Aulas_FisicaII

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FÍSICA II
Curso de Química
Prof. Achilles
achillesbr@yahoo.com.br
FÍSICA II - Química
Plano do Curso:
• Atrito, Aceleração, força de arrasto e velocidade 
terminal;
• Trabalho, energia cinética e energia potencial, 
potência;
• Forças conservativas e não conservativas, lei de 
conservação da energia;
• Movimento de rotação, vetores em grandezas 
angulares, momento de inércia e torque;
• Definição de fluido, densidade e pressão; princípio de 
Pascal; princípio de Arquimedes; linhas de corrente e a 
equação da continuidade; equação de Bernoulli e suas 
aplicações.
FÍSICA II - Química
Bibliografia:
• Sears & Zemansky, FÍSICA I
• Halliday & Resnick, FUNDAMENTOS DE 
FÍSICA I – Mecânica.
• Notas de aula.
FÍSICA II
AULA 1 - ATRITO
Prof. Achilles
achillesbr@yahoo.com.br
FORÇA E MOVIMENTO
ATRITO
O atrito é uma força presente no dia-a-dia e sem ela, por exemplo, não
podemos caminhar, segurar um lápis, pregos e parafusos seriam inúteis.
Nesta aula vamos considerar as forças de atrito existentes entre superfícies
sólidas não lubrificadas, que se movem.
1) Faça um livro se movimentar sobre a bancada. O livro manterá o seu 
movimento por um tempo infinito? 
Não, isto significa que existe uma força paralela à bancada e oposta ao
vetor aceleração .( )a
2) Qual seria a condição, para que o livro ao ser empurrado com 
uma força , mantivesse em MRU?
Pela 2ª lei de Newton, deve haver uma segunda força agindo
no sentido oposto à e com o mesmo módulo. Assim as duas
forças se equilibram.
1F
2F
1F
( )
MRU). o exista que (para 
.cinético atrito de forçaf
 
