + 1) x + 1 = −1 2 lim x→−1 sen(x + 1) x + 1 , e fazendo x + 1 = h obtemos −1 2 lim x→−1 sen(x + 1) x + 1 = −1 2 lim h→0 sen(h) h = −1 2 . b) (0.5 ponto) lim x→0 √ x + 1− 1 x . Soluc¸a˜o : lim x→0 √ x + 1− 1 x = lim x→0 ( √ x + 1− 1)(√x + 1 + 1) x( √ x + 1 + 1) = lim x→0 x x( √ x + 1 + 1) = lim x→0 1√ x + 1 + 1 = 1 2 . c) (0.5 ponto) lim x→0+ √ x− 1 x . Soluc¸a˜o : Basta observar que quando x → 0+ o numerador de f(x) = √ x−1 x tende a −1 e o denominador tende a zero (positivamente), ou seja, torna-se cada vez mais pequeno. Portanto, lim x→0+ √ x− 1 x = −∞. d) (0.5 ponto) lim x→1 (x2 − 1) cos ( 1 x2 − 1 ) . Soluc¸a˜o : Primeiro notemos que 0 ≤ ∣∣∣∣(x2 − 1) cos ( 1 x2−1 )∣∣∣∣ = |x2 − 1| ∣∣∣∣ cos ( 1 x2−1 )∣∣∣∣ ≤ |x2 − 1|, logo lim x→1 (x2 − 1) cos ( 1 x2 − 1 ) = 0. Note que aqui usamos o Teorema do Confronto. 2. Considere a func¸a˜o: f(x) = ax + 1 , se x < 1, L , se x = 1, x2 − 1 , se x > 1. a) (1.0 ponto) Encontrar todos os valores de a e L para que exista lim x→1 f(x). Soluc¸a˜o : Para que lim x→1 f(x) exista deve–se ter lim x→1− f(x) = lim x→1+ f(x) Se x→ 1− enta˜o x < 1 e f(x) = ax + 1. Portanto, lim x→1− f(x) = lim x→1− ax + 1 = a + 1 Se x→ 1+ enta˜o x > 1 e f(x) = x2 − 1. Portanto, lim x→1+ f(x) = lim x→1+ x2 − 1 = 0 Da´ı, lim x→1− f(x) = lim x→1+ f(x)⇔ a + 1 = 0⇒ a=-1 b) (1.0 ponto) Encontre os valores de a e L tal que f seja cont´ınua em x = 1, e neste caso esboce o gra´fico de f . Soluc¸a˜o : Para que f seja cont´ınua em x = 1, deve existir lim x→1 f(x), o que, pelo item (a) so´ acontece se a = −1. Ale´m disso, L = f(1) = lim x→1 f(x) = 0 ⇒ L=0 Para a = −1 e L = 0, o gra´fico de f e´: - 6 @ @ @ @ @ � � �� p p p p p p p p p 3. (2.0 pontos) Seja f(x) = x 2 x+1 . Encontre a equac¸a˜o cartesiana da reta tangente l a` curva y = f(x) no ponto (1, 1/2) e determine o ponto de intersec¸a˜o de l com o eixo dos x. Soluc¸a˜o: A derivada da func¸a˜o f(x) e´ calculada usando a regra do quociente: f ′(x) = (x + 1)2x− x2 (x + 1)2 = x2 + 2x (x + 1)2 . Assim, a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico no ponto dado e´ igual a f ′(1) = 3/4 e portanto esta reta tangente tem equac¸a˜o y − 1 2 = 3 4 (x− 1) ou y = 3 4 x− 1 4 . A intersec¸a˜o com o eixo dos x e´ obtida fazendo y = 0; assim determinamos x = 1/3 e o ponto procurado e´ portanto (1/3, 0). 4. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es : a) (1.0 ponto) f(x) = tg(x) sec(x). Soluc¸a˜o : Temos que f(x) = sen(x) cos(x) 1 cos(x) = sen(x) cos(x) cos(x) , logo pela regra do quociente, do produto e como (cos(x))′ = −sen(x) e (sen(x))′ = cos(x), segue-se que f ′(x) = (sen(x)) ′ cos2(x)−sen(x)(cos(x) cos(x))′ cos4(x) = cos 3(x)+2 cos(x)sen2(x) cos4(x) = 1+sen 2(x) cos3(x) . b) (1.0 ponto) f(x) = e x 1+x2 . Soluc¸a˜o : Pela regra do quociente, f ′(x) = (e x)′ (1+x2)−ex (1+x2)′ (1+x2)2 = e x(1+x2)−ex(2x) (1+x2)2 , uma vez que (ex)′ = ex e (x2)′ = 2x. c) (1.0 ponto) f(x) = e x 2 + 1 2ex . Soluc¸a˜o : f ′(x) = ( e x 2 )′ + ( 1 2ex )′ = e x 2 + [(1) ′ e x−(ex)′] e2x = e x 2 − 1 2ex , desde que (ex)′ = ex. d) (1.0 ponto) f(x) = 3 √ x ex + 1 x . Soluc¸a˜o : f ′(x) = 3( √ x)′ ex + 3 √ x (ex)′ + (1) ′ x−(x)′ x2 = 3 1 2 √ x ex + 3 √ x ex − 1 x2 , desde que ( √ x)′ = 1 2 √ x .
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