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MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 1. Integração de Potências de Seno e Cosseno Conforme as potências, analisando se são pares ou ímpares, há quatro casos a considerar: Caso 1: ����� ��� � ou �� �� ��� �, onde � é um inteiro ímpar: Neste caso, escrevemos: �� � ��� = �� � ������ � � ou ���� ��� = ���� �������� � Em seguida, utilizamos a identidade ���� + ����� = �, isolando adequadamente um termo, de forma a realizar a substituição necessária. Caso 2: ����� ���� �� ��� �, onde pelo menos um dos expoentes, � ou �, é um inteiro ímpar: Neste caso, a solução é semelhante ao caso 1. Escrevemos �� � ������� ��� = �� � ������� ����� ��� � ou �� � ������� ��� = ���� ����� � ������ � � Em seguida, utilizamos a identidade ���� + ����� = �, isolando adequadamente um termo, de forma a realizar a substituição necessária. Caso 3: ����� ��� � ou �� �� ��� �, onde � é um inteiro par: Neste caso, escrevemos: �� � ��� = �� � �����. �� � ��� ou ���� ��� = ���� ��������� ��� Na sequência, utilizamos adequadamente, uma das identidades: ���� = ���� ��� ou ��� �� = ���� ��� Caso 4: ����� ���� �� ��� �, onde � e � são inteiros pares: Neste caso, escrevemos: �� � ������� ��� = �� � ������� � ������� ��������� ��� Na sequência, utilizamos adequadamente, uma das identidades: ���� = ���� ��� ou ��� �� = ���� ��� 2. Integração de Potências de Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante: Conforme as potências e as funções trigonométricas envolvidas, há seis casos a considerar. As seguintes fórmulas envolvem as funções tangente, cotangente, secante e cossecante: � !" � #� = ln | � � �| + ' � ��!" � #� = ln | � � �| + ' � � � � #� = ln | � � � + !" �| + ' � ��� � � #� = ln | ��� � � − ��!" �| + ' � � �� � #� = !" � + ' � ��� �� � #� = −��!" � + ' � � � � . !" � #� = � � � � ��� � � . ��!" � #� = −��� � � + ' Assim como as seguintes identidades também envolvem: 1 + !"�� = � ��� 1 + ��!"�� = ��� ��� Estas relações permitem calcular integrais da forma: � *+�� ∙ �� �� � e � �*+�� ∙ ��� �� �, onde � e � são inteiros não negativos. Caso 1: � *+�� � e � �*+�� �, onde � é um inteiro positivo: Neste caso, escrevemos: !"�� = !"���� ∙ !"�� = !"���� ∙ �� ��� − 1� ou ��!"�� = ��!"���� ∙ ��!"�� = ��!"���� ∙ ���� ��� − 1� E em seguida, utilizamos adequadamente uma das integrais citadas acima. Caso 2: � �� �� � e � ��� �� �, onde � é um inteiro par positivo: Neste caso, escrevemos: � ��� = � ����� ∙ � ��� = �!"�� + 1������/�� ��� ou ��� ��� = ��� ����� ∙ ��� ��� = ���!"�� + 1������/���� ��� E em seguida, utilizamos adequadamente uma das integrais citadas acima. Caso 3: � �� �� � e � ��� �� �, onde � é um inteiro ímpar positivo: Neste caso, é necessário utilizar integração por partes, escolhendo adequadamente as substituições. Caso 4: � *+�� ∙ �� �� � e � �*+�� ∙ ��� �� �, onde � é um inteiro ímpar positivo: Neste caso, escrevemos: !"�� ∙ � ��� = !"�� ∙ � ����� ∙ � ��� = !"�� ∙ �!"�� + 1������/�� ��� ou ��!"�� ∙ ��� ��� = ��!"�� ∙ ��� ����� ∙ ��� ��� = ��!"�� ∙ ���!"�� + 1������/���� ��� E em seguida, utilizamos adequadamente uma das integrais citadas acima, aplicando o método de substituição. Caso 5: � *+�� ∙ �� �� � e � �*+�� ∙ ��� �� �, onde � é um inteiro ímpar positivo: Neste caso, escrevemos: !"�� ∙ � ��� = !"���� ∙ � ����� ∙ �!" � ∙ sec �� !"�� ∙ � ��� = �� ��� − 1������/� ∙ � ����� ∙ �!" � ∙ sec �� ou ��!"�� ∙ ��� ��� = ��!"���� ∙ ��� ����� ∙ ���!" � ∙ cosec �� ��!"�� ∙ ��� ��� = ���� ��� − 1������/� ∙ ��� ����� ∙ ���!" � ∙ cosec �� E em seguida, utilizamos adequadamente uma das integrais citadas acima, aplicando o método de substituição. Caso 6: � *+�� ∙ �� �� � e � �*+�� ∙ ��� �� �, onde � é um inteiro par positivo e � é um inteiro ímpar positivo: Neste caso, o integrando pode ser expresso em termos de potências ímpares de secante ou cossecante. Escrevemos: !"�� ∙ � ��� = �� ��� − 1������/� ∙ � ��� ou ��!"�� ∙ ��� ��� = ���� ��� − 1������/� ∙ ��� ��� Neste caso, é necessário utilizar integração por partes, escolhendo adequadamente as substituições. 