k1
k
2
fF
ffF kat
=
⇒
==
3) Agora empurre um caixote pesado na horizontal. O caixote 
não se move. Logo existe uma força de atrito oposta estática 
que equilibra a força , até a iminência do movimento.F
estático. atrito de força=sf
sf 1F
N
)(peso
mgP =
.
Geralmente o módulo de 
é menor que .
kf
sf
PROPRIEDADES DO ATRITO:
Condição do corpo não lubrificado comprime 
uma superfície na mesma condição e uma 
força F tente deslizar o corpo:
10) O corpo não se move, então: 
Onde:
F =sf
estático. atrito de força=sf
ATRITO
PROPRIEDADES DO ATRITO
20) O corpo está na iminência do movimento, então: 
Onde : 
fS,máx = força de atrito estático máximo. µS = coeficiente de atrito estático.
N = força normal .
30) O corpo começa a deslizar, então:
Onde : e µK= coeficiente de atrito cinético.
Atenção!!!!
• fS e fK estão sempre paralelos à superfície e no sentido 
contrário à tentativa de movimento!
• µS e µK são constantes adimensionais e determinadas 
experimentalmente entre duas superfícies.
F =sf
cinético. atrito de força=kf
Nf máxs ⋅= s, µ
Nf kk ⋅= µ 
A força N forma sempre 900 com a superfície de contato.
Pela 3ª Lei de Newton, N é a reação da superfície de contato.
Em um plano horizontal N = P, a soma vetorial das duas
forças é ZERO.
Ex: 
Para um corpo de massa m = 10kg movimentando-se em uma
mesa horizontal sob ação de uma força F= 30N, determine a
aceleração adquirida sabendo que µK =0,20 e g = 10m/s2.
PROPRIEDADES DO ATRITO
N
P
FfK
Resolução
( )
( )
( )
2
k
0,1
10203010101020030
: temos valoresos doSubstituin
:Dinâmica da lFundamenta Princípio Pelo )3
 2)
 )1
s
m
a
aa,-
amgmF
amNF
amfF
amF
Nf
fFF
K
K
k
R
K
kR
=
⋅=−∴⋅=⋅⋅
⋅=⋅⋅−
⋅=⋅−
⋅=−
⋅=
⋅⇒
−=
µ
µ
µ
Aplicação em um Plano Inclinado:
a) Representando as forças atuantes no bloco em um plano 
sem atrito:
φ – é o ângulo do plano inclinado.
Py e Px – são as componentes retangulares da força peso P.
N – é a força normal de reação do plano. 
Lembrando!!!!!!
Px= P.sen θ
PY= P.cos θ
b) Representando as forças atuantes no bloco em um plano 
com atrito:
Aplicação em um Plano Inclinado:
EXEMPLO 1
Inclinamos aos poucos um plano de apoio até o instante em
que o corpo fique na iminência de escorregar. Quando o corpo
está na iminência de escorregar, a força de atrito estático
atinge seu valor máximo. Nestas condições temos:
1. s, EqNf máxs ⇒⋅= µ 2.cos EqPPN y ⇒⋅== φ
5.
4.
,equilíbrio em permaneça bloco o que Para
3.cos
:
,
,
,
EqsenPf
EqPf
EqPf
Então
máxs
xmáxs
Smáxs
⇒⋅=
⇒=
⇒⋅⋅=
φ
φµ
EXEMPLO 1
Substituindo a Eq.3 na Eq. 5 teremos:
φµφ
φµ
φφµ
tgsen
senPP
SS
S
=∴=
⋅=⋅⋅
cos
cos
RESUMINDO
Nµ f
Nµf 
kk
Ss
⋅=
⋅≤≤
 :movimento em Corpo
0 :repouso em Corpo
Material
Coeficientes de atrito
µS µK
AÇO COM AÇO 0,74 0,57
ALUMÍNIO COM AÇO 0,61 0,47
COBRE COM AÇO 0,53 0,36
Um bloco de massa m = 75 kg é puxado por um cabo, sobre
uma superfície horizontal com velocidade constante. 
O coeficiente de atrito cinético µK = 0,10 e o ângulo Ø entre a
corda e a horizontal é 420. 
EXEMPLO 2
Ø
T
a) Qual a intensidade da força T, que o cabo exerce sobre o 
bloco?
Se v = constante, então a = 0.
Decompondo as forças em X e Y:
RESOLUÇÃO
Fazendo o somatório das forças em X
igual a zero, condição de equilíbrio, temos:
Eq.2
:teremos Eq.1 na
dosubstituin Então,
⇒=−
⇒



=
=
⇒=−
0.cos.
.
cos.
)1.(0
NT
Nf
TT
EqfT
K
KK
x
Kx
µφ
µ
φ
Fazendo o somatório das forças em Y igual a zero temos:
)4.(0.
)3.( na
.
.
)3.(0
EqgmNsenT
Eq
gmP
senTT
dosubstituin
EqPNT
y
y
⇒=⋅−+
⇒



