Apostila - Vetores

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1
C A P Í T U L O
Vetores
Sem dúvida você já se deparou com a notação de vetores em seus estudos 
de cálculo, assim como na física e na engenharia. Para a maioria de vocês, 
então, este capítulo é uma revisão de tópicos familiares, como os produtos 
escalar e vetorial. Entretanto, na Seção 1.6, consideraremos uma abstração 
do conceito de vetores.
Descrição do capítulo
1.1 Vetores em duas dimensões
1.2 Vetores em três dimensões
1.3 Produto escalar
1.4 Produto vetorial
1.5 Retas e planos em três dimensões
1.6 Espaços vetoriais
1.7 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
 Exercícios de revisão
20 CAPÍTULO 1 Vetores
 1.1 Vetores em duas dimensões
Introdução � Em ciências, na matemática e na engenharia, distinguimos duas 
quantidades importantes: escalares e vetores. Um escalar é simplesmente uma quan-
tidade ou um número real que tem magnitude. Por exemplo, comprimento, tempe-
ratura e pressão sangüínea são representados por números tais como 80 m, 20oC e 
a razão sistólica/diastólica 120/80. Um vetor, por outro lado, é usualmente descrito 
como uma quantidade que tem tanto magnitude como direção.
Vetores geométricos � Geometricamente, um vetor pode ser representado por um 
segmento de reta direcionado – isto é, por uma seta – sendo denotado por um símbolo 
em negrito ou um símbolo com uma seta sobre ele, por exemplo, v, ou . Exem-
plos de quantidades vetoriais mostradas na Figura 1.1 são o peso w, a velocidade v e 
a força de atrito Ff.
(b)
v
(c)(a)
w w
Ff
Figura 1.1 Exemplos de quantidades vetoriais.
Notação e terminologia � Um vetor cujo ponto inicial (ou extremidade) for A e 
cujo ponto terminal (ou ponta) for B é escrito como . A magnitude do vetor é 
. Dois vetores com a mesma magnitude e a mesma direção são ditos ser iguais. 
Portanto, na Figura 1.2, temos � . Vetores são livres, o que significa que um 
vetor pode ser movido de uma posição para a outra desde que sua magnitude e dire-
ção não sejam modificadas. O negativo de um vetor , escrito� , é um vetor que 
tem a mesma magnitude que , porém tem direção oposta. Se k � 0 for um escalar, 
o múltiplo escalar de um vetor, k , é um vetor |k| vezes maior que . Se k � 0, 
então k tem a mesma direção que o vetor ; se k � 0, então k tem a direção 
oposta à de . Quando k � 0, dizemos 0 � 0, que é o vetor zero.* Dois vetores 
são paralelos se e somente se eles forem múltiplos escalares não-nulos um do outro. 
Veja a Figura 1.3.
Adição e subtração � Dois vetores podem ser considerados como tendo um ponto 
inicial comum, como A na Figura 1.4(a). Dessa forma, se os vetores não-paralelos 
e forem os lados de um paralelogramo como indica a Figura 1.4(b), dizemos que 
o vetor que é a diagonal principal, ou , é a soma de e . Escrevemos
A diferença entre dois vetores e é definida como
* A questão sobre qual é a direção de 0 é usualmente respondida dizendo que o vetor zero pode assu-
mir qualquer direção. Mais objetivamente, 0 é necessário para que haja a álgebra vetorial.
B D
CD
→ →
AB
→ →
A C
|CD| = 3
|AB| = 3
Figura 1.2 Os vetores são iguais.
AB
→ → 3
2AB
→ 1
4
– AB
→
–AB
Figura 1.3 Vetores paralelos.
→
A
AB
→
C
B
(a)
→
A
AB
→
C
B
(b)
D
→ → →
AD = AB + AC
AC
AC
Figura 1.4 Vetor é a soma de 
e .
1.1 Vetores em Duas Dimensões 21
Como pode ser visto na Figura 1.5(a), a diferença – pode ser interpreta-
da como a diagonal principal do paralelogramo com lados e – . Entretanto, 
como ilustrado na Figura 1.5(b), podemos também interpretar a mesma diferença 
vetorial como o terceiro lado de um triângulo com lados e . Nessa segunda 
interpretação, observe que a diferença vetorial � – aponta em direção 
ao ponto terminal do vetor a partir do qual estamos subtraindo o segundo vetor. Se 
 � , então
Vetores em um plano coordenado � Para descrever um vetor analiticamente, va-
mos supor para o restante dessa seção que os vetores que estamos considerando se 
estendem em um plano coordenado de duas dimensões ou bidimensional. Represen-
taremos o conjunto de todos os vetores no plano por R2. O vetor indicado na Figura 
1.6, com ponto inicial a origem O e ponto terminal P(x1,y1), é denominado vetor 
posição do ponto P, sendo escrito
Componentes � Em geral, um vetor a em R2 é qualquer par ordenado de números 
reais,
Os números a1 e a2 são ditos ser as componentes do vetor a.
Conforme veremos no primeiro exemplo, o vetor a não é necessariamente um 
vetor posição.
Exemplo 1 Vetor posição
O deslocamento entre o ponto (x,y) e (x � 4, y � 3) na Figura 1.7(a) é escrito 〈4,3〉. 
Como se vê na Figura 1.7(b), o vetor posição de 〈4,3〉 é o vetor que provém da origem 
e termina no ponto P(4,3). ❏
A adição e subtração de vetores, multiplicação de vetores por escalares, e assim 
por diante, são definidas em termos de suas componentes.
Adição, multiplicação escalar e 
igualdade
Considere a � 〈a1,a2〉 e b � 〈b1,b2〉 vetores em R2.
 (i) Adição: a � b � 〈a1 � b1, a2 � b2〉 (1)
 (ii) Multiplicação escalar: ka � 〈ka1, ka2〉 (2)
 (iii) Igualdade: a � b se e somente se a1 � b1, a2 � b2 (3)
D E F I N I Ç Ã O 1 . 1
Subtração � Utilizando (2), definimos o negativo de um vetor b como
Podemos definir a subtração, ou a diferença, de dois vetores como
 
(4)
(a)
B
A
C
→
→
→ →
→ → →
AB
→
A
B
→
C
(b)
CB = AB – AC
AC
AC
–AC
AB + ( – AC)
Figura 1.5 Vetor é a diferença de 
 e .
y
x
OP
O
P(x1, y1)
Figura 1.6 Vetor posição.
y
x
a
(a)
y
x
a
O
(b)
P(4, 3)
(x, y)
(x + 4, y + 3)
Figura 1.7 Vetores em (a) e (b) são 
iguais.
22 CAPÍTULO 1 Vetores
Na Figura 1.8(a), mostramos a soma de dois vetores e . Na Figura 1.8(b), 
o vetor , com ponto inicial P1 e ponto terminal P2, é a diferença dos vetores 
posição
Conforme ilustrado na Figura 1.8(b), o vetor pode ser desenhado começando do 
ponto terminal de e terminando no ponto terminal de , ou como o vetor posi-
ção cujas coordenadas do ponto terminal (x2 – x1, y2 – y1). Relembre, e 
são considerados iguais, pois eles têm a mesma magnitude e a mesma direção.
Exemplo 2 Adição e subtração de dois vetores
Se a � 〈1,4〉 e b � 〈�6,3〉, calcule a � b, a – b e 2a � 3b.
Solução � Utilizamos (1), (2) e (4).
 ❏
Propriedades � A definição de componente de um vetor pode ser utilizada para 
verificar cada uma das seguintes propriedades dos vetores em R2.
Propriedades dos vetores
 (i) a � b � b � a (Lei comutativa)
 (ii) a � (b � c) � (a � b) � c (Lei associativa)
 (iii) a � 0 � a (Identidade aditiva)
 (iv) a � (�a) � 0 (Inversão aditiva)
 (v) k(a � b) � ka � kb, k um escalar
 (vi) (k1 � k2)a � k1a � k2a, k1 e k2 escalares
 (vii) k1(k2a) � (k1k2)a, k1 e k2 escalares
 (viii) 1a � a
 (ix) 0a � 0 (Vetor zero)
O vetor zero 0 nas propriedades (iii), (iv) e (ix) é definido como
Magnitude � A magnitude, comprimento ou norma de um vetor a é representada 
por ||a||. Motivados pelo Teorema de Pitágoras e pela Figura 1.9, definimos a magni-
tude de um vetor
como sendo
Evidentemente, ||a|| � 0 para qualquer vetor a, e ||a|| � 0 se e somente se a � 0. Por 
exemplo, se a � 〈6,�2〉, então 
Vetores unitários � Um vetor que tem magnitude 1 é denominado vetor unitário. Po-
demos obter um vetor unitário u na mesma direção de um vetor não-nulo a multiplicando 
a pelo recíproco da sua magnitude. O vetor u � (1/||a||)a é um vetor unitário, pois
y
x
O
→
→
→ →
y
x
O
OP
→
→
→
→
(a)
(b)
P(x1 + x2, y1 + y2)
P1(x1, y1)
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
P2(x2, y2)
OP1
OP1
OP2
OP2
OP1 + OP2
P(x2 – x1, y2 – y1)
P1P2
Figura 1.8 Em (b), e são o 
mesmo vetor.
x
y
a
a2
a1
Figura 1.9 Um triângulo reto.
1.1 Vetores em Duas Dimensões 23
Exemplo 3 Vetores unitários
Dado a � 〈2,�1〉, forme um vetor unitário na mesma direção de a e um vetor unitário 
na direção oposta de a.
Solução � A magnitude do vetor a é . Logo, um vetor 
unitário na mesma direção de a é o múltiplo escalar
Um vetor unitário na direção oposta de a é o negativo de u:
 
❏
Se a e b forem vetores e c1 e c2 forem escalares, então a expressão c1a � c2b é de-
nominada combinaçãolinear de a e b. Conforme será visto a seguir, qualquer vetor 
em R2 pode ser escrito como uma combinação linear de dois vetores especiais.
Os vetores i e j � Sob o ponto de vista de (1) e (2), qualquer vetor a � 〈a1,a2〉, pode 
ser escrito como uma soma:
 
