Buscar

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 6 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 6 páginas

Prévia do material em texto

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 
 
1. Integração de Potências de Seno e Cosseno 
Conforme as potências, analisando se são pares ou ímpares, há quatro casos a 
considerar: 
 
Caso 1: �����	���	� ou ��
��	���	�, onde � é um inteiro ímpar: 
Neste caso, escrevemos: 
��
�	��� = ��
�	������
�	� ou 
����	��� = ����	��������	� 
Em seguida, utilizamos a identidade 
���� + ����� = �, isolando 
adequadamente um termo, de forma a realizar a substituição necessária. 
 
Caso 2: �����	����
��	���	�, onde pelo menos um dos expoentes, � ou �, é 
um inteiro ímpar: 
Neste caso, a solução é semelhante ao caso 1. Escrevemos 
��
�	�������	��� = ��
�	�������	����� ��� � ou 
��
�	�������	��� = ����	�����
�	������
�	� 
Em seguida, utilizamos a identidade 
���� + ����� = �, isolando 
adequadamente um termo, de forma a realizar a substituição necessária. 
 
Caso 3: �����	���	� ou ��
��	���	�, onde � é um inteiro par: 
Neste caso, escrevemos: 
��
�	��� = ��
�	�����. ��
�	��� ou 
����	��� = ����	���������	��� 
Na sequência, utilizamos adequadamente, uma das identidades: 
���� = ���� ��� ou ���
�� = ���� ��� 
 
Caso 4: �����	����
��	���	�, onde � e � são inteiros pares: 
Neste caso, escrevemos: 
��
�	�������	��� = ��
�	�������
�	�������	���������	��� 
Na sequência, utilizamos adequadamente, uma das identidades: 
���� = ���� ��� ou ���
�� = ���� ��� 
 
2. Integração de Potências de Tangente, Cotangente, Secante e 
Cossecante: 
Conforme as potências e as funções trigonométricas envolvidas, há seis casos 
a considerar. 
As seguintes fórmulas envolvem as funções tangente, cotangente, secante e 
cossecante: 
� !"	�	#� = ln	| �
�	 �| + ' � ��!"	�	#� = ln	| �
� 	�| + ' 
� �
� � #� = ln	| �
�	� + !" �| + ' � ���
�	�	#� = ln	| ���
� � − ��!"	�| + ' 
� �
�� � #� = !" � + ' � ���
�� � #� = −��!" � + ' 
� �
� � . !"	�	#� = �
�	� � ���
�	�	. ��!"	�	#� = −���
� � + ' 
 
Assim como as seguintes identidades também envolvem: 
1 + !"�� = �
��� 1 + ��!"�� = ���
��� 
 
Estas relações permitem calcular integrais da forma: 
� *+�� ∙ ��
��		� e � 
�*+�� ∙ 
���
��		�, onde � e � são inteiros não 
negativos. 
 
Caso 1: � *+��		� e � 
�*+��		�, onde � é um inteiro positivo: 
Neste caso, escrevemos: 
!"�� = !"���� ∙ !"�� = 	 !"���� ∙ ��
��� − 1� ou 
��!"�� = ��!"���� ∙ ��!"�� = 	 ��!"���� ∙ ����
��� − 1� 
E em seguida, utilizamos adequadamente uma das integrais citadas acima. 
 
Caso 2: � ��
��		� e � 
���
��		�, onde � é um inteiro par positivo: 
Neste caso, escrevemos: 
�
��� = �
����� ∙ �
��� = 	 �!"�� + 1������/��
��� ou 
���
��� = ���
����� ∙ ���
��� = 	���!"�� + 1������/����
��� 
E em seguida, utilizamos adequadamente uma das integrais citadas acima. 
 
Caso 3: � ��
��		� e � 
���
��		�, onde � é um inteiro ímpar positivo: 
Neste caso, é necessário utilizar integração por partes, escolhendo 
adequadamente as substituições. 
 