=
=
⇒=−+
φ
φ
Resolvendo a Eq. 2 para N, ou seja, isolando N:
)5.(cos
cos..
EqTN
TN
K
K
⇒=
−=−
µ
φ
φµ
Substituindo a Eq. 5 em 4 , temos:
φφµ
µ
µφφµ
µφφµ
µ
φ
µ
φ
µ
φφ
cos.
..
..)cos.(
..cos..
.
1
cos.
1
.0.cos..
+
=
=+
=+
=+∴=−+
sen
gmT
gmsenT
gmTTsen
gmTsenTgmTsenT
K
K
KK
KK
KKK
Substituindo os valores temos:
NT
sen
T 91
42cos4210,0
)8,9)(75)(10,0(
=∴
°+°
= 
FÍSICA II
AULA 2 - ACELERAÇÃO
Prof. Achilles
achillesbr@yahoo.com.br
Aceleração instantânea
A aceleração instantânea de um corpo, isto é, sua aceleração em um dado
instante, ou em um ponto qualquer da sua trajetória, é definida da mesma
maneira que a velocidade instantânea.
P Q
2V1V
Y
X
3.Fig
A figura 3 mostra uma partícula movendo-se ao longo do eixo X.
Q. em ainstantâne e velocidada Representa
P. em ainstantâne e velocidada Representa
2
1
⇒
⇒
V
V
A figura 4 é o gráfico da velocidade instantânea v em função 
do tempo, os pontos p e q correspondendo a P e Q da figura 
3.
A aceleração média é representada pela inclinação da corda 
p q, calculada por meio de escalas adequadas e unidades do 
gráfico.
vvv ∆=− 12
4.Fig
1v
2v
2t1t
v
t
p
q
Inclinação = Aceleração Média
ttt ∆=− 12
Inclinação = Aceleração Instantânea
θα
0
Tomando-se o segundo ponto Q, figura 3, cada vez mais 
próximo de P e calculando a aceleração média durante 
intervalos de tempo infinitesimais, a aceleração instantânea no 
ponto P é definida pelo limite de aceleração média quando o 
segundo ponto se aproxima cada vez mais do primeiro.
dt
dv
t
v
a
t
=
∆
∆
=
→∆ 0
lim
A definição de aceleração dada anteriormente, aplica-se ao 
movimento sobre qualquer trajetória, reta ou curva.
A aceleração pode ser expressa de várias maneiras 
como , segue que:
dt
dv
a =
dt
dx
v = ( )2
2
dt
xd
a
dt
dx
dt
d
a
dt
dv
a =∴





=∴=
Exemplo 2
Suponha que a velocidade da particula da fig. 3, seja dada pela
equação:
( )312 2 e 10 : −− ⋅=⋅=+= scmnscmmOndentmv
A)Acharo acréscimo da velocidade da partícula no intervalo 
de tempo entre t1= 2s e t2= 5s.
� No instante t1= 2s :
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
11
1
231
1
231
1
18810
42102210
−−−
−−−−
⋅=∴⋅+⋅=
⋅⋅+⋅=∴⋅⋅+⋅=
scmvscmscmv
sscmscmvsscmscmv
� No instante t2= 5s :( ) ( ) ( ) ( )
1
2
11
2
231
2
231
2
605010
252105210
−−−
−−−−
⋅=∴⋅+⋅=
⋅⋅+⋅=∴⋅⋅+⋅=
scmvscmscmv
sscmscmvsscmscmv
A variação da velocidade é, então:
Exemplo 2
111
12 421860 −−− ⋅=⋅−⋅=− scmscmscmvv
B) Achar a aceleração instantânea n instante t1 = 2 s
� No instante t3= 2s + ∆∆∆∆t
( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )( )
( ) ( )( )23213
23211
3
2231
3
2231
3
231
3
2818
28810
44210
224210
2210
tscmtscmscmv
tscmtscmscmscmv
ttssscmscmv
ttssscmscmv
tsscmscmv
∆⋅+∆⋅⋅+⋅=
∆⋅+∆⋅⋅⋅⋅+⋅=
∆+∆⋅+⋅⋅+⋅=
∆+∆⋅⋅+⋅⋅+⋅=
∆+⋅⋅+⋅=
−−−
−−−−
−−
−−
−−
A variação de velocidade durante ∆∆∆∆t é: 
Exemplo 2
( ) ( )( )
( ) ( )( )232
12321
13
28
182818
tscmtscmv
scmtscmtscmscmv
vvv
∆⋅+∆⋅⋅=∆
⋅−∆⋅+∆⋅⋅+⋅=∆
−=∆
−−
−−−−
A aceleração média durante ∆∆∆∆t é: 
( ) ( )( ) ( ) tscmscm
t
tscmtscm
a
t
v
a ∆⋅⋅+⋅=
∆
∆⋅+∆⋅⋅
=∴
∆
∆
=
−−
−−
32
232
2828 
A aceleração instantânea, que se obtém fazendo ∆∆∆∆t se aproximar de 
zero, é a = 8 cm.s-2 , corresponde à inclinação da tangente no ponto 
p, fig. 4.
A aceleração instantânea também pode ser obtida pela derivada 
temporal da velocidade instantânea:
Exemplo 2
vscm ∆=⋅ −142
4.Fig
1
2 60
−
⋅= scmv
st 52 =st 21 =
v
t
p
q
st 3=∆
θα
0
1
1 18
−
⋅= scmv
tst ∆+= 23
( )
23
2
8222
,2
2
−−
⋅=∴×⋅×=
=
=+==
scmasscma
st
ntntm
dt
d
dt
dv
a
 
