Buscar

prova1_20052

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 5 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA II
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
PRIMEIRO EXERCI´CIO ESCOLAR
SEGUNDO SEMESTRE DE 2005
06 de fevereiro de 2006
1a Questa˜o -
2a Questa˜o -
3a Questa˜o -
4a Questa˜o -
Total -
Nome leg´ıvel –
Curso – Turma –
ASSINATURA –
OBS. 1: Entender o enunciado das questo˜es e´ parte integral da prova; os fiscais na˜o
dara˜o informac¸o˜es complementares.
OBS. 2: Assuma o valor do seguinte limite especial: lim
x→0
sen(x)
x
= 1.
OBS. 3: Na˜o e´ permitido usar a regra de L’Hoˆpital.
1. Determine o valor dos seguintes limites. Justifique sua resposta.
a) (0.5 ponto) lim
x→−1
sen(x + 1)
x2 − 1 .
Soluc¸a˜o : lim
x→−1
sen(x + 1)
(x + 1)(x− 1) = limx→−1
1
(x− 1) limx→−1
sen(x + 1)
x + 1
= −1
2
lim
x→−1
sen(x + 1)
x + 1
,
e fazendo x + 1 = h obtemos
−1
2
lim
x→−1
sen(x + 1)
x + 1
= −1
2
lim
h→0
sen(h)
h
= −1
2
.
b) (0.5 ponto) lim
x→0
√
x + 1− 1
x
.
Soluc¸a˜o : lim
x→0
√
x + 1− 1
x
= lim
x→0
(
√
x + 1− 1)(√x + 1 + 1)
x(
√
x + 1 + 1)
= lim
x→0
x
x(
√
x + 1 + 1)
=
lim
x→0
1√
x + 1 + 1
=
1
2
.
c) (0.5 ponto) lim
x→0+
√
x− 1
x
.
Soluc¸a˜o : Basta observar que quando x → 0+ o numerador de f(x) =
√
x−1
x
tende a −1
e o denominador tende a zero (positivamente), ou seja, torna-se cada vez mais pequeno.
Portanto,
lim
x→0+
√
x− 1
x
= −∞.
d) (0.5 ponto) lim
x→1
(x2 − 1) cos
(
1
x2 − 1
)
.
Soluc¸a˜o : Primeiro notemos que
0 ≤
∣∣∣∣(x2 − 1) cos
(
1
x2−1
)∣∣∣∣ = |x2 − 1|
∣∣∣∣ cos
(
1
x2−1
)∣∣∣∣ ≤ |x2 − 1|, logo
lim
x→1
(x2 − 1) cos
(
1
x2 − 1
)
= 0.
Note que aqui usamos o Teorema do Confronto.
2. Considere a func¸a˜o:
f(x) =


ax + 1 , se x < 1,
L , se x = 1,
x2 − 1 , se x > 1.
a) (1.0 ponto) Encontrar todos os valores de a e L para que exista lim
x→1
f(x).
Soluc¸a˜o : Para que lim
x→1
f(x) exista deve–se ter
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1+
f(x)
Se x→ 1− enta˜o x < 1 e f(x) = ax + 1. Portanto,
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
ax + 1 = a + 1
Se x→ 1+ enta˜o x > 1 e f(x) = x2 − 1. Portanto,
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
x2 − 1 = 0
Da´ı,
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1+
f(x)⇔ a + 1 = 0⇒ a=-1
b) (1.0 ponto) Encontre os valores de a e L tal que f seja cont´ınua em x = 1, e neste
caso esboce o gra´fico de f .
Soluc¸a˜o : Para que f seja cont´ınua em x = 1, deve existir lim
x→1
f(x), o que, pelo item (a)
so´ acontece se a = −1. Ale´m disso,
L = f(1) = lim
x→1
f(x) = 0 ⇒ L=0
Para a = −1 e L = 0, o gra´fico de f e´:
-
6
@
@
@
@
@
�
�
��
p p
p p
p
p
p
p
p
3. (2.0 pontos) Seja f(x) = x
2
x+1
. Encontre a equac¸a˜o cartesiana da reta tangente l a`
curva y = f(x) no ponto (1, 1/2) e determine o ponto de intersec¸a˜o de l com o eixo dos x.
Soluc¸a˜o: A derivada da func¸a˜o f(x) e´ calculada usando a regra do quociente:
f ′(x) =
(x + 1)2x− x2
(x + 1)2
=
x2 + 2x
(x + 1)2
.
Assim, a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico no ponto dado e´ igual
a f ′(1) = 3/4 e portanto esta reta tangente tem equac¸a˜o
y − 1
2
=
3
4
(x− 1) ou y = 3
4
x− 1
4
.
A intersec¸a˜o com o eixo dos x e´ obtida fazendo y = 0; assim determinamos x = 1/3 e
o ponto procurado e´ portanto (1/3, 0).
4. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es :
a) (1.0 ponto) f(x) = tg(x) sec(x).
Soluc¸a˜o : Temos que f(x) = sen(x)
cos(x)
1
cos(x)
= sen(x)
cos(x) cos(x)
, logo pela regra do quociente, do
produto e como (cos(x))′ = −sen(x) e (sen(x))′ = cos(x), segue-se que
f ′(x) = (sen(x))
′ cos2(x)−sen(x)(cos(x) cos(x))′
cos4(x)
= cos
3(x)+2 cos(x)sen2(x)
cos4(x)
= 1+sen
2(x)
cos3(x)
.
b) (1.0 ponto) f(x) = e
x
1+x2
.
Soluc¸a˜o : Pela regra do quociente, f ′(x) = (e
x)′ (1+x2)−ex (1+x2)′
(1+x2)2
= e
x(1+x2)−ex(2x)
(1+x2)2
, uma
vez que (ex)′ = ex e (x2)′ = 2x.
c) (1.0 ponto) f(x) = e
x
2
+ 1
2ex
.
Soluc¸a˜o : f ′(x) =
(
e
x
2
)′
+
(
1
2ex
)′
= e
x
2
+ [(1)
′
e
x−(ex)′]
e2x
= e
x
2
− 1
2ex
, desde que (ex)′ = ex.
d) (1.0 ponto) f(x) = 3
√
x ex + 1
x
.
Soluc¸a˜o : f ′(x) = 3(
√
x)′ ex + 3
√
x (ex)′ + (1)
′
x−(x)′
x2
= 3 1
2
√
x
ex + 3
√
x ex − 1
x2
, desde que
(
√
x)′ = 1
2
√
x
.

Outros materiais