(5)
Aos vetores unitários 〈1,0〉 e 〈0,1〉 são dados usualmente os símbolos i e j. Veja a 
Figura 1.10(a). Assim, se
então (5) se torna (6)
Os vetores unitários i e j são ditos formar uma base para o sistema de vetores 
de duas dimensões, pois qualquer vetor a pode ser escrito unicamente como uma 
combinação linear de i e j. Se a � a1i � a2j for um vetor posição, então a Figura 
1.10(b) mostra que a é a soma dos vetores a1i e a2j, que têm a origem como um 
ponto inicial comum e que se estendem nos eixos x e y, respectivamente. O escalar 
a1 é chamado de componente horizontal de a, e o escalar a2 é chamado de com-
ponente vertical de a.
Exemplo 4 Operações vetoriais utilizando i e j
(a) 〈4,7〉 � 4i � 7j
(b) (2i – 5j) � (8i � 13j) � 10i � 8j
(c) ||i � j|| � 
(d) 10(3i – j) � 30i – 10j
(e) a � 6i � 4j e b � 9i � 6j são paralelos, pois b é um múltiplo escalar de a. Vemos 
que . ❏
Exemplo 5 Gráficos de soma vetorial / diferença vetorial
Considere a � 4i � 2j e b ��2i � 5j. Faça o gráfico de a � b e a – b.
x
y
a
(b)
y
x
(a)
j
i
a1j
a1i
Figura 1.10 i e j formam uma base 
para R2.
24 CAPÍTULO 1 Vetores
Solução � Os gráficos de a � b � 2i � 7j e a – b � 6i – 3j estão indicados nas 
Figuras 1.11(a) e 1.11(b), respectivamente.
y
a
x
b
(a)
y
a
x
b
(b)
a + b
a – b
a – b
Figura 1.11 Soma a � b em (a); diferença a – b em (b). ❏
EXERCÍCIOS 1.1 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 285.
Nos Problemas 1-8, calcule (a) 3a, (b) a � b, (c) a – b, (d) || a � 
b|| e (e) || a�b||.
 1. 
 2. 
 3. 
 4. 
 5. 
 6. 
 7. 
 8. 
Nos Problemas 9-14, calcule (a) 4a – 2b e (b) –3a –5b.
 9. 
 10. 11. 
 12. 13. 
 14. 
Nos Problemas 15-18, obtenha os vetores . Faça o gráfico de 
 e do seu vetor posição correspondente.
 15. 16. 
 17. 18. 
 19. Obtenha o ponto terminal do vetor � 4i � 8j conside-
rando que o seu ponto inicial seja (�3,10).
 20. Obtenha o ponto terminal do vetor � 〈�5,�1〉 consi-
derando que o seu ponto inicial seja 〈4,7〉.
 21. Determine quais dos seguintes vetores são paralelos a a � 4i 
� 6j.
(a) (b) 
(c) (d) 
(e) (f) 
 22. Determine um escalar c de modo que a � 3i � cj e b ��i 
� 9j sejam paralelos.
Nos Problemas 23 e 24, calcule a � (b � c) para os vetores 
indicados.
 23. 
 24. 
Nos Problemas 25-28, obtenha um vetor unitário (a) na mesma 
direção de a, e (b) na direção oposta de a.
 25. 26. 
 27. 28. 
Nos Problemas 29 e 30, a � 〈2,8〉 e b � 〈3,4〉. Obtenha um vetor 
unitário na mesma direção dos vetores indicados.
 29. 30. 
Nos Problemas 31 e 32, determine um vetor b que seja paralelo 
ao vetor especificado e tenha a magnitude indicada.
 31. 32. 
 33. Determine um vetor na direção oposta de a � 〈4,10〉, porém 
 maior.
 34. Considerando a � 〈1,1〉 e b � 〈�1,0〉, determine um vetor 
na mesma direção de a � b, porém 5 vezes maior.
1.1 Vetores em Duas Dimensões 25
Nos Problemas 35 e 36, utilize a figura dada para ilustrar o vetor 
indicado
 35. 36. 
a
b
Figura 1.12 Vetores 
para o Problema 35. 
a c
b
Figura 1.13 Vetores 
para o Problema 36.
Nos Problemas 37 e 38, expresse o vetor x em termos dos vetores 
a e b.
 37. 38. 
a
b
x
Figura 1.14 Vetor x no 
Problema 37. 
x
b
a
ponto médio de x 
Figura 1.15 Vetor x no Pro-
blema 38.
Nos Problemas 39 e 40, utilize a figura dada para demonstrar o 
resultado indicado.
 39. a � b � c � 0 40. a � b � c � d � 0
a
c b
Figura 1.16 Vetores para 
o Problema 39. 
a
b
c
d
Figura 1.17 Vetores para 
o Problema 40.
Nos Problemas 41 e 42, expresse o vetor a � 2i � 3j como uma 
combinação linear dos vetores b e c indicados.
 41. 
 42. 
Um vetor é dito ser tangente a uma curva em um ponto se 
ele for paralelo à reta tangente no ponto. Nos Problemas 43 e 
44, atribua um vetor tangente unitário à curva dada no ponto 
indicado.
 43. 44. 
 45. Enquanto caminha, o pé de uma pessoa atinge o solo com 
uma força F em um ângulo � em relação à vertical. Na 
Figura 1.18, o vetor F está dividido em componentes ve-
toriais Fg, paralela ao solo, e Fn, perpendicular ao solo. 
Para que o pé não deslize, a força Fg tem que ser contra-
balançada pela força de oposição Ff do atrito, ou seja, Ff 
��Fg.
(a) Use o fato que ||Ff || � 	||Fn||, onde μ é o coeficiente de 
atrito, para mostrar que tg � � 	. O pé não deslizará 
para ângulos menores ou iguais a �.
(b) Dado que 	 � 0,6 para um salto de borracha em con-
tato com uma calçada de asfalto, obtenha o ângulo de 
“não-deslizamento”.
F
θ
Ff Fg
Fn
Figura 1.18 Vetor F no Problema 45.
 46. Um semáforo de 600 N sustentado por dois cabos está em 
equilíbrio. Conforme ilustrado na Figura 1.19(b), seja o peso 
do semáforo representado por w e as forças nos dois cabos 
indicadas por F1 e F2. A partir da Figura 1.19(c), temos que 
uma condição de equilíbrio é
 
(6)
Veja o Problema 39. Se
use (7) para determinar as magnitudes de F1 e F2. [Sugestão: 
Releia (iii) da Definição 1.1.]
(a)
w
O
(b)
w
(c)
15° 20°
F1
F1
F2
F2
Figura 1.19 Três vetores forças no Problema 46.
26 CAPÍTULO 1 Vetores
 47. Uma carga elétrica Q está uniformemente distribuída ao 
longo do eixo y entre y ��a e y � a.Veja a Figura 1.20. A 
força total exercida sobre a carga q no eixo x pela carga Q é 
F � Fxi � Fyj, onde
e 
 Determine F.
x
y
Q
a
L q
–a
Figura 1.20 Carga no eixo x no Problema 47.
 48. Utilizando vetores, mostre que as diagonais de um paralelo-
gramo dividem umas às outras ao meio. [Sugestão: Seja M o 
ponto médio de uma diagonal e N o ponto médio da outra.]
 49. Utilizando vetores, mostre que o segmento de reta entre os 
pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao 
terceiro lado e tem a metade do comprimento.
 50. Um avião começa o vôo a partir de um aeroporto localizado 
na origem O e voa 150 km na direção 20o do norte a leste 
para a cidade A. A partir de A, o avião então voa 200 km na 
direção 23o oeste a norte para a cidade B. A partir de B, o 
avião voa 240 km na direção 10o sul a oeste para a cidade C. 
Expresse a localização da cidade C como um vetor r con-
forme indicado na Figura 1.21. Determine a distância de O 
para C.
y
B
A
x
O
r
C
O
N
L
S
23°
10°
20°
Figura 1.21 Avião no Problema 50.
 1.2 Vetores em três dimensões
Introdução � No plano, ou espaço de duas dimensões, uma forma de se descrever 
a posição de um ponto P é designar a ele coordenadas relativas a dois eixos mutu-
amente ortogonais ou perpendiculares, eixos denominados x e y. Se P for o ponto 
de interseção da reta x � a (perpendicular ao eixo x) e da reta y � b (perpendicular 
ao eixo y), então o par ordenado (a, b) é dito ser as coordenadas retangulares ou 
cartesianas do ponto. Veja a Figura 1.22. Nessa seção, estenderemos as noções de 
coordenadas cartesianas e vetores para três dimensões.
Sistema de coordenadas retangulares em três dimensões � Em três dimensões ou 
3D, um sistema de coordenadas retangulares é construído utilizando-se três eixos mu-
tuamente ortogonais. O ponto no qual esses eixos se cruzam é chamado de origem O. 
Esses eixos, apresentados na Figura 1.23(a), são rotulados de acordo com a chamada 
y
x
O
x = a
y = b P(a, b)
Figura 1.22 Coordenadas retangulares 
em duas dimensões.
y
x
z
plano
x = a
plano
y = b
b
a
c
(b)
plano
z = c
y
z
x
O
(a) mão direita
P(a, b, c)
Figura 1.23 Coordenadas retangulares em três dimensões.
1.2 Vetores em Três Dimensões 27
regra da mão direita: se os dedos da mão direita, apontando na direção do eixo |x| 
positivo, forem curvados em direção ao eixo y positivo, então o dedo polegar apontará 
na direção de um novo eixo perpendicular ao plano dos eixos x e y. Esse novo eixo 
é rotulado como eixo z. As linhas tracejadas na Figura 1.23(a) representam os eixos 
negativos. Agora, se
forem planosperpendiculares aos eixos a, y e z, respectivamente, então o ponto P no 
qual esses planos se cruzam podem ser representados por um triplo ordenado de 
números (a, b, c) que são as coordenadas retangulares ou cartesianas do ponto. Os 
números a, b e c são, respectivamente, as coordenadas x, y e z de P(a, b, c). Veja a 
Figura 1.23(b).
Octantes � Cada par de eixos coordenados determina um plano coordenado. 
Conforme indicado na Figura 1.24, os eixos x e y determinam o plano xy, os eixos z e 
z determinam o plano xz, e assim por diante. Os planos coordenados dividem as três 
dimensões em oito partes conhecidas como octantes. O octante no qual todas as três 
coordenadas de um ponto são positivas é denominado primeiro octante. Não existe 
nenhuma convenção para nomear os outros sete octantes.
A tabela a seguir resume as coordenadas de um ponto em um eixo coordenado ou 
em um plano coordenado. Como pode ser visto na tabela, podemos também descre-
ver, por exemplo, o plano xy pela equação simples z � 0. De modo similar, o plano xz 
é y � 0 e o plano yz é x � 0.
Eixos Coordenadas Plano Coordenadas
x (a, 0, 0) xy (a, b, 0)
y (0, b, 0) xz (a, 0, c)
z (0, 0, c) yz (0, b, c)
Exemplo 1 Gráficos de três pontos
Trace o gráfico dos pontos (4, 5, 6), (3,�3,�1) e (�2,�2, 0).
Solução � Dos três pontos apresentados na Figura 1.25, somente (4, 5, 6) está no 
primeiro octante. O ponto (�2,�2, 0) está no plano xy. ❏
Fórmula da distância � Para obter a distância entre dois pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, 
y2, z2) em três dimensões, consideraremos primeiro suas projeções no plano xy. Confor-
me visto na Figura 1.26, a distância entre (x1, y1, 0) e (x2, y2, 0) decorre da fórmula da dis-
tância usual no plano, sendo . Se as coordenadas de P3 forem 
(x2, y2, z1), então o Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo reto P1P2P3 resulta em
ou (1)
Exemplo 2 Distância entre dois pontos
Determine a distância entre (2,�3, 6) e (�1,�7, 4).
Solução � Escolhendo P2 como sendo (2,�3, 6) e P1 como (�1,�7, 4), a fórmula 
(1) nos dá
 ❏
Fórmula do ponto médio � A fórmula para obtenção do ponto médio de um seg-
mento de reta entre dois pontos em duas dimensões se aplica de modo análogo às 
z
x
y
plano xz
plano xy
plano yz
Figura 1.24 Octantes.
y
z
x
(–2, –2, 0)
(4, 5, 6)
(3, –3, –1)
Figura 1.25 Pontos no Exemplo 1.
z
x
d
y
√
|z2 – z1|P1
P2
P3
(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Figura 1.26 Distância d entre dois 
pontos em três dimensões.
28 CAPÍTULO 1 Vetores
três dimensões. Se P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) forem dois pontos distintos, então as 
coordenadas do ponto médio do segmento de reta entre eles são
 
(2)
Exemplo 3 Coordenadas de um ponto médio
Determine as coordenadas do ponto médio de um segmento de reta entre os dois 
pontos no Exemplo 2.
Solução � A partir de (2), obtemos
 
❏
Vetores em três dimensões � Um vetor em três dimensões em qualquer triplo 
ordenado de números reais
onde a1, a2 e a3 são as componentes do vetor. O conjunto de todos os vetores em três 
dimensões será representado pelo símbolo R3. O vetor posição de um ponto P(x1, y1, 
z1) no espaço é o vetor � 〈x1, y1, z1〉 cujo ponto inicial é a origem O e cujo ponto 
terminal é P. Veja a Figura 1.27.
As definições das componentes de adição, subtração, multiplicação escalar e as-
sim por diante são generalizações naturais daquelas dadas para os vetores em R2.
Definições das componentes em 
três dimensões
Sejam a � 〈a1, a2, a3〉 e b � 〈b1, b2, b3〉 vetores em R3.
 (i) Adição: a � b � 〈a1 � b1, a2 � b2, a3 � b3〉
 (ii) Multiplicação escalar: ka � 〈ka1, ka2, ka3〉
 (iii) Igualdade: a � b se e somente se a1 � b1, a2 � b2, a3 � b3
 (iv) Negativo:�b � (�1)b � 〈�b1,�b2,�b3〉
 (v) Subtração: a – b � a � (�b) � 〈a1�b1, a2�b2, a3�b3〉
 (vi) Vetor zero: 0 � 〈0, 0, 0〉
 (vii) Magnitude: 
D E F I N I Ç Ã O 1 . 2
Se e forem os vetores posição dos pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2), 
então o vetor é dado por
 