:se-tem quando Logo
FORÇA DE ARRASTO E 
VELOCIDADE TERMINAL
MOVIMENTO CIRCULAR
FORÇA DE ARRASTO E VELOCIDADE TERMINAL
Quando existe uma velocidade relativa entre o fluido e um corpo
(ou porque o corpo se desloca pelo fluido, ou porque o fluido
desliza ao redor do corpo), o corpo experimenta uma resistência
chamada de FORÇA DE ARRASTO.
FORÇA DE ARRASTO → Oposta ao movimento relativo.
→ Possui sentido e direção ao do fluido. 
FLUIDO – substâncias líquidas ou gasosas.
Considere um pára-quedista em queda livre sem um pára-
quedas. Nesse ponto, a força da gravidade é maior que a força
de resistência sobre seu corpo; então, ele está acelerando.
À medida que ele acelera, a força de resistência aumenta, pois
quanto mais rápido um objeto se desloca no ar, maior é a força
de resistência.
Por fim, a força de resistência será igual à gravidade. Ele não
estará mais acelerando, e sim se movimentando em 
velocidade constante. Ele terá atingido a velocidade terminal, 
chegando ao valor mais alto possível.
Com o pára-quedas aberto sobre sua cabeça, em vez de
dobrado firmemente em suas costas, Pedro e seu pára-quedas
oferecem uma área maior de contato com o ar à medida que se
movem, aumentando bastante a força de resistência. Como a
força para cima agora é maior que a força para baixo, ele
repentinamente começa a desacelerar. Porém, quanto mais
devagar ele se desloca, a força de resistência diminui até...
...que a gravidade e a força de resistência se igualem mais 
ma vez e Pedro comece a cair novamente em velocidade
constante. 
O paraquedismo ilustra o atrito que ocorre quando um objeto
sólido se desloca por um fluido, como o ar ou a água. A fricção
com o ar, chamada de força de arrasto ou força de resistência,
é proporcional ao quadrado da velocidade vetorial.
PROPRIEDADES DO ATRITO
D = kv2 (1)
Onde:
D→ força de arrasto aerodinâmico, 
v→ velocidade vetorial,
k→ constante (determinada pela densidade do gás e pelo 
formato do objeto. 
Uma pessoa com um pára-quedas aberto expõe ao ar uma 
área de superfície maior que com o pára-quedas fechado. O 
peso é o mesmo em ambos os casos.
Então temos: 
(2) 
2
1 2 ⇒= AvCD ρ
ρ - é a massa específica do fluido.
A - é a área do corpo .
C – coeficiente de arrasto. 
ATENÇÃO: UM CORPO EM VELOCIDADE TERMINAL POSSUI a = 0.
Assim quando um corpo cai no ar partindo do repouso, a força
de arrasto está para cima e se opõe à força gravitacional.
Relacionando as forças em y, temos:
 terminal.e velocidada É 
:Onde
(3) 2
0
2
1
.
2
→
⇒=
=−
=−
t
t
t
v
AC
P
v
PAvC
amPD
ρ
ρ
Exercício
Um homem e seu pára-quedas têm massa total de 100 kg. 
A força de resistência do ar tem intensidade:
Dados:
22
2
10 ,40
s
mg
m
Nsk ==
Determine a velocidade terminal de queda. 
MCU → Movimento de uma partícula ao redor de um círculo ou 
de um arco de círculo com velocidade escalar
constante.
A variação da direção e do sentido da velocidade em cada
ponto da trajetória circular, determina uma aceleração
classificada como aceleração centrípeta. 
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
�Módulo da aceleração centrípeta: 
circular. a trajetórida Raio 
:Onde
(4) 
2
→
⇒=
r
r
v
acp
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
� Direção: Radial
� Sentido: para o centro do circúlo.
v v
a
a
v
a
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
O tempo em que uma partícula descreve uma volta circular é
denominado de Período de Revolução (T).
 volta.uma em partícula pela percorrida Distância 2
:Onde
(5) ..2
→
⇒=
r
v
rT
pi
pi
Freqüência e Período
De um modo geral todos nós temos noção do que seja
freqüência e período.
Freqüência seria o número de vezes que um fenômeno se
repete em um determinado tempo, e período é o tempo que
leva para o fenômeno se repetir.
Em linguagem mais específica para o movimento circular,
definiremos:
Freqüência: é o número de voltas que a partícula dá por
unidade de tempo.
Notação: f → freqüência. 
Pelas próprias definições temos que a freqüência é o 
inverso do período e vice-versa, ou seja: 
(6) 1 1 ⇒== fTTf
Unidades de medida de freqüência e período (SI) 
�Unidade de período = unidade de tempo = 1 s 
Outras unidades: 1 min, 1 h, 1 mês, 1 ano, 1 século... 
�Unidade de freqüência
1/unidade de tempo = 1/s = 1 s-1 = 1 hertz (1 Hz) 
Quando no movimento circular se tem uma freqüência de 
10 Hz, significa que o móvel faz 10 voltas em cada segundo.
Observação: 
A unidade de freqüência 1rps (1 rotação por segundo), usada
na prática, é equivalente a 1 Hz.
Conceito de velocidade angular
A posição de um ponto em uma trajetória circular pode ser 
determinada por um espaço linear (arco) ou por um espaço 
angular (ângulo).
Quando o carro vai da posição A para a posição B, ele percorre
um arco ∆S e, simultaneamente, "varre" um ângulo ∆θ (fig. 2).
RESOLUÇÃO
Figura 2 - ângulo descrito e arco percorrido em um intervalo 
de tempo ( t ), quando o carro vai da posição A para B. 
Velocidade angular
É o ângulo (∆θ) percorrido em um intervalo de tempo (∆t). 
Notação: (ω) velocidade angular.
Expressão:
radianos. em medido é descrito, Ângulo
 :Onde
(7) 
→∆
⇒
∆
∆
=
θ
θ
ω
t
Unidade da velocidade angular (SI) → 1 rad/s 
Relação entre a velocidade escalar e a velocidade angular
Você sabe que a medida de um ângulo pode ser em graus ou 
radianos. 
Figura 3 - Medida de um ângulo em radianos. 
Para medir um ângulo em radianos (rad) basta dividir o arco 
compreendido entre os lados do ângulo pela medida do raio 
(fig. 3), obtendo: 
)9( 
:obtemos anterior, Eq. na doSubstituin , e Como
 