Caso 4: � *+�� ∙ ��
��		� e � 
�*+�� ∙ 
���
��			�, onde � é um inteiro ímpar 
positivo: 
Neste caso, escrevemos: 
!"�� ∙ �
��� = !"�� ∙ �
����� ∙ �
��� = !"�� ∙ �!"�� + 1������/��
��� ou 
��!"�� ∙ ���
��� = ��!"�� ∙ ���
����� ∙ ���
��� = ��!"�� ∙ ���!"�� + 1������/����
��� 
E em seguida, utilizamos adequadamente uma das integrais citadas acima, 
aplicando o método de substituição. 
 
Caso 5: � *+�� ∙ ��
��		� e � 
�*+�� ∙ 
���
��			�, onde � é um inteiro ímpar 
positivo: 
Neste caso, escrevemos: 
!"�� ∙ �
��� = !"���� ∙ �
����� ∙ �!"	� ∙ sec �� 
!"�� ∙ �
��� = ��
��� − 1������/� ∙ �
����� ∙ �!"	� ∙ sec �� ou 
��!"�� ∙ ���
��� = ��!"���� ∙ ���
����� ∙ ���!"	� ∙ cosec �� 
��!"�� ∙ ���
��� = ����
��� − 1������/� ∙ ���
����� ∙ ���!"	� ∙ cosec �� 
E em seguida, utilizamos adequadamente uma das integrais citadas acima, 
aplicando o método de substituição. 
 
Caso 6: � *+�� ∙ ��
��		� e � 
�*+�� ∙ 
���
��			�, onde � é um inteiro par 
positivo e � é um inteiro ímpar positivo: 
Neste caso, o integrando pode ser expresso em termos de potências ímpares de 
secante ou cossecante. Escrevemos: 
!"�� ∙ �
��� = ��
��� − 1������/� ∙ �
��� ou 
��!"�� ∙ ���
��� = ����
��� − 1������/� ∙ ���
��� 
Neste caso, é necessário utilizar integração por partes, escolhendo 
adequadamente as substituições. 
 
3. Integração por Substituição Trigonométrica 
Utilizada, de uma forma geral, quando o integrando contém expressões do tipo 
√3� − ��, √3� + �� ou √�� − 3�, onde 3 > 0. 
 
Caso 1: O integrando contém uma expressão da forma √3� − ��, com 3 > 0. 
Introduziremos uma nova variável 7, considerando � = 3	�
�	7, onde 0 ≤ 7 ≤ 9�, 
se � ≥ 0 e − 9� ≤ 7 < 0, se � < 0. 
 
 
Assim, se � = <	���	=, então 	� = <	
��	=		=, e: 
√3� − �� = √3� − 3��
��7 = >3��1 − �
��7� = √3�����7 = 3√����7 
Como para − 9� ≤ 7 ≤
9
�, cos 7 ≥ 0, então √����7 = cos7, e assim: 
√<� − �� = < 
��= 
Como �
�	7 = ?@ e −
9
� ≤ 7 ≤
9
�, temos: = = ���
�� A�<B 
 
Caso 2: O integrando contém uma expressão da forma √3� + ��, com 3 > 0. 
Introduziremos uma nova variável 7, considerando � = 3	!"	7, onde 0 ≤ 7 < 9�, 
se � ≥ 0 e − 9� < 7 < 0, se � < 0. 
 
 
Assim, se � = <	*+	=, então 	� = <	��
�	=		=, e: 
√3� + �� = >3� + 3�!"�7 = >3��1 + !"�7� = √3��
��7 = 3√�
��7 
Como para − 9� < 7 <
9
�, sec 7 ≥ 1, então √�
��7 = sec 7, e assim: 
><� + �� = <��
= 
Como !"	7 = ?@ e −
9
� < 7 <
9
�, temos: = = *+
�� A�<B 
 
>3� − �� 
>3� − �� 
� � 3 3 
� > 0 � < 0 
� � 
3 
3 
� ≥ 0 � < 0 
Caso 3: O integrando contém uma expressão da forma √�� − 3�, com 3 > 0. 
Introduziremos uma nova variável 7, considerando � = 3	�
�	7, onde 0 ≤ 7 < 9�, 
se � ≥ 3 e C ≤ 7 < D9� , se � ≤ −3. 
 