(2)
Como em duas dimensões, podem ser traçados como um vetor cujo ponto inicial 
é P1 e cujo ponto terminal é P2, ou como um vetor posição com ponto terminal
Veja a Figura 1.28.
Exemplo 4 Vetor entre dois pontos
Determine o vetor considerando que os pontos P1 e P2 são dados por P1(4, 6,�2) 
e P2(1, 8, 3).
x
z
y
OP
O
→
P(x1, y1, z1)
Figura 1.27 Vetor posição.
x
y
P
OP
O
z
→
→
→
→
OP2
OP1
P1(x1, y1, z1)
P1P2
P2(x2, y2, z2)
Figura 1.28 e são o mesmo 
vetor.
1.2 Vetores em Três Dimensões 29
Solução � Se os vetores posição dos pontos são � 〈4, 6,�2〉 e � 〈1, 8, 
3〉, então a partir de (3) temos
 ❏
Exemplo 5 Magnitude de um vetor
A partir do item (vii) da Definição 1.2, temos que é um vetor unitário, 
pois
 
❏
Os vetores i, j, k � Vimos na seção anterior que os vetores unitários i � 〈1, 0〉 e j 
� 〈0, 1〉 são uma base para o sistema de vetores de duas dimensões em que qualquer 
vetor a em duas dimensões pode ser escrito como uma combinação linear de i e j: a � 
a1i � a2j. Uma base para o sistema de vetores de três dimensões é dada pelo conjunto 
de vetores unitários
Qualquer vetor a � 〈a1, a2, a3〉 em três dimensões pode ser escrito como uma combi-
nação linear de i, j e k:
isto é, 
Os vetores i, j e k são ilustrados na Figura 1.29(a). Na Figura 1.29(b), vemos que um 
vetor posição a � a1i � a2j � a3k é a soma dos vetores a1i, a2j e a3k que se estendem 
ao longo dos eixos coordenados e têm a origem como um ponto inicial comum.
Exemplo 6 Vetor expressado em termos de i, j e k
O vetor a � 〈7,�5, 13〉 é o mesmo que a � 7i – 5j � 13k. ❏
Quando a terceira dimensão é considerada, qualquer vetor no plano xy é des-
crito equivalentemente como um vetor tridimensional que se estende no plano 
coordenado z � 0. Apesar dos vetores 〈a1, a2〉 e 〈a1, a2, 0〉 serem tecnicamente 
diferentes, ignoraremos a distinção. Por isso, por exemplo, indicaremos 〈1, 0〉 e 
〈1, 0, 0〉 pelo mesmo símbolo i. Porém, para evitar qualquer confusão possível, 
daqui em diante sempre consideraremos um vetor como um vetor tridimensional, 
e os símbolos i e j representarão somente 〈1, 0, 0〉 e 〈0, 1, 0〉, respectivamente. De 
modo similar, um vetor no plano xy ou no plano xz tem que ter uma componente 
zero. No plano yz, um vetor
No plano xz, um vetor
Exemplo 7 Vetor no plano xz
(a) O vetor a � 5i � 3k está no plano coordenado xz.
(b) 
x
y
(b)
a
z
k
i
j
(a)
x
z
y
a3k
a2ja1i
Figura 1.29 i, j e k formam uma base 
para R3.
30 CAPÍTULO 1 Vetores
Exemplo 8 Combinação linear
Se a � 3i – 4j � 8k e b � i – 4k, obtenha 5a – 2b.
Solução � Tratamos b como um vetor tridimensional e escrevemos, para enfatizar, 
b � i � 0j – 4k. De
obtemos
 ❏
Nos Problemas 1-6, faça o gráfico do ponto indicado. Use os 
mesmos eixos coordenados.
 1. 2. 
 3. 4. 
 5. 6. 
Nos Problemas 7-10, descreva geometricamente todos os pontos 
P(x, y, z) que satisfazem a condição indicada.
 7. 8. 
 9. 10. 
 11. Determine as coordenadas dos vértices do paralelepípedo 
retangular cujos lados são os planos coordenados e os pla-
nos x � 2, y � 5, z � 8.
 12. Na Figura 1.30, dois vértices de um paralelepípedo retangu-
lar com lados paralelos aos planos coordenados estão indica-
dos. Determine as coordenadas dos seis vértices restantes.
y
x
z (–1, 6, 7)
(3, 3, 4)
Figura 1.30 Paralelepípedo retangular no Problema 12.
 13. Considere o ponto P(�2, 5, 4).
(a) Se retas forem traçadas a partir de P perpendiculares 
aos planos coordenados, quais são as coordenadas do 
ponto na base de cada reta perpendicular?
(b) Se uma reta for traçada a partir de P para o plano z 
��2, quais são as coordenadas do ponto na base da 
reta perpendicular?
(c) Obtenha o ponto no plano x � 3 que está mais próximo 
de P.
 14. Determine uma equação de um plano paralelo a um plano 
coordenado que contenha os pares de pontos indicados.
(a) 
(b) 
(c) 
Nos Problemas 15-20, descreva o local dos pontos P(x, y, z) que 
satisfazem a(s) equação(ões) dadas.
 15. 16. 
 17. 
 18. 
 19. 20. 
Nos Problemas 21 e 22, obtenha a distância entre os pontos in-
dicados.
 21.22. 
 23. Determine a distância do ponto (7,�3,�4) para (a) o plano 
yz e (b) o eixo x.
 24. Determine a distância do ponto (�6, 2,�3) para (a) o plano 
xz e (b) a origem.
Nos Problemas 25-28, os três pontos indicados formam triângu-
los. Determine quais triângulos são isósceles e quais são triân-
gulos retos.
 25. 
 26. 
 27. 
 28. 
Nos Problemas 29 e 30, use a fórmula da distância para demons-
trar que os pontos indicados são colineares.
 29. 
 30. 
Nos Problemas 31 e 32, resolva em relação à incógnita.
 31. 
 32. 
EXERCÍCIOS 1.2 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 285.
1.3 Produto Escalar 31
Nos Problemas 33 e 34, determine as coordenadas do ponto mé-
dio do segmento de reta entre os pontos indicados.
 33. 34. 
 35. As coordenadas do ponto médio do segmento de reta entre 
P1(x1, y1, z1) e P2(2, 3, 6) são (�1,�4, 8). Determine as co-
ordenadas de P1.
 36. Seja P3 o ponto médio do segmento de reta entre P1(�3, 
4, 1) e P2(�5, 8, 3). Determine as coordenadas do ponto 
médio do segmento de reta (a) entre P1 e P3 e (b) entre P3 
e P2.
Nos Problemas 37-40, determine o vetor .
 37. 
 38. 
 39. 
 40. 
Nos Problemas 41-48, a � 〈1,�3, 2〉, b � 〈�1, 1, 1〉 e c � 〈2, 6, 
9〉. Determine o vetor ou escalar indicado.
 41. 42. 
 43. 44. 
 45. 46. 
 47. 
 48. 
 49. Determine um vetor unitário na direção oposta de a � 
〈10,�5, 10〉.
 50. Determine um vetor unitário na mesma direção de a � i – 3j 
� 2k.
 51. Determine um vetor b que tenha comprimento 4 vezes maior 
que a � i – j � k na mesma direção de a.
 52. Determine um vetor b no qual que seja paralelo a a 
� 〈�6, 3,�2〉 mas que tenha a direção oposta.
 53. Utilizando os vetores a e b mostrados na Figura 1.31, esbo-
ce o “vetor médio” .
y
x
z a
b
Figura 1.31 Vetores para o Problema 53.
 1.3 Produto escalar
Introdução � Nesta e na próxima seção, consideraremos dois tipos de produtos 
entre vetores que se originaram do estudo de mecânica, eletricidade e magnetismo. O 
primeiro desses produtos é conhecido como produto escalar ou produto interno.
Uma definição � O produto escalar entre dois vetores a e b resulta em um escalar 
e é comumente representado por a 
 b.
Produto escalar de dois vetores
O produto escalar de dois vetores a e b é o escalar
 
(1)
onde � é o ângulo entre os vetores de modo que 0 ≤ � ≤ �.
D E F I N I Ç Ã O 1 . 3
A Figura 1.32 ilustra o ângulo � em três casos. Se os vetores a e b não forem 
paralelos, então � é o menor dos dois possíveis ângulos entre eles.
Exemplo 1 Produto escalar utilizando (1)
A partir de (1), obtemos
 
(2)
pois ||i|| � ||j|| � ||k|| � 1, e em cada caso cos � � 1. ❏
b
a
θ
(a)
(b)
b
a θ
(c)
θ
ba
Figura 1.32 Ângulo � em (1).
32 CAPÍTULO 1 Vetores
Forma em componentes do produto escalar � O produto escalar pode ser escrito 
em termos das componentes de dois vetores. Suponha que � seja o ângulo entre os 
vetores a � a1i � a2j � a3k e b � b1i � b2j � b3k. Então o vetor
é o terceiro lado do triângulo indicado na Figura 1.33. Pela lei dos co-senos, podemos 
escrever
 
(3)
Utilizando � (b2 – 
a2)2 � (b3 – a3)2, podemos simplificar o lado direito da segunda equação em (3) para 
a1b1 � a2b2 � a3b3. Como o lado esquerdo dessa equação é a definição do produto 
escalar, obtemos uma forma alternativa do produto escalar:
 
(4)
Em outras palavras, o produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos das suas 
componentes correspondentes.
Exemplo 2 Produto Escalar Utilizando (4)
Se a � 10i � 2j – 6k e � 4j – 3k, então decorre de (4) que
 
❏
Propriedades � O produto escalar possui as seguintes propriedades.
Propriedades do produto escalar
 (i) se ou 
 (ii) (lei comutativa)
 (iii) (lei distributiva)
 (iv) k um escalar
 (v) 
 (vi) 
Cada uma dessas propriedades, com a possível exceção de (iii), deve ser óbvia a 
partir de (1). Observe que (vi) diz que a magnitude de um vetor
pode ser escrita em termos do produto escalar:
Podemos utilizar (4) para demonstrar (iii). Se a � a1i � a2j � a3k, b � b1i � b2j � 
b3k, e c � c1i � c2j � c3k, então a partir de (4) temos
Vetores ortogonais � Se a e b forem vetores não-zero, então a Definição 1.3 im-
plica que
 (i) a · b � 0 se e somente se � for agudo,
 (ii) a · b � 0 se e somente se � for obtuso, e
 (iii) a · b � 0 se e somente se cos � � 0.
a
b
c
θ
Figura 1.33 Vetor c utilizado para 
obter (4).
1.3 Produto Escalar 33
Porém, no último caso, o único número em [0, �] para o qual cos � � 0 é � � �/2. 
Quando � � �/2, dizemos que os vetores são perpendiculares ou ortogonais. As-
sim, somos levados ao seguinte resultado:
Critério para vetores ortogonais
Dois vetores não-zero a e b são ortogonais se e somente se a · b � 0.
T E O R E M A 1 . 1
Como 0 · b � 0 para todo vetor b, o vetor zero é ortogonal em relação a todo vetor.
Exemplo 3 i, j e k são vetores ortogonais
Decorre imediatamente do Teorema 1.1 e do fato do produto escalar ser comutativo 
que
 
(5) ❏
Exemplo 4 Vetores ortogonais
Se a � –3i – j � 4k e b � 2i � 14j � 5k, então
A partir do Teorema 1.1, concluímos que a e b são ortogonais.
Ângulo entre dois vetores � Igualando as duas formas do produto escalar, (1) e 
(4), podemos determinar o ângulo entre dois vetores a partir de
 