)8( 
:obtemos ,por membrosdois os Dividindo ,
⇒⋅=
=
∆
∆
=
∆
∆
=
⇒
∆
∆
=
∆
∆
∆∆=∆
RV
R
V
t
SV
t
tR
S
t
t
R
S
ω
ω
θ
ω
θ
θ
Relação entre a velocidade angular e a freqüência
Vimos que a velocidade angular é definida como sendo:
(10) ⇒
∆
∆
=
t
θ
ω
Quando a partícula dá uma volta completa: 
)14( 2
:(13) em dosubstituin , 1 Como
(13) )(2
:obtemos (10), em dosubstituin
(12) (período) 
(11) 2
⇒=
=
⇒=
⇒=∆
⇒=∆
f
T
f
T
Tt
rad
piω
pi
ω
piθ
FORÇA CENTRÍPETA 
Um ponto material descreve uma circunferência horizontal
com velocidade constante em módulo. O raio do círculo é
15 cm e o móvel completa uma volta a cada 10s. 
Calcule:
a) O período e a frequência;
b) A velocidade angular;
c) A velocidade escalar;
d) O módulo da aceleração centrípeta. 
Exercício
51
ENERGIA CINÉTICA E TRABALHO
A energia cinética K é a energia associada ao estado de
movimento de um objeto. Quanto mais rapidamente o objeto
estiver se movendo, maior será sua energia cinética. 
Quando o objeto está em repouso sua energia cinética é nula.
Considere um objeto de massa m cuja velocidade v é bem
inferior à velocidade da luz, definimos sua energia cinética
como: 
(1) 
2
1 2 ⇒= mvK
A unidade do SI para a energia é o joule (J), em homenagem 
a James Prescott Joule (cientista inglês do séc XIX ).
(2) .11
2
2 ⇒= s
mkgJ
52
TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA CONSTANTE
O trabalho W é a energia transferida para ou de um objeto
por meio de uma força atuando no objeto. 
A energia transferida para o objeto é um trabalho positivo, e a
energia retirada do objeto é um trabalho negativo. Só existe
um trabalho realizado por uma força, quando esta consegue
deslocar o objeto. 
53
DETERMINAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO PARA O TRABALHO
Considere uma esfera que pode deslizar presa a um fio
sem atrito. Uma força F, fazendo um ângulo φφφφ com a direção
do fio é responsável pelo movimento. Podemos relacionar a
força com a aceleração usando a 2ª Lei de Newton.
Figura 1
54
)3( . ⇒= XX amF
)4( ..222 ⇒+= davv Xo
Considerando F = constante → a = constante 
Logo podemos aplicar:
Resolvendo a Eq. (4) para aX , teremos:
)5( 
.2
..2
22
22
0
0
⇒
−
=
−=
d
vv
a
vvda
X
X
55
X
X a
m
F
=Com a Eq. (3) ,substituímos em (5)
d
vv
m
F oX
.2
22
−
=
Multiplicando ambos os termos por ( m.d ), temos :
(6) Eq. 
2
1
2
1
.
2
1
2
1
.
.
.2
.
22
22
22
→−=
/
/
−
/
/
=






