prova 2 2003.1 cálculo I area II CIn UFPE

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO I - A´REA II
PRIMEIRO SEMESTRE — 2003
2o. EXERCI´CIO ESCOLAR
Observac¸a˜o: Na˜o pode usar calculadora.
1. Derive as seguinets func¸o˜es:
a) (1.0 ponto) f(x) = arcsen(x2) + 2x.
b) (1.0 ponto) f(x) = (2 + ex)arctan(x).
2. (1.0) Encontre o polinoˆmio de Taylor (de ordem 2) da func¸a˜o f(x) = 1
x−1 no ponto x = 0.
3. Considere a seguinte func¸a˜o:
f(x) =

2x3 + 3x2 − 12x− 1, x ≤ 0
1
x−1 , x > 0
.
a) (0.25 ponto) Determine o domı´nio ma´ximo da func¸a˜o f .
b) (0.25 ponto) Ache os pontos cr´ıticos de f .
c) (0.5 ponto) Determine os intervalos de crescrimento e decrescimento da func¸a˜o f .
d) (0.5 ponto) Encontre o(s) ponto(s) de ma´ximo local(is), mı´nimo local(is) da func¸a˜o f (caso
existam).
e) (0.5 ponto) Determine o (os) intervalo(s) onde a func¸a˜o f e´ coˆncava para cima e onde e´
coˆncava para baixo e encontre o(os) ponto(s) de inflexa˜o (caso existam).
f) (0.5 ponto) Determine (caso existam) ass´ıntotas verticais, horizontais e obl´ıquas.
g) (1.0 ponto) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f levando em conta toda a informac¸a˜o obtida nos
items anteriores.
4. a) (1.0 ponto) Encontre dois nu´meros tal que sua soma seja 100 e seu produto seja ma´ximo.
b) (1.5 ponto) Qual e´ a menor distaˆncia do ponto (0, 1) a um ponto da para´bola y = x2 − 1 ?
5. Calcule os seguintes limites:
a) (0.5 ponto) lim
x→+∞
√
x− 1
x+ 4
.
b) (0.5 ponto) lim
x→0+
sen(x) ln(sen(x)).
c) (1.0 ponto) lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x3
.
BOM TRABALHO !!!