 
Assim, se � = <	��
	=, então 	� = <		��
	= ∙ *+	=		=, e: 
√�� − 3� = √���
��7 − 3� = >3���
��7 − 1� = >3�!"�7 = 3>!"�7 
Como para 0 ≤ 7 < 9� ou C ≤ 7 <
D9
� , tg 7 ≥ 0, então >!"�7 = tg 7, e assim: 
√�� − <� = < *+= 
Como !"	7 = ?@ e −
9
� < 7 <
9
�, temos: = = ��
�� A�<B 
 
4. Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 
Utilizado quando o integrando é uma função racional � G�H�I�H�#J, ou seja, envolve 
polinômios no numerador e no denominador. Para aplicar o método é 
necessário que a fração formada seja própria, isto é, que o grau do polinômio 
que está no numerador seja menor que o grau do polinômio que está no 
denominador. Caso a fração seja imprópria, é necessário realizar a divisão de 
polinômios previamente. De uma forma geral, o método consiste em escrever 
G�H�
I�H� como a soma de frações parciais, onde os denominadores são obtidos 
fatorando K�J� em um produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis. 
Há quatro casos a ser considerados, de acordo com a forma da fração parcial. 
 
Caso 1: Os fatores de K�J� são todos lineares e nenhum é repetido, ou seja: 
K�J� = �3�J + L���3�J + L��… �3�J + L�� 
Neste caso, escrevemos: 
>�� − 3� −>�� − 3� 
� 
−� 
3 
−3 � ≥ 3 
J ≤ −3 
N�J�
K�J� ≡
P�
3�J + L�
+ P�3�J + L�
+⋯+ P�3�J + L�
 
onde P�, P�, … , P� são constantes a serem determinadas através da resolução 
de um sistema linear. 
 
Caso 2: Os fatores de K�J� são todos lineares e alguns são repetidos. 
Considerando que �3RJ + LR� é um fator que se repete S vezes, para este fator 
irá corresponder a soma de S frações parciais, tal como segue: 
P�
�3RJ + LR�T
+ P��3RJ + LR�T��
+⋯+ PT���3RJ + LR��
+ PT�3RJ + LR�
 
onde P�, P�, … , PT são constantes a serem determinadas através da resolução 
de um sistema linear. 
Para cada fator de K�J� que se repete, deve ser utilizada a soma de frações 
parciais especificada acima. 
 
Caso 3: Os fatores de K�J� são lineares e quadráticos irredutíveis,dos quais 
nenhum se repete. Considerando que 3J� + LJ + � é o fator quadrático 
irredutível do denominador, para este fator irá corresponder a seguinte fração 
parcial: 
PJ + U
3J� + LJ + � 
onde P e U são constantes a serem determinadas através da resolução de um 
sistema linear. 
 
Caso 4: Os fatores de K�J� são lineares e quadráticos irredutíveis, dos quais 
alguns se repetem. Considerando que �3RJ� + LRJ + �R� é um fator que se 
repete S vezes, para este fator irá corresponder a soma de S frações parciais, 
tal como segue: 
P�J + U�
�3RJ� + LRJ + �R�T
+ P�J + U��3RJ� + LRJ + �R�T��
+⋯+ PT��J + UT���3RJ� + LRJ + �R��
+ PTJ + UT�3RJ� + LRJ + �R�
 
onde P�, P�, … , PT, U�, U�, … , UT são constantes a serem determinadas através 
da resolução de um sistema linear. 
Para cada fator quadrático irredutível de K�J� que se repete, deve ser utilizada 
a soma de frações parciais especificada acima.

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

Perguntas Recentes