−
=/
/
oX
o
X
oX
mvmvdF
d
vdm
d
vdmdF
dm
d
vvdm
m
F
56
O primeiro termo à esquerda é o trabalho W realizado pela
força sobre a esfera. 
(7) Eq. . →= dFW X
No segundo termo temos:
Kf a energia cinética final eKo a energia cinética inicial.
Para calcular o trabalho realizado sobre um objeto por uma 
força na direção do deslocamento do objeto, usamos 
apenas a componente da força na direção do deslocamento. 
Pela Fig.1, vemos que a componente, FX como:
(9) Eq. cos.
: temos7 Eq. na dosubstituin
(8) Eq. cos.
→⋅=
→=
dFW
FFX
φ
φ
57
Unidade do trabalho no SI é o Joule(J)
TEOREMA DO TRABALHO - ENERGIA CINÉTICA
lbftmN
s
mkgJ .738,0.1.1 2
2
===
A Eq. 6 relaciona a variação da energia cinética da esfera com 
o trabalho realizado.
Eq.(10) →=−=∆ WKKK of
Isto significa que a variação da energia cinética de 
uma partícula é igual ao trabalho resultante realizado sobre 
partículas. 
58
(11) Eq. →+= if KWK
A Eq. 11 significa que a energia cinética depois de o trabalho 
resultante ser realizado é igual a energia cinética antes de o 
trabalho resultante ser realizado mais o trabalho resultante 
realizado.
Exemplo 1:
Um corpo de 10 kg parte do repouso sob a ação de uma força 
constante paralela à trajetória e 5 s depois atinge 15 m/s. 
Determine sua energia cinética no instante t = 5 s e o trabalho 
da força, suposta única, que atua no corpo no intervalo de 0 s a 
5 s.
59
Resolução
JWWKKW
K
JKKmvK
i
f
A
BBB
125.1 0125.1 
:0V e 0 em Cinética Energia a Logo
125.1 1510
2
1
 
2
1
5s. tem Cinética Energia da Calculo .
0
0
22
=∴−=∴−=
==
=∴⋅=∴=
=
60
Exemplo 2
Uma bala de 10 g atinge normalmente um obstáculo com
velocidade igual 600 m/s e penetra 20 cm no mesmo, na
direção do movimento. Determine a intensidade da força
média de resistência oposta pela parede à penetração,
suposta constante.
61
Roteiro de solução
00
000
 