(6)
Exemplo 5 Ângulos entre dois vetores
Determine o ângulo entre a � 2i � 3j � k e b ��i � 5j � k.
Solução � De , vemos de (6) que
e assim � � � 0,77 radianos ou � � 44,9o. ❏
Co-senos direcionais � Para um vetor não-zero a � a1i � a2j � a3k em três di-
mensões, os ângulos �, � e � entre a e os vetores unitários i, j e k, respectivamente, 
são denominados ângulos direcionais de a. Veja a Figura 1.34. Agora, de (6),
que se simplifica para
a
α
γ
βk
j
i
z
x
y
Figura 1.34 Ângulos direcionais �, � 
e �.
34 CAPÍTULO 1 Vetores
Dizemos que cos �, cos � e cos � são os co-senos direcionais de a. Os co-senos di-
recionais de um vetor a não-zero são simplesmente as componentes do vetor unitário 
(1/||a||)a:
Como a magnitude de (1/||a||)a é 1, segue-se da última equação que
Exemplo 6 Ângulos/co-senos direcionais
Obtenha os co-senos direcionais e ângulos direcionais do vetor a � 2i � 5j � 4k.
Solução � A partir de , temos que os co-
senos direcionais são
Os ângulos direcionais são
 
radianos ou
radiano ou
radiano ou
 
❏
Observe no Exemplo 6 que
Componente de a em b � A lei distributiva e (5) nos permitem expressar as com-
ponentes de um vetor a � a1i � a2j � a3k em termos do produto escalar:
 
(7)
Simbolicamente, escrevemos as componentes de a como
 
(8)
Veremos agora que os resultados indicados em (8) nos levam a obter a componente 
de a em um vetor arbitrário b. Observe que em pelo menos um dos dois casos ilus-
trados na Figura 1.35,
 
(9)
Na Figura 1.35(b), compba � 0, pois �/2 � � ≤ �. Agora, escrevendo (9) como
vemos que
 
(10)
Em outras palavras, para obter a componente de a em um vetor b, fazemos o produto 
escalar de a na direção de b.
Exemplo 7 Componente de um vetor em outro vetor
Considere a � 2i � 3j – 4k e b � i � j � 2k. Determine compba e compab.
a
θ
b
θ
(a)
θ
b
a
θ
(b)
||a|| cos
||a|| cos
Figura 1.35 Componente de a em b.
1.3 Produto Escalar 35
Solução � Primeiro formamos um vetor unitário na direção de b:
Assim, a partir de (10) temos
Modificando (10), temos
Portanto,
 
e
 
❏
Interpretação física do produto escalar � Quando uma força constante de mag-
nitude F move um objeto por uma distância d na mesma direção da força, o trabalho 
realizado é simplesmente W � Fd. Entretanto, se uma força constante F aplicada em 
um corpo atua em um ângulo � em relação à direção do movimento, então o trabalho 
feito por F é definido como sendo o produto da componente de F na direção do des-
locamento e a distância ||d|| deslocada pelo corpo:
Veja a Figura 1.36. Decorre da Definição 1.3 que se F causar um deslocamento d de 
um corpo, então o trabalho realizado será
 (11)
Exemplo 8 Trabalho realizado por uma força constante
Determine o trabalho realizadopor uma força constante F � 2i � 4j considerando 
que o seu ponto de aplicação em um bloco se move de P1(1,1) para P2(4,6). Considere 
que ||F|| seja medida em newtons e ||d|| seja medido em metros.
Solução � O deslocamento do bloco é dado por
Decorre de (11) que o trabalho realizado é
 ❏
Projeção de a sobre b � Conforme ilustrado na Figura 1.37, a projeção de um 
vetor a em qualquer uma das direções determinadas por i, j, k é simplesmente o vetor 
formado pela multiplicação da componente de a na direção especificada pelo vetor 
unitário naquela direção; por exemplo,
e assim por diante. A Figura 1.38 mostra o caso geral da projeção de a sobre b:
 
(12)
Exemplo 9 Projeção de um vetor em outro vetor
Determine a projeção de a � 4i � j sobre o vetor b � 2i � 3j. Faça o gráfico.
F
d
θ
θ||F|| cos
Figura 1.36 Trabalho realizado por 
uma força F.
y
x
z
a
k
i
j
projka
projja
projia
Figura 1.37 Projeção de a sobre i, j 
e k.
a
b
b1vetor
unitário
projba
||b||
Figura 1.38 Projeção de a sobre b.
36 CAPÍTULO 1 Vetores
Nos Problemas 1 e 2, determine a · b considerando que o menor 
ângulo entre a e b seja conforme indicado.
 1. 
 2. 
Nos Problemas 3-14, a � 〈2,�3, 4〉, b � 〈�1, 2, 5〉 e c � 〈3, 
6,�1〉. Obtenha o escalar ou vetor indicado.
 3. 4. 
 5. 6. 
 7. 8. 
 9. 10. 
 11. 12. 
 13. 14. 
 15. Determine quais pares dos seguintes vetores são ortogonais:
(a) (b) 
(c) (d) 
(e) (f) 
 16. Determine um escalar c de modo que os vetores indicados 
sejam ortogonais.
(a) 
(b) 
 17. Determine um vetor v � 〈x1, y1, 1〉 que seja ortogonal tanto 
a a � 〈3, 1,�1〉 quanto a b � 〈�3, 2, 2〉.
 18. Um rombo é um paralelogramo com ângulo oblíquo com 
todos os quatro lados iguais. Utilize o produto escalar para 
mostrar que as diagonais de um rombo são perpendiculares.
 19. Verifique que o vetor
é ortogonal em relação ao vetor a.
 20. Determine um escalar c de modo que o ângulo entre a � i � 
cj e b � i � j seja 45o.
Nos Problemas 21-24, determine o ângulo � entre os vetores in-
dicados.
 21. 
 22. 
 23. 
 24. 
Nos Problemas 25-28, determine os co-senos direcionais e os ân-
gulos direcionais do vetor indicado.
 25. 26. 
 27. 28. 
 29. Determine o ângulo entre a diagonal do cubo ilustrado 
na Figura 1.40 e a aresta AB. Obtenha o ângulo entre a dia-
gonal AD do cubo e a diagonal .
z
D
C B
A
y
x
Figura 1.40 Diagonal no Problema 29.
 30. Mostre que se dois vetores não-zero a e b são ortogonais, 
então seus co-senos direcionais satisfazem
 31. Um avião está a 4 km de altura, 5 km ao sul e 7 km a leste 
de um aeroporto. Veja a Figura 1.41. Determine os ângulos 
direcionais do avião.
Solução � Primeiro, determinamos a componente de a e b. Como , ob-
temos a partir de (10) que
Assim, de (11),
O gráfico desse vetor está indicado na Figura 1.39. ❏
b
a
y
x
+
22
13
i 33
13
j
Figura 1.39 Projeção de a sobre b no 
Exemplo 9.
EXERCÍCIOS 1.3 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 286.
1.3 Produto Escalar 37
para
cima
aeroporto
5
S 7
4 E
Figura 1.41 Avião no Problema 31.
 32. Determine um vetor unitário cujos ângulos direcionais, rela-
tivos aos três eixos coordenados, são iguais.
Nos Problemas 33-36, a � 〈1,�1, 3〉 e b � 〈2, 6, 3〉. Determine 
o número indicado.
 33. 34. 
 35. 36. 
Nos Problemas 37 e 38, obtenha a componente do vetor indicado 
na direção a partir da origem até o ponto indicado.
 37. 
 38. 
Nos Problemas 39-42, obtenha projba.
 39. 
 40. 
 41. 
 42. 
Nos Problemas 43 e 44, a � 4i � 3j e b ��i � j. Determine o 
vetor indicado.
 43. 44. 
 45. Um trenó é puxado verticalmente sobre o gelo por uma 
corda conectada à sua parte dianteira. Uma força de 20 N 
atuando com um ângulo de 60o em relação à horizontal des-
loca o trenó 100 m. Calcule o trabalho realizado.
 46. Determine o trabalho realizado considerando que o ponto no 
qual a força constante F � 4i � 3j � 5k é aplicada em um ob-
jeto se desloca de P1(3, 1,�2) para P2(2, 4, 6). Considere que ||F|| seja medido em newtons e ||d|| seja medido em metros.
 47. Um bloco com peso w é puxado ao longo de uma superfície 
horizontal sem atrito por uma força constante F de magnitu-
de 30 N na direção dada por um vetor d. Veja a Figura 1.42. 
Considere que ||d|| seja medido em metros.
F
w d
Figura 1.42 Bloco no Problema 47.
(a) Qual é o trabalho realizado pelo peso w?
(b) Qual é o trabalho realizado pela força F se d � 4i � 3j?
 48. Uma força constante F de magnitude 3 N é aplicada ao bloco 
ilustrado na Figura 1.43. F tem a mesma direção do vetor a 
� 3i � 4j. Determine o trabalho realizado na direção do mo-
vimento considerando que o bloco se mova de P1(3,1) para 
P2(9,3). Considere que a distância seja medida em metros.
F
y
x
Figura 1.43 Bloco no Problema 48.
 49. Na molécula de metano CH4, os átomos de hidrogênio estão 
posicionados nos quatro vértices de um tetraedro retangular. 
Veja a Figura 1.44. A distância entre o centro de um átomo 
de hidrogênio e o centro de um átomo de carbono é 1,10 an-
gstroms (1 angstrom � 10�10 metros), e o ângulo da ligação 
hidrogênio-carbono-hidrogênio é � � 109,5o. Utilizando 
apenas métodos vetoriais, determine a distância entre dois 
átomos de hidrogênio.
θ
H H
H
C
H
Figura 1.44 Molécula no Problema 49.
 50. Utilize o produto escalar para demonstrar a desigualdade de 
Cauchy-Schwarz: |a · b| ≤ ||a|| ||b||.
 51. Utilize o produto escalar para demonstrar a desigualdade do 
triângulo: ||a � b|| ≤ ||a|| � ||b||. [Sugestão: Considere a pro-
priedade (vi) do produto escalar.]
 52. Prove que o vetor n � ai � bj é perpendicular à reta cuja 
equação é ax � by � c � 0. [Sugestão: Considere P1(x1, y1) 
e P2(x2, y2) pontos distintos na reta.]
 53. Utilize o resultado do Problema 52 e a Figura 1.45 para mos-
trar que a distância d a partir de um ponto P1(x1, y1) até uma 
reta ax � by � c � 0 é .
y
x
d
n
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
ax + by + c = 0
Figura 1.45 Distância d no Problema 53.
38 CAPÍTULO 1 Vetores
 1.4 Produto vetorial
Introdução � Ao contrário do produto escalar, que tem como resultado um escalar 
ou um número, o próximo produto especial de dois vetores a e b é outro vetor, sendo 
chamado de produto vetorial.
Uma definição � O produto vetorial dos vetores a e b é denotado por a � b.
Produto vetorial de dois vetores
O produto vetorial de dois vetores a e b em R3 é o vetor
 