3. Integração por Substituição Trigonométrica Utilizada, de uma forma geral, quando o integrando contém expressões do tipo √3� − ��, √3� + �� ou √�� − 3�, onde 3 > 0. Caso 1: O integrando contém uma expressão da forma √3� − ��, com 3 > 0. Introduziremos uma nova variável 7, considerando � = 3 � � 7, onde 0 ≤ 7 ≤ 9�, se � ≥ 0 e − 9� ≤ 7 < 0, se � < 0. Assim, se � = < ��� =, então � = < �� = =, e: √3� − �� = √3� − 3�� ��7 = >3��1 − � ��7� = √3�����7 = 3√����7 Como para − 9� ≤ 7 ≤ 9 �, cos 7 ≥ 0, então √����7 = cos7, e assim: √<� − �� = < ��= Como � � 7 = ?@ e − 9 � ≤ 7 ≤ 9 �, temos: = = ��� �� A�<B Caso 2: O integrando contém uma expressão da forma √3� + ��, com 3 > 0. Introduziremos uma nova variável 7, considerando � = 3 !" 7, onde 0 ≤ 7 < 9�, se � ≥ 0 e − 9� < 7 < 0, se � < 0. Assim, se � = < *+ =, então � = < �� � = =, e: √3� + �� = >3� + 3�!"�7 = >3��1 + !"�7� = √3�� ��7 = 3√� ��7 Como para − 9� < 7 < 9 �, sec 7 ≥ 1, então √� ��7 = sec 7, e assim: ><� + �� = <�� = Como !" 7 = ?@ e − 9 � < 7 < 9 �, temos: = = *+ �� A�<B >3� − �� >3� − �� � � 3 3 � > 0 � < 0 � � 3 3 � ≥ 0 � < 0 Caso 3: O integrando contém uma expressão da forma √�� − 3�, com 3 > 0. Introduziremos uma nova variável 7, considerando � = 3 � � 7, onde 0 ≤ 7 < 9�, se � ≥ 3 e C ≤ 7 < D9� , se � ≤ −3. Assim, se � = < �� =, então � = < �� = ∙ *+ = =, e: √�� − 3� = √��� ��7 − 3� = >3��� ��7 − 1� = >3�!"�7 = 3>!"�7 Como para 0 ≤ 7 < 9� ou C ≤ 7 < D9 � , tg 7 ≥ 0, então >!"�7 = tg 7, e assim: √�� − <� = < *+= Como !" 7 = ?@ e − 9 � < 7 < 9 �, temos: = = �� �� A�<B 4. Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Utilizado quando o integrando é uma função racional � G�H�I�H�#J, ou seja, envolve polinômios no numerador e no denominador. Para aplicar o método é necessário que a fração formada seja própria, isto é, que o grau do polinômio que está no numerador seja menor que o grau do polinômio que está no denominador. Caso a fração seja imprópria, é necessário realizar a divisão de polinômios previamente. De uma forma geral, o método consiste em escrever G�H� I�H� como a soma de frações parciais, onde os denominadores são obtidos fatorando K�J� em um produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis. Há quatro casos a ser considerados, de acordo com a forma da fração parcial. Caso 1: Os fatores de K�J� são todos lineares e nenhum é repetido, ou seja: K�J� = �3�J + L���3�J + L��… �3�J + L�� Neste caso, escrevemos: >�� − 3� −>�� − 3� � −� 3 −3 � ≥ 3 J ≤ −3 N�J� K�J� ≡ P� 3�J + L� + P�3�J + L� +⋯+ P�3�J + L� onde P�, P�, … , P� são constantes a serem determinadas através da resolução de um sistema linear. Caso 2: Os fatores de K�J� são todos lineares e alguns são repetidos. Considerando que �3RJ + LR� é um fator que se repete S vezes, para este fator irá corresponder a soma de S frações parciais, tal como segue: P� �3RJ + LR�T + P��3RJ + LR�T�� +⋯+ PT���3RJ + LR�� + PT�3RJ + LR� onde P�, P�, … , PT são constantes a serem determinadas através da resolução de um sistema linear. Para cada fator de K�J� que se repete, deve ser utilizada a soma de frações parciais especificada acima. Caso 3: Os fatores de K�J� são lineares e quadráticos irredutíveis,dos quais nenhum se repete. Considerando que 3J� + LJ + � é o fator quadrático irredutível do denominador, para este fator irá corresponder a seguinte fração parcial: PJ + U 3J� + LJ + � onde P e U são constantes a serem determinadas através da resolução de um sistema linear. Caso 4: Os fatores de K�J� são lineares e quadráticos irredutíveis, dos quais alguns se repetem. Considerando que �3RJ� + LRJ + �R� é um fator que se repete S vezes, para este fator irá corresponder a soma de S frações parciais, tal como segue: P�J + U� �3RJ� + LRJ + �R�T + P�J + U��3RJ� + LRJ + �R�T�� +⋯+ PT��J + UT���3RJ� + LRJ + �R�� + PTJ + UT�3RJ� + LRJ + �R� onde P�, P�, … , PT, U�, U�, … , UT são constantes a serem determinadas através da resolução de um sistema linear. Para cada fator quadrático irredutível de K�J� que se repete, deve ser utilizada a soma de frações parciais especificada acima.
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