: vem(2), e (1) Eq. Igualando
 
(2) Eq. : temos trabalhode definiçãoPor 
 
(1) Eq. 0 
KdFKdF
dFW
KWKWKKW f
=⋅∴−=⋅−
→⋅−=
→−=∴−=∴−=
TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA DE MOLA
Considere um sistema elástico constituido por uma mola e
um bloco.
A) Na figura a o sistema está em repouso ( mola não 
deformada).
62
B) Ao ser alongada figura b ou comprimida c a mola 
exerce no bloco uma força F denominada força
restauradora que tende a trazer o bloco de volta a 
posição de equilíbrio.
63
Para muitas molas, podemos considerar como uma boa
aproximação que a força F da mola é proporcional ao
deslocamento d da extremidade livre, medido a partir da
posição correspondente ao estado indeformado.
64
(12) Eq. Hooke) de (lei →−= dkF
OBS.:
Lei de Hooke → Em homenagem a Robert Hooke, um 
cientista inglês do final do século XVII.
Sinal negativo da equação → Indica que a força da mola tem 
sempre sentido contrário ao 
deslocamento da extremidade 
livre.
K→ Constante elástica da mola (rigidez). Quanto maior esse 
valor maior será a rigidez da mola.
No Si a unidadade para k é o newton por metro.
65
TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA DE MOLA
Hipóteses a respeito da mola:
a) Ela não possui massa; ou seja, é desprezível.
b) Que ela é uma mola ideal; ou seja ela obedeçe a Lei 
de Hooke.
c) Não existe atrito no contato entre o bloco e o piso e 
que o bloco pode ser considerado uma partícula.
Damos um empurrão no bloco para o lado direito para que
ele entre em movimento, e em seguida o deixamos sozinho. À
medida que o bloco se move para a direita, a força da mola F
realiza trabalho sobre o bloco, reduzindo a energia cinética do
bloco, fazendo com que a sua velocidade diminua. Entretanto,
não conseguimos determinar o trabalho usando a Eq. 9 
( W=F d cosϕ) porque esta equação supõe que a força seja
constante. A força da mola é uma força variável. 
Para encontrarmos o trabalho realizado pela mola, usamos
o cálculo integral.
66
TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA DE MOLA
67
( )
[ ] ( )
 mola) de força umapor realizado (Trabalho (14) Eq. 
2
1
-
2
1
2
1
- 
2
1
-
 
 temos(12), Eq. pela dado F dosubstituin
(14) Eq. 
o.Compriment
s.seguimento os Indicaj
:Onde
(13) Eq. .
22
222 f
→=
−





=





=
−=−=
→=
→∆
→
→∆∑=
∫∫
∫
fis
if
x
xs
xx
s
x
js
js
kxkxW
xxkxkW
dxxkdxkxW
dxFW
x
xFW
i
f
ix
f
ix
f
ix
IMPORTANTE
Ws→ Pode ter um valor positivo ou negativo.
Cuidado→ A posição final xf aparece no segundo termo ao lado
direito da Eq. 14. Logo essa Eq. 14 nos diz que:
O trabalho Ws é positivo:
Se ao final do deslocamento o bloco estiver mais próximoda posição
indeformada (x = 0) do que estava inicialmente.
O trabalho Ws é negativo:
Se ao final do deslocamento o bloco estiver mais afastado do que
inicialmente da posição indeformada da mola (x = 0).
O trabalho Ws é nulo:
Se ao término do deslocamento o bloco estiver à mesma distância 
de (x = 0).
Vamos imaginar agora que deslocamos o bloco ao longo do
eixo x enquanto continuamos a aplicar a ele uma força Fa.
Durante o deslocamento, a força por nós aplicada realiza
trabalho Wa sobre o bloco enquanto a força da mola realiza um
trabalho Ws. Pela a Eq. (10), a variação ∆K da energia cinética 
do bloco provocada por estas duas transferências de energia é
69
TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA APLICADA
to,deslocamen do inicio no cinética Energia
to,deslocamen do final ao cinética Energia
:Onde
Eq.(15) 
→
→
→+=−=∆
i
f
saof
K
K
WWKKK
Se o bloco estiver em repouso antes e depois do
deslocamento, então tanto Kf quanto Ki são nulos e a Eq.
(15) fica:
70
TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA APLICADA
Eq.(16) →−= sa WW
POTÊNCIA
Está relacionada à taxa de tempo com que o trabalho é
realizado:
71
Média) (Potência →
∆
=
t
WPméd
No SI a unidade de potência é J/s = watt (W)
t se
 W746 lb/sft 550 HP 1 horsepower 1
 lb/sft 0,738 1J/s 1W
∆⋅=∴=
=⋅==
⋅==
PW
∆t
WP
A potência instantânea é determinada como:
72
( ) ( )
MJ
J
sW
hkW
Ex
 60,3
10 x 60,3
360010
1 hora-quilowatt 1
 :
6
3
=
=
⋅⋅=
⋅=
.trajetória 
 da direção mesma na força Para 
.trajetória a 
 com ângulos formam que forças Para 
 cosF cosF cosF 
→⋅=
→⋅⋅=
⋅=





