Revisão de Matemática Ensino Médio

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REVISÃO MATEMÁTICA 
 Esta parte trata de uma revisão de assuntos vistos no ensino fundamental e 
médio, necessários ao entendimento da economia em nível básico. 
1. PRODUTO CARTESIANO. 
Dados dois conjuntos A e B, não vazios. Chamamos de AXB (Lê-se: “A 
cartesiano B”), ao conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) tal que x∈A e 
y∈B. 
Exemplo: dados A = {2, 6} e B = {1, 3, 5, 8} para determinar AXB basta 
conectar todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do conjunto B, 
seguindo essa ordem, assim: A X B = {(2,1), (2,3), (2,5), (2,8), (6,1), (6,3), (6,5), (6,8)} 
 
2. NÚMERO DE ELEMENTOS DE AXB. 
Sejam dois conjuntos, A com n(A) elementos e B com n(B) elementos. Para 
calcular o número de elementos de AXB, ou seja, n(AXB) basta fazer o produto 
n(A).n(B). n(AXB) = n(A).n(B) 
Do exemplo anterior: n(AXB) = n(A).n(B) = 2 . 4 = 8 elementos. 
 
3. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 
 
Plano cartesiano 
A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René 
Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, 
ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa. 
Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa 
correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). 
Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto, reta, circunferência) e 
da Álgebra ( relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações 
algébricas e expressar algebricamente representações gráficas. 
Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes: 
 
 
Exemplos: 
• A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0) 
• B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0) 
Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum 
quadrante.Distância entre dois pontos 
Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, 
temos: 
 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem: 
 
Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5): 
 
 
 
4. EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU 
(com uma variável) 
Introdução 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de 
igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". 
Exemplos: 
2x + 8 = 0 
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0 
Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x - 5 < 3 (Não é igualdade) 
 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
A equação geral do primeiro grau: 
ax+b = 0 
onde a e b são números conhecidos e a ≠ 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b 
dos dois lados, obtemos: 
ax = -b 
dividindo agora por a (nos dois lados), temos: 
 
Considere a equação 2x - 8 = 3x -10 
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida". 
Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 
1º membro, e o que sucede, 2º membro. 
 
 
 Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. 
 
 
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na 
forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. 
 
 
Equações de primeiro grau 
(com duas variáveis) 
 
 Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y 
 
 Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, pode ser transformada numa 
equação equivalente mais simples. Assim: 
 2x + 3y = 5 + 6 
 2x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c . 
 
Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação 
que pode ser reproduzida à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes 
de zero, simultaneamente. 
 
 Na equação ax + by = c, denominamos: 
x + y - variáveis ou incógnita 
a - coeficiente de x 
b - coeficiente de y 
c - termo independente 
 
 Exemplos: 
x + y = 30 
2x + 3y = 15 
x - 4y = 10 
-3x - 7y = -48 
2x- 3y = 0 
x - y = 8 
 
 Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis 
 Quais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira? 
 Observe os pares abaixo: 
 x = 6, y = 1 
x - 2y = 4 
6 - 2 . 1 = 4 
6 - 2 = 4 
4 = 4 (V) 
 
 x = 8, y = 2 
x - 2y = 4 
8 - 2 . 2 = 4 
8 - 4 = 4 
4 = 4 (V) 
 
 x = -2, y = -3 
x - 2y = 4 
-2 - 2 . (-3) = 4 
-2 + 6 = 4 
4 = 4 (V) 
 
 Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4. 
 Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação. 
 Uma equação do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) - , 
sendo, portanto, seu conjunto universo ×. 
 Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das 
variáveis, calculando a seguir o valor da outra. Exemplo: 
• Determine uma solução para a equação 3x - y = 8. 
 Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim: 
3x - y = 8 ⇒ 3(1) - y = 8. 
Daí 3 - y = 8. Então -y = 5. 
Multiplicamos por -1 vem -y = 5.