calculo 1- AD- Cederj- Gabarito

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Respostas AD01 - 1/2014 - CÁLCULO I
QUESTÃO 01. [3, 0 pontos]
Calcule os seguintes limites de funções:
(a) lim
x→1
x3 + 4x2 − 5x
x2 + x− 2 (b) limx→5
x− 5√
x−√5 (c) limx→1
(4x− 1) sen(x− 1)
x3 + x2 − 2x
Solução:
(a) lim
x→1
x3 + 4x2 − 5x
x2 + x− 2 = limx→1
x(x− 1)(x+ 5)
(x− 1)(x+ 2) = limx→1
x(x+ 5)
x+ 2
=
6
3
= 2
(b) lim
x→5
x− 5√
x−√5 = limx→5
( x− 5√
x−√5
)(√x+√5√
x+
√
5
)
= lim
x→5
(x− 5)(√x+√5)
(
√
x−√5)(√x+√5) =
= lim
x→5
(x− 5)(√x+√5)
x− 5 = limx→5
√
x+
√
5 = 2
√
5
(c) lim
x→1
(4x− 1) sen(x− 1)
x3 + x2 − 2x = limx→1
(4x− 1) sen(x− 1)
x(x+ 2)(x− 1) = limx→1
[
(4x− 1)
x(x+ 2)
sen(x− 1)
(x− 1)
]
=
= lim
x→1
(4x− 1)
x(x+ 2)
lim
x→1
sen(x− 1)
(x− 1) = 1
QUESTÃO 02. [2, 5 pontos]
Considere a função f(x) =
2x√
x2 − 16 .
(a) Determine o domínio de f ;
(b) Encontre as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais, caso existam, do gráfico
de f , fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito;
(c) Trace um esboço do gráfico de f .
Solução:
(a) D(f) = {x ∈ R; x2 − 16 > 0} = {x ∈ R; (x+ 4)(x− 4) > 0} =
= {x ∈ R; x < −4 ou x > 4} = (−∞,−4) ∪ (4,+∞)
(b) Temos que:
(i) lim
x→−4−
2x√
x2 − 16 = −∞, pois 2x→ −8 e
√
x2 − 16→ 0+ quando x→ −4−;
(ii) lim
x→4+
2x√
x2 − 16 = +∞, pois 2x→ 8 e
√
x2 − 16→ 0+ quando x→ 4+;
(iii) lim
x→+∞
2x√
x2 − 16 = limx→+∞
2x√
x2
(
1− 16
x2
) = limx→+∞ 2x
x
√(
1− 16
x2
) = 2,
onde utilizamos
√
x2 = |x| = x, pois x > 0;
1
(iv) lim
x→−∞
2x√
x2 − 16 = limx→−∞
2x√
x2
(
1− 16
x2
) = limx→+∞ 2x
(−x)
√(
1− 16
x2
) = −2,
onde utilizamos
√
x2 = |x| = −x, pois x < 0.
De (i) e (ii), concluimos que as reta x = −4 e x = 4 são as assíntotas verticais do gráfico
de f e, de (iii) e (iv), concluimos que as retas y = 2 e y = −2 são as assíntotas horizontais
do gráfico de f .
(c) Um esboço do gráfico de f é:
QUESTÃO 03. [1, 5 pontos]
Utilize o Teorema do Valor Intermediário para provar que a função f(x) = x3 − 4x + 2
admite 3 raízes reais e distintas.
Solução:
(i) Temos que f(−3) = −13 e f(−2) = 2. Como f(−3) = −13 < 0 < 2 = f(−2), temos,
pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe c1 ∈ (−3,−2) tal que f(c1) = 0. Logo, f
possui uma raiz c1 em (−3,−2).
(ii) Temos que f(0) = 2 e f(1) = −1. Como f(0) = 2 > 0 > −1 = f(1), temos, pelo
Teorema do Valor Intermediário, que existe c2 ∈ (0, 1) tal que f(c2) = 0. Logo, f possui
uma raiz c2 em (0, 1).
(iii) Temos que f(1) = −1 e f(2) = 2. Como f(1) = −1 < 0 < 2 = f(2), temos, pelo
Teorema do Valor Intermediário, que existe c3 ∈ (1, 2) tal que f(c3) = 0. Logo, f possui
uma raiz c3 em (1, 2).
Como os intervalos (−3,−2), (0, 1) e (1, 2) são disjuntos dois a dois, segue que as raízes
2
c1, c2 e c3 são distintas duas a duas. Portanto, a função f(x) = x
3 − 4x+ 2 admite 3 raízes
reais e distintas.
QUESTÃO 04. [3, 0 pontos]
Calcule a derivada das seguintes funções:
(a) f(x) =
3
x4
− 4 lnx+ 1
(b) f(x) = (x4 − 2x+ 1)(x2 − 6 cosx)
(c) f(x) =
x2 senx
1 + ex
Solução:
(a) f ′(x) = −12
x5
− 4
x
(b) f ′(x) = (4x3 − 2)(x2 − 6 cosx) + (x4 − 2x+ 1)(2x+ 6 senx) =
= 6x5 − 6x2 + 2x+ (x4 − 2x+ 1)(6 senx)− (2x3 − 1)(12 cosx)
(c) f ′(x) =
(2x senx+ x2 cosx)(1 + ex)− (x2 senx)(ex)
(1 + ex)2
=
=
(2 + 2 ex − x ex)(x senx) + (x+ x ex)(x cosx)
(1 + ex)2
Mário Olivero e Cristiane de Mello
Coordenadores de Cálculo I
3