(1)
onde � é o ângulo existente entre os vetores de modo que 0 ≤ � ≤ �, e n é um vetor 
unitário perpendicular ao plano de a e b com a direção indicada pela regra da mão 
direita.
D E F I N I Ç Ã O 1 . 4
Conforme visto na Figura 1.46(a), se os dedos da mão direita apontarem ao longo 
do vetor a e então se curvarem em direção ao vetor b, o dedo polegar dará a direção 
de n, e conseqüentemente a � b. Na Figura 1.46(b), a regra da mão direita mostra a 
direção b � a.
n
a b mão direita
(a)
mão direita
b
a
n
(b)
θ
b × a 
a × b
Figura 1.46 Regra da mão direita.
Exemplo 1 Torque como produto vetorial
Em física, a força F que atua na extremidade de um vetor posição r, como ilustrado 
na Figura 1.47, é dita produzir um torque � definido por � � r � F. Por exemplo, se 
||F|| � 20 N, ||r|| � 3,5 m e � � 30o, então a partir de (1) ||�|| � (3,5)(20)sen 30o � 35 
N.m. Se F e r estiverem no plano da página, a regra da mão direita implica em que a 
direção de � seja para fora e perpendicular à página (em direção ao leitor).
Conforme pode ser visto na Figura 1.48, quando uma força F é aplicada a uma 
chave de parafuso, a magnitude do torque � é uma medida do efeito de rotação sobre 
o ponto do eixo P, e o vetor � está direcionado ao longo do eixo do parafuso. Nesse 
caso, � aponta para dentro da página. ❏
Propriedades � O produto vetorial tem as seguintes propriedades.
Propriedades do produto vetorial
 (i) 
 (ii) 
 (iii) (Leis distributivas)
 (iv) 
 (v) k um escalar
 (vi) 
F
r
x
y
θθ||F|| sen
Figura 1.47 Vetores no Exemplo 1.
r
F
P
Figura 1.48 Vetores no Exemplo 1.
1.4 Produto Vetorial 39
 (vii) 
 (viii)A propriedade (vi) decorre de (1), pois � � 0. As propriedades (vii) e (viii) estão 
relacionadas ao fato de que a � b é perpendicular ao plano contendo a e b. A proprie-
dade (ii) deve ser intuitivamente clara com base na Figura 1.46.
Vetores paralelos � Quando o ângulo entre dois vetores não-zero é � � 0 ou � � 
�, então sen � � 0, e assim temos que ter a � b � 0. Isso é enunciado formalmente 
no próximo teorema.
Critério para vetores paralelos
Dois vetores não-zero a e b são paralelos se e somente se a � b � 0.
T E O R E M A 1 . 2
Exemplo 2 Vetores paralelos
(a) A partir da propriedade (vi) temos
 
(2)
(b) Se a � 2i � j – k e b � –6i – 3j � 3k � –3a, então a e b são paralelos. Portanto, 
do Teorema 1.2, a � b � 0. Observe que esse resultado também decorre da com-
binação das propriedades (v) e (vi). ❏
A partir de (1), se a � i, b � j, então
 
(3)
Porém, como um vetor unitário perpendicular ao plano que contém i e j com a direção 
dada pela regra da mão direita é k, segue-se de (3) que n � k. Em outras palavras, i 
� j � k.
Exemplo 3 Um mnemônico
Os produtos vetoriais de qualquer par de vetores no conjunto i, j, k podem ser obtidos 
pelo mnemônico circular ilustrado na Figura 1.49, isto é,
 
(4) ❏
Definição alternativa do produto vetorial � Como fizemos para o produto escalar, 
podemos utilizar a lei distributiva (iii) para obter uma forma alternativa do produto 
vetorial:
 
(5)
A partir dos resultados em (2) e (4), (5) se simplifica para
 
(6)
x
k
i
j
y
z
Figura 1.49 Mnemônico no Exemplo 3.
40 CAPÍTULO 1 Vetores
Observamos que as componentes do vetor em (6) podem ser escritas como determi-
nantes de ordem 2:
 
(7)
Por sua vez, (7) pode ser escrita como um determinante de ordem 3:
 
(8)
A expressão no lado direito de (8) não é realmente um determinante, pois suas entra-
das não são todas escalares; (8) é simplesmente uma forma de lembrar a complicada 
expressão em (6).
Exemplo 4 Produto vetorial
Considere a � 4i – 2j � 5k e b � 3i � j – k. Determine a � b.
Solução � A partir de (8), temos
 ❏
A forma do produto vetorial dada em (7) nos permite demonstrar algumas das 
propriedades (i)�(viii). Por exemplo, para demonstrar (ii) escrevemos
Deixamos a demonstração da propriedade (iii) como um exercício.
Produtos especiais � O chamado produto escalar triplo de vetores a, b e c é 
a · (b � c). Agora,
Conseqüentemente, temos
 
(9)
Além disso, a partir das propriedades dos determinantes, temos
1.4 Produto Vetorial 41
O produto vetorial triplo de três vetores a, b e c é a � (b � c). Deixa-se como um 
exercício mostrar que
 
(10)
Áreas e volume � Dois vetores não-zero e não-paralelos a e b podem ser conside-
rados como sendo os lados de um paralelogramo. A área A de um paralelogramo 
é A � (base)(altura). A partir da Figura 1.50(a), vemos que A � ||b||(||a|| sen �) � 
||a||||b||sen �.
ou
 
(11)
Da mesma forma, a partir da Figura 1.50(b), vemos que a área de um triângulo com 
lados a e b é
 
(12)
De modo similar, se os vetores a, b e c não se estenderem no mesmo plano, então o 
volume do paralelepípedo com arestas a, b e c indicado na Figura 1.51 é
ou
 
(13)
Em decorrência do último resultado, o produto escalar triplo é algumas vezes denota-
do como produto caixa de a, b e c.
Exemplo 5 Área de um triângulo
Calcule a área de um triângulo determinado pelos pontos P1(1, 1, 1), P2(2, 3, 4) e 
P3(3, 0,�1).
Solução � Os vetores e podem ser tomados como dois lados de um tri-
ângulo. Como � i � 2j � 3k e � i – 3j – 5k, temos
A partir de (12), vemos que a área é
 
❏
Vetores coplanares � Vetores que se estendem no mesmo plano são ditos ser co-
planares. Vimos que se os vetores a, b e c não forem coplanares, então necessaria-
mente a · (b � c) � 0, pois o volume de um paralelepípedo com arestas a, b e c tem 
volume diferente de zero. De modo equivalente, isso significa que se a · (b � c) � 
0, então os vetores a, b e c são coplanares. Como o oposto dessa última afirmativa 
também é verdadeiro, temos
 se e somente se a, b e c forem coplanares
a
b
θ
||b||
||a|| θ
(a)
a
b
(b)
h = ||a|| sen
Figura 1.50 Área de um paralelogramo 
em (a); área de um triângulo em (b).
a
c
b
b × c
|compb ca|
Figura 1.51 Volume de um paralele-
pípedo.
42 CAPÍTULO 1 Vetores
Nos Problemas 1-10, determine a � b.
 1. 
 2. 
 3. 
 4. 
 5. 
 6. 
 7. 
 8. 
 9. 
 10. 
Nos Problemas 11 e 12, determine .
 11. 
 12. 
Nos Problemas 13 e 14, determine um vetor que seja perpendi-
cular a ambos a e b.
 13. 
 14. 
Nos Problemas 15 e 16, verifique que a · (a � b) � 0 e b · (a � 
b) � 0.
 15. 
 16. 
Nos Problemas 17 e 18, (a) calcule b � c seguido de a � (b � 
c). (b) Verifique os resultados do item (a) por meio de (10) dessa 
seção.
 17. 18. 
Nos Problemas 19-36, obtenha o escalar ou vetor indicados sem 
utilizar (8), (9) ou (10).
 19. 20. 
 21. 22. 
 23. 24. 
 25. 26. 
 27. 28. 
 29. 30. 
 31. 32. 
 33. 34. 
 35. 36. 
Nos Problemas 37-44, a � b � 4i – 3j � 6k e c � 2i � 4j – k. 
Determine o escalar ou vetor indicados.
 37. 38. 
 39. 40. 
 41. 42. 
 43. 44. 
Nos Problemas 45 e 46, (a) verifique que o quadrilátero dado é 
um paralelogramo e (b) determine a área do paralelogramo.
 45. z
y
x
(1, –3, 4) (0, 0, 4)
(2, 0, 0) (1, 3, 0)
Figura 1.52 Paralelogramo no Problema 45.
 46. 
(2, 0, 2)
(–2, 0, 3)
(–1, 4, 2)
(3, 4, 1)
x
y
z
Figura 1.53 Paralelogramo no Problema 46.
Nos Problemas 47-50, calcule a área do triângulo determinado 
pelos pontos indicados.
 47. 
Observações
Ao se trabalhar com vetores, deve-se ter cuidado para não misturar os símbolos ⋅ e � 
com os símbolos para multiplicação ordinária, e ser especialmente cuidadoso com o 
uso ou falta de uso dos parênteses. Por exemplo, expressões tais como
não são significativas ou bem-definidas.
EXERCÍCIOS 1.4 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 286.
1.5 Retas e Planos em Três Dimensões 43
 48. 
 49. 
 50. 
Nos Problemas 51 e 52, calcule o volume do paralelepípedo para 
o qual os vetores indicados têm três arestas.
 51. 
 52. 
 53. Determine se os vetores a � 4i � 6j, b � –2i � 6j – 6k e 
 são coplanares.
 54. Determine se os quatro pontos P1(1, 1,�2), P2(4, 0,�3), 
P3(1,�5, 10) e P4(�7, 2, 4) se estendem no mesmo plano.
 55. Conforme apresentado na Figura 1.54, o vetor a se estende 
no plano xy e o vetor b se estende ao longo do eixo z positi-
vo. Suas magnitudes são ||a|| � 6,4 e ||b|| 5.
(a) Use a Definição 1.4 para determinar ||a � b||.
(b) Utilize a regra da mão direita para obter a direção de a 
� b.
(c) Utilize o item (b) para expressar a � b em termos dos 
vetores unitários i, j, k.
b
a
x
y
z
60°
Figura 1.54 Vetores para o Problema 55.
 56. Dois vetores a e b se estendem no plano xz de modo que o 
ângulo entre eles é 120o. Se e ||b|| � 8, deter-
mine todos os valores possíveis de a � b.
 57. Um reticulado tridimensional é uma coleção de combinações 
inteiras de três bases de vetores não-coplanares a, b e c. Em 
cristalografia, um reticulado pode especificar a localização 
de átomos em um cristal. Estudos de difração por raios-X de 
cristais utilizam o “reticulado recíproco” que tem bases
(a) Um determinado reticulado tem bases de vetores a � 
i, b � j e . Determine bases de vetores 
para o reticulado recíproco.
(b) A célula unitária do reticulado recíproco é o paralelepípedo 
com arestas A, B e C, enquanto a célula unitária do reticu-
lado original é o paralelepípedo com arestas a, b e c. Mos-
tre que o volume da célula unitária do reticulado recíproco 
é o recíproco do volume da célula unitária do reticulado 
original. [Sugestão: Comece com B � C e utilize (10).]
 58. Use (7) para demonstrar a propriedade (iii) do produto ve-
torial.
 59. Prove a � (b � c) � (a · c)b – (a · b)c.
 60. Prove que a � (b � c) � (a � b) � c é válido ou não.
 61. Prove a · (b � c) � (a � b) · c
 62. Prove a � (b � c) � b � (c � a) � c � (a � b) � 0.
 63. Prove a identidade de Lagrange:
 64. a � b � a � c implicab � c?
 65. Mostre que (a � b) � (a – b) � 2b � a.
 1.5 Retas e planos em três dimensões
Introdução � Nessa seção, discutiremos como obter diversas equações de retas e 
planos em três dimensões.
Retas: equação vetorial � Como no plano, quaisquer dois pontos distintos em três 
dimensões determinam somente uma reta entre eles. Para obter uma equação através 
de P1(x1, y1, z1) e P1(x2, y2, z2), vamos assumir que P(x, y, z) é qualquer ponto na reta. 
Na Figura 1.55, se r � , r1 � e r2 � , vemos que o vetor a � r2 – r1 é 
paralelo ao vetor r – r2 . Assim,
 
(1)
Se escrevermos
 
(2)
então (1) implica uma equação vetorial para a reta igual a
O vetor a é denominado vetor direção da linha.
Como r – r1 é também paralelo a , uma equação vetorial alternativa para a reta 
é r � r1 � ta. De fato, r � r1 � t(�a) e r � r1 � t(ka), k um escalar não-zero, são 
também equações para .
r
x
y
a
z
a
O
P1(x1, y1, z1)
P2(x2, y2, z2)
P(x, y, z)
r – r2
r2
r1
Figura 1.55 Reta através de pontos 
distintos em três dimensões.
Forma alternativa 
da equação vetorial
44 CAPÍTULO 1 Vetores
Exemplo 1 Equação vetorial de uma reta
Determine uma equação vetorial para a reta através de (2,�1, 8) e (5, 6,�3).
Solução � Definimos a � 〈2 – 5, –1 –6, 8 – (–3)〉 � 〈– 3, –7, 11〉. As equações a 
seguir são três possíveis equações vetoriais para a linha:
 
(3)
 
(4)
 
(5) ❏
Equações paramétricas � Escrevendo (2) como
e igualando os componentes, obtemos
 
(6)
As equações em (6) são denominadas equações paramétricas para a linha através de P1 
e P2. Como o parâmetro t aumenta de�� a �, podemos imaginar o ponto P(x, y, z) tra-
çando a reta inteira. Se o parâmetro t estiver restrito a um intervalo fechado[t0, t1], então 
P(x, y, z) traça um segmento de reta iniciando no ponto correspondente a t0 e terminan-
do no ponto correspondente a t1. Por exemplo, na Figura 1.55, se –1 ≤ t ≤ 0, então P(x, y, 
z) traça o segmento de reta iniciando em P1(x1, y1, z1) e terminando em P2(x2, y2, z2).
Exemplo 2 Equações paramétricas de uma reta
Obtenha equações paramétricas para a reta no Exemplo 1.
Solução � De (3), segue-se que
 
(7)
Um conjunto alternativo de equações paramétricas pode ser obtido a partir de (5):
 
(8) ❏
Note que o valor t � 0 em (7) resulta em (2,�1, 8), enquanto que em (8) t ��1 
tem que ser utilizado para obter o mesmo ponto.
Exemplo 3 Vetor paralelo a uma reta
Determine um vetor a que seja paralelo à linha cujas equações paramétricas são x 
� 4 � 9t, y ��14 � 5t, z � 1 – 3t.
Solução � Os coeficientes (ou um múltiplo constante não-zero dos coeficientes) 
do parâmetro em cada equação são as componentes de um vetor que é paralelo a reta. 
Assim, a � 9i � 5j – 3k é paralelo a , sendo portanto um vetor direção da reta. ❏
Equações simétricas � De (6), observe que podemos evidenciar o parâmetro es-
crevendo
desde que os três números a1, a2 e a3 sejam não-zero. As equações resultantes
 
(9)
são ditas ser equações simétricas para a reta através de P1 e P2.
1.5 Retas e Planos em Três Dimensões 45
Exemplo 4 Equações simétricas de uma reta
Determine equações simétricas para a reta através de (4, 10,�6) e (7, 9, 2).
Solução � Definimos a1 � 7 – 4 � 3, a2 � 9 – 10 ��1 e a3 � 2 – (�6) � 8. De-
corre de (9) que as equações simétricas para a reta são
 
❏
Se um dos números a1, a2 e a3 for zero em (6), utilizamos as duas equações res-
tantes para eliminar o parâmetro t. Por exemplo, se a1 � 0, a2 � 0, a3 � 0, então (6) 
resulta em
Nesse caso,
 
são equações simétricas para a reta.
Exemplo 5 Equações simétricas de uma reta
Determine equações simétricas para a reta através de (5, 3, 1) e (2, 1, 1).
Solução � Definimos a1 � 5 – 2 � 3, a2 � 3 – 1 � 2 e a3 � 1 – 1 � 0. A partir da 
discussão anterior, decorre que as equações simétricas para a reta são
Em outras palavras, as equações simétricas descrevem uma reta no plano z � 1. ❏
Uma reta no espaço é também determinada especificando-se um ponto P1(x1, y1, 
z1) e um vetor direção não-zero a. Através do ponto P1, passa somente uma reta 
paralela ao vetor indicado. Se P(x, y, z) for um ponto na reta apresentada na Figura 
1.56, então, como antes,
Exemplo 6 Reta paralela a um vetor
Escreva equações simétricas, paramétricas e vetoriais para a reta através de (4, 6,�3) 
e paralela a a � 5i – 10j � 2k.
Solução � Com a1 � 5, a2 ��10 e a3 � 2, temos imediatamente
 
❏
Planos: equação vetorial � A Figura 1.57(a) ilustra o fato de que através de um 
dado ponto P1(x1, y1, z1) passa um número infinito de planos. Entretanto, como 
indicado na Figura 1.57(b), se um ponto P1 e um vetor n forem especificados, 
existe somente um plano contendo P1 com n normal ou perpendicular ao pla-
no. Além disso, se P(x, y, z) for qualquer ponto em , e , então, 
x
a
y
a
z
O
P(x, y, z)P1(x1, y1, z1)
Figura 1.56 Reta determinada por um 
ponto P e um vetor a.
46 CAPÍTULO 1 Vetores
como indicado na Figura 1.57(c), r – r1 está no plano. Segue-se que uma equação 
vetorial do plano é
 
(10)
)b()a(
n
n
n
(c)
P1(x1, y1, z1)
r – r1
P(x, y, z)
P1
Figura 1.57 Vetor n é perpendicular ao plano.
Equação cartesiana � Especificamente, se o vetor normal for n � ai � bj � ck, 
então (10) resulta em uma equação cartesiana do plano contendo P1(x1, y1, z1):
 
(11)
Exemplo 7 Plano perpendicular a um vetor
Determine uma equação do plano que contenha o ponto (4,�1, 3) e seja perpendicu-
lar ao vetor n � 2i � 8j – 5k.
Solução � Decorre imediatamente de (11) que a equação é
 
❏
A equação (11) pode sempre ser escrita como ax � by � cz � d � 0 identifi-
cando-se d ��ax1 –by1 – cz1. De modo oposto, demonstraremos agora que qualquer 
equação linear
 
nem todos zero
 
(12)
é um plano.
Plano com vetor normal
O gráfico de qualquer equação ax � by � cz � d � 0, a, b, c nem todos zero, é um 
plano com o vetor normal n � ai � bj � ck.
T E O R E M A 1 . 3
Demonstração Suponha que x0, y0 e z0 sejam números que satisfaçam a equação 
dada. Assim, ax0 � by0 � cz0 � d � 0 implica d ��ax0 –by0 – cz0. Substituir esse 
último valor de d na equação original resulta, após simplificação, em a(x – x0) � 
b(y – y0) � c(z – z0) � 0 ou, em termos de vetores,
Essa última equação implica que ai � bj � ck é normal ao plano contendo o ponto 
(x0, y0, z0) e o vetor (x – x0)i � (y – y0)j � (z – z0)k. ❏
Exemplo 8 Um vetor normal a um plano
Um vetor normal ao plano 3x – 4y � 10z – 8 � 0 é n � 3i – 4j � 10k. ❏
É claro, um múltiplo escalar não-zero de um vetor normal é ainda perpendicular 
ao plano.
1.5 Retas e Planos em Três Dimensões 47
Três pontos não-colineares P1, P2 e P3 também determinam um plano.* Para ob-
ter uma equação do plano, necessitamos apenas formar dois vetores entre dois pares 
de pontos. Conforme destacado na Figura 1.58, o produto vetorial dos vetores é um 
vetor normal ao plano contendo esses vetores. Se P(x, y, z) representar qualquer ponto 
no plano e r � , r1 � , r2 � , r3 � , então r – r1 (ou r – r2 ou r – r3) 
está no plano. Portanto,
 
(13)
é uma equação vetorial do plano. Não memorize a última fórmula. O procedimento é 
o mesmo que em (10) com a exceção de que o vetor n normal ao plano é obtido por 
meio do produto vetorial.
Exemplo 9 Três pontos que determinam um plano
Determine uma equação do plano que contém (1, 0,�1), (3, 1, 4) e (2,�2, 0).
Solução � Precisamos de três vetores. Juntando-se os pontos da esquerda resulta 
nos vetores da direita. A ordem na qual subtraímos é irrelevante.
Agora,
 
é um vetor normal ao plano contendo os pontos dados. Conseqüentemente, uma equa-
ção vetorial do plano é (u � v) · w � 0. A última equação resulta em
 ❏
Gráficos � O gráfico de (12) com um ou mesmo duas variáveis ausentes é ainda 
um plano. Por exemplo, vimos na Seção 1.2 que os gráficos de
onde x0, y0, z0 são constantes, são planos perpendiculares em relação aos eixos x, y e z, 
respectivamente. Em geral, pra traçar o gráfico de um plano, devemos tentar determinar
 (i) as interseções x, y e z e, se necessário,
 (ii) o traço doplano em cada plano coordenado.
Um traço de um plano em um plano coordenado é a reta de interseção do plano com 
um plano coordenado.
Exemplo 10 Gráfico de um plano
Trace o gráfico da equação 2x � 3y � 6z � 18.
Solução � 
As interseções x, y e z são 9, 6 e 3, respectivamente. Como apresentado na Figura 
1.59, utilizamos os pontos (9, 0, 0), (0, 6, 0) e (0, 0, 3) para traçar o gráfico do plano 
no primeiro octante. ❏
* Se você já se sentou em uma mesa de quatro pernas que balança, você poderia considerar substituí-
la por uma mesa de três pernas.
P
(r2 – r1) × (r3 – r1)
r3 – r1
r2 – r1
r – r1
P2
P3
P1
Figura 1.58 Vetores r2 – r1 e r3 – r1 es-
tão no plano, e o produto vetorial deles 
é normal ao plano.
y
x
z
2x + 3y + 6z = 18
Figura 1.59 Plano no Exemplo 10.
48 CAPÍTULO 1 Vetores
Exemplo 11 Gráfico de um plano
Trace o gráfico da equação 6x � 4y � 12.
Solução � Em duas dimensões, o gráfico da equação é uma reta com a interseção 
de x em 2 e a interseção de y em 3. Entretanto, em três dimensões, essa reta é o traço 
de um plano no plano coordenado xy. Como z não é especificado, ele pode ser qual-
quer número real. Em outras palavras, (x, y, z) é um ponto no plano desde que x e y 
estejam relacionados pela equação indicada. Conforme mostrado na Figura 1.60, o 
gráfico é um plano paralelo ao eixo z. ❏
Exemplo 12 Gráfico de um plano
Trace o gráfico da equação x � y – z � 0.
Solução � Observe primeiro que o plano passa pela origem (0, 0, 0). Agora, o traço 
do plano no plano xz (y � 0) é z � x, enquanto seu traço no plano yz (x � 0) é z � y. 
Traçar essas duas retas resulta no gráfico indicado na Figura 1.61. ❏
Dois planos e que não são paralelos tem que se interceptar em uma rela . 
Veja a Figura 1.62. O Exemplo 13 ilustrará uma forma de se obter equações paramé-
tricas para a reta de interseção. No Exemplo 14, veremos como determinar um ponto 
de interseção (x0, y0, z0) de um plano e uma reta . Veja a Figura 1.63.
Exemplo 13 Reta de interseção de dois planos
Determine equações paramétricas para a reta de interseção de
Solução � Em um sistema de duas equações e três incógnitas, escolhemos uma 
variável arbitrariamente, por exemplo, z � t, e resolvemos em relação a x e a y a 
partir de
Prosseguindo, obtemos x � 14 � 7t, y � 9 � 6t, z � t. Essas são equações paramé-
tricas para a reta de interseção dos planos dados. ❏
Exemplo 14 Ponto de interseção de uma reta e um plano
Determine o ponto de interseção do plano 3x – 2y � z ��5 e a reta x � 1 � t, y ��2 
� 2t, z � 4t.
Solução � Se (x0, y0, z0) representa o ponto de interseção, então temos que ter 3x0 
– 2y0 � z0 ��5 e x0 � 1 � t0, y0 ��2 � 2t0, z0 � 4t0, para algum número t0. Substi-
tuindo as últimas equações na equação do plano, temos
A partir das equações paramétricas para a reta, obtemos então x0 ��3, y0 ��10 e z0 
��16. O ponto de interseção é (�3,�10,�16). ❏
z
y
x
6x + 4y = 12
Figura 1.60 Plano no Exemplo 11.
x
y
z
x + y – z = 0
Figura 1.61 Plano no Exemplo 12.
1
2
Figura 1.62 Planos se interceptam em 
uma reta.
(x0, y0, z0)
Figura 1.63 Ponto de interseção de um 
plano e uma reta.
1.5 Retas e Planos em Três Dimensões 49
Nos Problemas 1-6, determine uma equação vetorial para a reta 
através dos pontos indicados.
 1. 2. 
 3. 4. 
 5. 6. 
Nos Problemas 7-12, determine equações paramétricas para a 
reta através dos pontos indicados.
 7. 8. 
 9. 10. 
 11. 12. 
Nos Problemas 13-18, determine equações simétricas para a reta 
através dos pontos indicados.
 13. 14. 
 15. 16. 
 17. 18. 
Nos Problemas 19-22, determine equações paramétricas e simétri-
cas para a reta através do ponto indicado paralelo ao vetor dado.
 19. 
 20. 
 21. 
 22. 
 23. Determine equações paramétricas para a reta através de (6, 
4,�2) que seja paralela à reta x/2 � (1 – y)/3 � (z – 5)/6.
 24. Determine equações simétricas para a reta através de 
(4,�11,�7) que seja paralela à reta x � 2 � 5t, y ��1 � , 
z � 9 – 2t.
 25. Determine equações paramétricas para a reta através de 
(2,�2, 15) que seja paralela ao plano xz e ao plano xy.
 26. Determine equações paramétricas para a reta através de (1, 
2, 8) que seja (a) paralela ao eixo y e (b) perpendicular ao 
plano xy.
 27. Mostre que as retas dadas por r � t〈1, 1, 1〉 e r � 〈6, 6, 6〉 � 
t〈�3,�3,�3〉 são as mesmas.
 28. Considere e retas com vetores direção a e b, respec-
tivamente. e serão ortogonais se a e b forem ortogo-
nais, e paralelas se a e b forem paralelas. Determine quais 
das seguintes retas são ortogonais e quais são paralelas.
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
Nos Problemas 29 e 30, determine os pontos de interseção da 
reta indicada e os três planos coordenados.
 29. 
 30. 
Nos Problemas 31-34, determine se as retas dadas se intercep-
tam. Em caso positivo, calcule o ponto de interseção.
 31. 
 32. 
 33. 
 34. 
O ângulo entre duas retas e é o ângulo entre seus vetores 
direção a e b. Nos Problemas 35 e 36, determine o ângulo entre 
as retas indicadas.
 35. 
 36. 
Nos Problemas 37 e 38, as retas dadas se estendem no mesmo 
plano. Determine equações paramétricas para a reta através do 
ponto indicado que seja perpendicular a esse plano.
 37. 
 38. 
Nos Problemas 39-44, determine uma equação do plano que con-
tenha o ponto indicado e seja perpendicular ao vetor dado.
 39. 
 40. 
 41. 
 42. 
 43. 
 44. 
Nos Problemas 45-50, determine, se possível, uma equação de 
um plano que contenha os pontos indicados.
 45. 
 46. 
 47. 
EXERCÍCIOS 1.5 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 286.
50 CAPÍTULO 1 Vetores
 48. 
 49. 
 50. 
Nos Problemas 51-60, determine uma equação do plano que sa-
tisfaça as seguintes condições.
 51. Contenha (2, 3,�5) e seja paralelo a x � y – 4z � 1
 52. Contenha a origem e seja paralelo a 5x – y � z � 6
 53. Contenha (3, 6, 12) e seja paralelo ao plano xy
 54. Contenha (�7,�5, 18) e seja perpendicular ao eixo y
 55. Contenha as retas x � 1 � 3t, y � 1 – t, z � 2 � t; x � 4 � 
4s, y � 2s, z � 3 � s
 56. Contenha as retas 
 
 57. Contenha as retas paralelas: x � 1 � t, y � 1 � 2t, z � 3 � 
t; x � 3 � s, y � 2s, z ��2 � s
 58. Contenha o ponto (4, 0,�6) e a reta x � 3t, y � 2t, z ��2t
 59. Contenha (2, 4, 8) e seja perpendicular à reta x � 10 – 3t, y 
� 5 � t, z � 6 
 60. Contenha (1, 1, 1) e seja perpendicular à reta através de (2, 
6,�3) e (1, 0,�2)
 61. Considere e planos com vetores normais n1 e n2, res-
pectivamente. e serão ortogonais se n1 e n2 forem orto-
gonais, e paralelos se n1 e n2 forem paralelos. Determine quais 
dos seguintes planos são ortogonais e quais são paralelos.
(a) (b) 
(c) (d) 
(e) (f) 
 62. Determine equações paramétricas para a reta que contém 
(�4, 1, 7) e seja perpendicular ao plano –7x � 2y � 3z � 1.
 63. Determine quais dos seguintes planos são perpendiculares à 
reta x � 4 – 6t, y � 1 � 9t, z � 2 � 3t.
(a) (b) 
(c) (d) 
 64. Determine quais dos seguintes planos são paralelos à reta 
(1 – x)/2 � (y � 2)/4 � z – 5.
(a) (b) 
(c) (d) 
Nos Problemas 65-68, obtenha equações paramétricas para a reta 
de interseção dos planos indicados.
 65. 66. 
 67. 68. 
Nos Problemas 69-72, obtenha o ponto de interseção do plano e 
da reta indicados.
 69. 
 70. 
 71. 
 72. 
Nos Problemas 73 e 74, obtenha equações paramétricas para 
a reta através do ponto indicado que seja paralelo aos planos 
dados.
 73. 
 74. 
Nos Problemas 75 e 76, obtenha uma equação do plano que con-
tém a reta dada e seja ortogonal ao plano indicado.
 75. 
 76. 
Nos Problemas 77-82, trace o gráfico da equação indicada.
 77. 78. 
 79. 80. 
 81. 82. 
 1.6 Espaços vetoriais
Introdução � Nas seções anteriores, trabalhamos com pontos e vetores em espaços de 
duas e três dimensões. Matemáticos no século dezenove, de forma especial os matemá-
ticos ingleses Arthur Cayley (1821 – 1895) e James Joseph Sylvester (1814 – 1897) e o 
matemático irlandês William Rowan Hamilton (1805 – 1865), perceberam que os con-
ceitos de ponto e vetor poderiam ser generalizados.Mostrou-se que os vetores poderiam 
ser descritos ou definidos por propriedades analíticas ao invés de propriedades geomé-
tricas. Tal fato se constituiu em um avanço verdadeiramente significativo na história da 
matemática. Não há necessidade de pararmos em três dimensões; quádruplos 〈a1, a2, a3, 
a4〉, quíntuplos 〈a1, a2, a3, a4, a5〉 e enuplas 〈a1, a2,..., an〉 ordenados de números reais po-
dem ser pensados tanto como vetores quanto pares ordenados 〈a1, a2〉 e triplos ordenados 
〈a1, a2, a3〉, a única diferença estando no fato de perdermos nossa habilidade de visualizar 
diretamente segmentos de reta ou setas em espaços de 4, 5 ou n dimensões.
Espaço � n Em termos formais, um vetor em um espaço n é qualquer enupla 
a � 〈a1, a2,..., an〉 de números reais denominados de componentes de a. O conjunto 
1.6 Espaços Vetoriais 51
de todos vetores em um espaço n é representado por Rn. Os conceitos de adição veto-
rial, multiplicação escalar, igualdade e assim por diante, listados na Definição 1.2, se 
aplicam a Rn de modo natural. Por exemplo, se a � 〈a1, a2,..., an〉 e b � 〈b1, b2,..., bn〉, 
então a adição e a multiplicação escalar no espaço n são definidas por
 
(1)
O vetor zero em Rn é 〈0, 0...,0〉. O conceito de comprimento de um vetor a � 〈a1, a2,..., 
an〉 no espaço n é apenas uma extensão daquele conceito em duas e três dimensões:
O comprimento de um vetor é também denominado de norma. Um vetor unitário é 
um vetor cuja norma é 1. Para um vetor não-zero a, o processo de construção de um 
vetor unitário u multiplicando-se a pelo recíproco da sua norma, isto é, , 
é referido como normalização de a. Por exemplo, se a � 〈3, 1, 2,�1〉, então ||a|| � 
, e um vetor unitário é
O produto interno padrão, também conhecido como produto interno eucli-
diano ou produto escalar, de dois vetores de ordem n a � 〈a1, a2,..., an〉 e b � 〈b1, 
b2,..., bn〉 é o número real definido por
 
(2)
Dois vetores não-zero a e b em Rn são ditos ser ortogonais se e somente se a · b � 0. 
Por exemplo, a � 〈3, 4, 1,�6〉 e são ortogonais em R4 pois a · b � 3 · 
1 �4 · � 1 · 1 � (�6) · 1 � 0.
Espaço vetorial � Podemos ir além da notação de um vetor como uma enupla orde-
nada em Rn. Um vetor pode ser definido como qualquer coisa que queiramos que seja: 
uma enupla ordenada, um número, um conjunto de números ou mesmo uma função. 
Porém, estamos particularmente interessados em vetores que sejam elementos em um 
tipo especial de conjunto chamado espaço vetorial. Dois tipos de objetos, vetores e es-
calares, e duas operações algébricas análogas àquelas indicadas em (1) são fundamen-
tais à notação do espaço vetorial. Para um conjunto de vetores, queremos ser capazes 
de adicionar dois vetores nesse conjunto e obter outro vetor no mesmo conjunto, e que-
remos multiplicar um vetor por um escalar e obter um vetor no mesmo conjunto. Para 
que um conjunto de objetos esteja em um espaço vetorial, é necessário que o conjunto 
possua essas duas operações algébricas junto com determinadas outras propriedades. 
Essas propriedades, os axiomas de um espaço vetorial, são apresentadas a seguir.
Espaço vetorial
Considere V como sendo um conjunto de elementos no qual duas operações deno-
minadas adição vetorial e multiplicação escalar estão definidas. Assim, V é dito 
ser um espaço vetorial se as dez propriedades a seguir são satisfeitas.
Axiomas para adição vetorial:
 (i) Se x e y estão em V, então x � y está em V.
 (ii) Para todo x, y em V, x � y � y � x. (Lei comutativa)
 (iii) Para todo x, y, z em V, x � (y � z) � (x � y) � z. (Lei associativa)
 (iv) Existe um único vetor 0 em V tal que
 0 � x � x � 0 � 0. (vetor zero)
 (v) Para cada x em V, existe um vetor –x tal que
 x � (�x) � (�x) � x � 0. (Negativo de um vetor)
D E F I N I Ç Ã O 1 . 5
52 CAPÍTULO 1 Vetores
Axiomas para a multiplicação escalar:
 (vi) Se k for qualquer escalar e x estiver em V, então kx estará em V
 (vii) k(x � y) � kx � ky (Lei distributiva)
 (viii) (k1 � k2)x � k1x � k2x (Lei distributiva)
 (ix) k1(k2x) � (k1k2)x
 (x) 1x � x
Nesta breve introdução para a simplificação de vetores, tomaremos os escalares 
na Definição 1.5 como sendo números reais. Nesse caso, V é referido como um es-
paço vetorial real, apesar de não insistirmos nesse termo. Quando se permite que os 
escalares sejam números complexos, obtemos um espaço vetorial complexo. Como 
as propriedades (i)-(viii) na página 22 são os protótipos para os axiomas na Definição 
1.5, é claro que R2 é um espaço vetorial. Além disso, como os vetores em R3 e Rn têm 
essas mesmas propriedades, concluímos que R3 e Rn são também espaços vetoriais. 
Os axiomas (i) e (vi) são chamados de axiomas de fechamento, e dizemos que um 
espaço vetorial V está fechado sob adição vetorial e multiplicação escalar. Observe, 
também, que conceitos tais como comprimento e produto interno não são parte da 
estrutura axiomática de um espaço vetorial.
Exemplo 1 Checagem dos axiomas de fechamento
Determine se os conjuntos (a) V � {1} e (b) V � {0} sob adição e multiplicação 
ordinárias por números reais são espaços vetoriais.
Solução � (a) Para esse sistema constituído por um elemento, muitos dos axiomas 
dados na Definição 1.5 são violados. Em particular, os axiomas (i) e (vi) de fecha-
mento não são satisfeitos. Nem a soma 1 � 1 � 2, nem o múltiplo escalar k · 1 � k, 
para k � 1, estão em V. Portanto, V não é um espaço vetorial.
(b) Nesse caso, os axiomas de fechamento são satisfeitos, pois 0 � 0 � 0 e 
k · 0 � 0 para qualquer número real k. Os axiomas comutativo e associativo são 
satisfeitos, pois 0 � 0 � 0 � 0 e 0 � (0 � 0) � (0 � 0) � 0. Dessa maneira, e fácil 
verificar que os axiomas restantes são também satisfeitos. Portanto, V é um espaço 
vetorial. ❏
O espaço vetorial V � {0} é muitas vezes chamado de espaço vetorial trivial 
ou zero.
Se essa for a sua primeira experiência com o conceito de um vetor simplifica-
do, então aconselhamos que você não leve os nomes adição vetorial e multiplicação 
escalar tão ao pé da letra. Essas operações são definidas e você tem que aceitá-las 
apesar de elas não serem semelhantes à compreensão usual de adição e multiplicação 
ordinárias em, digamos, R, R2, R3 ou Rn. Por exemplo, a adição de dois vetores x e y 
poderia ser x – y. Com esse aviso prévio, considere o próximo exemplo.
Exemplo 2 Um exemplo de um espaço vetorial
Considere o conjunto V de números reais positivos. Se x e y denotarem números reais 
positivos, então escrevemos vetores em V como x � x e y � y. Agora a adição de 
vetores é definida por
e a multiplicação escalar é definida por
Determine se V é um espaço vetorial.
1.6 Espaços Vetoriais 53
Solução � Avaliaremos todos os dez axiomas.
 (i) Para x � x � 0 e y � y � 0, x � y � xy � 0. Assim, a soma x � y está em 
V; V está fechado sob adição.
 (ii) Como a multiplicação de números reais positivos é comutativa, temos para 
todo x � x e y � y em V, x � y � xy � yx � y � x. Assim, a adição é 
comutativa.
 (iii) Para todo x � x, y � y, z � z em V,
x � (y � z) � x(yz) � (xy)z � (x � y) � z.
Dessa forma, a adição é associativa.
 (iv) Como 1 � x � 1x � x � x e x � 1 � x1 � x � x, o vetor zero 0 é 1 � 1.
 (v) Se definirmos , então
Portanto, o negativo de um vetor é seu recíproco.
 (vi) Se k for qualquer escalar e x � x � 0 for qualquer vetor, então kx � xk � 
0. Conseqüentemente, V está fechado sob multiplicação escalar.
 (vii) Se k for qualquer escalar, então
 (viii) Para escalares k1 e k2,
 (ix) Para escalares k1 e k2,
 (x) 1x � x1 � x � x.
Como todos os axiomas da Definição 1.5 foram satisfeitos, concluímos que V é um 
espaço vetorial. ❏
A seguir são indicados alguns espaços vetoriais importantes – mencionamos al-
guns deles anteriormente. As operações de adição vetorial e multiplicação escalar são 
as operações usuais associadas com o conjunto.
O conjunto • R de números reais
O conjunto • R2 de pares ordenados
O conjunto • R3 de triplos ordenados
O conjunto • Rn de enuplas ordenadas
O conjunto • Pn de polinômios de grau menor ou igual a n
O conjunto• P de todos os polinômios
O conjunto de funções reais • f definidas por todo o eixo real
O conjunto • C[a, b] de funções reais f contínuas no intervalo fechado a ≤ x ≤ b
O conjunto • C(��,�) de funções reais f contínuas por todo o eixo real
O conjunto • Cn[a, b] de todas as funções reais f para as quais f, f ¿, f –,..., f (n) 
existem e são contínuas no intervalo [a, b]
Subespaço � Pode ocorrer de um subconjunto de vetores W de um espaço vetorial 
V ser por si só um espaço vetorial.
 Subespaço
Se um subconjunto W de um espaço vetorial V for por si só um espaço vetorial su-
jeito às operações de adição vetorial e multiplicação escalar definidas em V, então 
W é denominado um subespaço de V.
D E F I N I Ç Ã O 1 . 6
54 CAPÍTULO 1 Vetores
Todo espaço vetorial V tem ao menos dois subespaços: o próprio V e o subespaço 
zero{0}; {0}é um subespaço, pois o vetor zero tem que ser um elemento em todo 
espaço vetorial.
Para mostrar que um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespa-
ço, não é necessário demonstrar que todos os dez axiomas da Definição 1.5 são sa-
tisfeitos. Como todos os vetores em W estão também em V, esses vetores tem que 
satisfazer axiomas tais como (ii) e (iii). Em outras palavras, W herda a maioria das 
propriedades de um espaço vetorial a partir de V. Como indica o próximo teorema, 
precisamos somente checar os dois axiomas de fechamento para demonstrar que um 
subconjunto W é um subespaço de V.
Critério para um subespaço
Um subconjunto não-vazio W de um espaço vetorial V é um subconjunto de V se e 
somente se W for fechado sob adição vetorial e multiplicação escalar definidas em V:
 (i) Se x e y estiverem em W, então x � y estará em W.
 (ii) Se x estiver em W e k for qualquer escalar, então kx estará em W.
T E O R E M A 1 . 4
Exemplo 3 Um subespaço
Suponha f e g funções reais contínuas definidas por todo o eixo real. Então sabemos 
do cálculo que f � g e kf, para qualquer número real k, são funções contínuas e reais. 
A partir disso, podemos concluir que C(��,�) é um subespaço do espaço vetorial de 
funções reais definidas por todo o eixo real. ❏
Exemplo 4 Um subespaço
O conjunto Pn de polinômios de grau menor ou igual a n é um subespaço de C(��,�), 
o conjunto de funções reais contínuas por todo o eixo real. ❏
É sempre uma boa idéia ter visualizações concretas de espaços e subespaços 
vetoriais. Os subespaços do espaço vetorial R3 de vetores tridimensionais podem ser 
facilmente visualizados pensando-se o vetor como um ponto (a1, a2, a3). Obviamen-
te, {0} e R3 por si só são subespaços; outros subespaços são todas as retas passando 
pela origem e todos os planos passando pela origem. As retas e planos tem que 
passar através da origem, pois o vetor zero 0 � (0, 0, 0) tem que ser um elemento 
em cada subespaço.
Independência linear
Um conjunto de vetores {x1, x2,..., xn} é dito ser linearmente independente se as 
únicas constantes que satisfazem a equação
 
(3)
forem k1 � k2 �... � kn � 0. Se o conjunto de vetores não for linearmente indepen-
dente, então ele é dito ser linearmente dependente.
D E F I N I Ç Ã O 1 . 7
Em R3, os vetores i � 〈1, 0, 0〉, j � 〈0, 1, 0〉 e k � 〈0, 0, 1〉 são linearmente inde-
pendentes, pois a equação k1i � k2j � k3k � 0 é igual a
Pela igualdade de vetores, (ii) da Definição 1.2, concluímos que k1 � 0, k2 � 0 e k3 
� 0. Na Definição 1.7, dependência linear significa que existem constantes k1, k2,..., 
kn nem todas zero, de modo que k1x1 � k2x2 �... � knxn � 0. Por exemplo, em R
3
 os 
1.6 Espaços Vetoriais 55
vetores a � 〈1,1,1〉, b � 〈2,�1,4〉 e c � 〈5,2,7〉 são linearmente dependentes, pois (3) 
é satisfeito quando k1 � k2 � 1 e k3 ��1:
Observamos que dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles for um 
múltiplo constante do outro.
Base � Qualquer vetor em R3 pode ser escrito como uma combinação linear dos 
vetores linearmente independentes i, j e k. Na Seção 1.2, dizemos que esses vetores 
formam uma base para o sistema de vetores tridimensionais.
Base para um espaço vetorial
Considere um conjunto de vetores B � {x1, x2,..., xn} em um espaço vetorial V. Se 
o conjunto B for linearmente independente e se todo vetor em V puder ser escrito 
como uma combinação linear desses vetores, então B é dito ser uma base para V.
D E F I N I Ç Ã O 1 . 8
Bases padrão � Apesar de não sermos capazes de demonstrar isso nesse curso, 
todo espaço vetorial possui uma base. O espaço vetorial Pn de todos os polinômios 
de grau menor ou igual a n tem a base {1, x, x2,..., xn}, pois qualquer vetor (polinô-
mio) p(x) de grau n ou menor pode ser escrito como a combinação linear p(x) � cnxn 
�... � c2x
2
 � c1x � c0. Um espaço vetorial pode ter muitas bases. Mencionamos 
anteriormente que o conjunto de vetores {i, j, k} é uma base para R3. Porém, pode-se 
demonstrar que {u1, u2, u3}, onde
é um conjunto linearmente independente (veja o Problema 23 nos Exercícios 1.6) e, 
além disso, mesmo o vetor a � 〈a1, a2, a3〉 pode ser escrito como uma combinação 
linear a � c1u1 � c2u2 � c3u3. Portanto, o conjunto de vetores é outra base para R3. 
De fato, qualquer conjunto de três vetores linearmente independentes é uma base para 
aquele espaço. Entretanto, o conjunto {i, j, k} é referido como a base padrão para R3. 
A base padrão para o espaço Pn é, obviamente, {1, x, x2,..., xn}. Para o espaço vetorial 
Rn, a base padrão consiste dos n vetores
 
(4)
Se B for uma base para um espaço vetorial V, então para todo vetor v em V existem 
escalares ci, i � 1, 2,..., n de modo que
 
(5)
Os escalares ci, i � 1, 2,..., n na combinação linear (5) são chamados de coordenadas 
de v relativas à base B. Em Rn, a notação da enupla 〈a1, a2,..., an〉 para um vetor a sig-
nifica que números reais a1, a2,..., an são as coordenadas de a relativas à base padrão 
com ei’s na ordem exata indicada em (4).
Dimensão � Se um espaço vetorial V tem uma base B constituída por n vetores, 
então pode-se demonstrar que toda base para aquele espaço tem que conter n vetores. 
Isso nos leva à próxima definição.
Dimensão de um espaço vetorial
O número de vetores em uma base B para um espaço vetorial V é dito ser a dimen-
são do espaço.
D E F I N I Ç Ã O 1 . 9
Exemplo 5 Dimensões de alguns espaços vetoriais
(a) Em concordância com a nossa intuição, as dimensões dos espaços vetoriais R, R2, 
R3 e Rn são, respectivamente, 1, 2, 3 e n.
Leia diversas vezes 
a última sentença.
56 CAPÍTULO 1 Vetores
(b) Como existem n � 1 vetores na base padrão B � {1, x, x2,..., xn}, as dimensões do 
espaço vetorial Pn de polinômios de grau menor ou igual a n é n � 1.
(c) Ao espaço vetorial zero {0} é dada consideração especial. Esse espaço contém 
somente 0, e como {0} é um conjunto linearmente dependente, ele não é uma 
base. Nesse caso, é comum tomarmos o conjunto vazio como a base e definirmos 
a dimensão de {0} como zero. ❏
Se a base de um espaço vetorial contiver um número finito de vetores, então 
dizemos que o espaço vetorial é de dimensão finita, do contrário é de dimensão 
infinita. A função espaço Cn(I) de n vezes funções diferenciáveis contínuas em um 
intervalo I é um exemplo de um espaço vetorial de dimensão infinita.
Equações diferenciais lineares � Considere a equação diferencial linear homogê-
nea de ordem n
 
(6)
em um intervalo I no qual os coeficientes sejam contínuos e an(x) � 0 para todo x 
no intervalo. Uma solução y1 de (6) é necessariamente um vetor no espaço vetorial 
Cn(I). Além disso, que se y1 e y2 são soluções de (6), então a soma y1 � y2 e qualquer 
múltiplo constante ky1 são também soluções. Como o conjunto solução é fechado 
sob adição e multiplicação escalar, decorre do Teorema 1.4 que o conjunto solução 
de (6) é um subespaço de Cn(I). Por conseguinte, o conjunto solução de (6) merece 
ser chamado de espaço solução da equação diferencial. Sabemos também que se {y1, 
y2,..., yn} são soluções linearmente independentes de (6), então sua solução geral da 
equação diferencial é a combinação linear
Relembre que qualquer solução da equação