⋅=
⋅
==
vFP
 vFP
v
dt
dx
dt
dx
dt
dWP
φ
φφφ
cos
EXEMPLO
A fig. abaixo mostra duas forças constantes F1 e F2 atuando
sobre uma caixa enquanto esta desliza para direita sobre uma
supefície sem atrito. A força F1 é horizontal, com intensidade
igual a 2,0 N; a força F2 está dirigida para cima formando um
ângulo de 600 com o piso possui intensidade igual 4,0 N. 
A Velocidade v da caixa em um determinado instante é de 3,0
m/s.
73
a) Qual a potência devida a cada uma das forças que agem 
sobre a caixa nesse instante e qual a potência líquida 
(potência resultante)? A potência líquida está se 
modificando a cada instante?
74
( ) ( )
J/s. 6,0 de taxauma a caixa da energia
 extraindo está que significa resultado Esse 0,6
180cos/0,30,2 cos
11
0
1111
FWP
smNP vFP
→−=
⋅=→⋅⋅= φ
( ) ( )
J/s. 6,0 de taxauma a caixa da energia
 ndo transferiestá que significa resultado Esse 0,6
60cos/0,30,4 cos
22
0
1222
FWP
smNP vFP
→=
⋅=→⋅⋅= φ
Determinação da potência líquida ( resultante):
75
nula. é caixa daou 
 para energia de erência transf 
 de e)(resultant líquida Taxa 00,6 0,6
 21
→=+−=
+=
WWP
PPP
Líq
Líq
m/s). 3,0 ( C é caixa da e velocidada 
 issopor e o,modificand se está Não 
2
1
:Logo
te.
2⇒= mvK
b) Se, em vez disso, a intensidade de F2 fosse 6,0 N, qual
seria agora a potência líquida; ela está variando?
76
( ) ( )
J/s. 6,0 de taxauma a caixa da energia
 ndo transferiestá que significa resultado Esse 0,9
60cos/0,30,6 cos
22
0
1222
FWP
smNP vFP
→=
⋅=→⋅⋅= φ
caixa. da e velocidada
como assim ,aumentando está caixa da cinética energia a Logo
positivo. valor um possui caixa a 
 para energia de ciatransferên 
 de e)(resultant líquida Taxa 0,30,9 0,6
 21
→=+−=
+=
WWWP
PPP
Líq
Líq
FÍSICA II
AULA 7
ENERGIA POTENCIAL (U)
ENERGIA POTENCIAL (U)
É a energia que pode ser associada à configuração ( ou
arranjo) de um sistema de objetos que exercem forças uns
sobre os outros.
Energia potencial gravitacional:
A energia potencial associada a um sistema formado pela
Terra e por uma partícula próxima é a energia potencial
gravitacional.
Energia potencial elástica:
É um tipo de energia potencial, que está associada ao estado
de compressão ou alongamento de um objeto elástico
(semelhante a uma mola). 78
Se você comprime ou alonga uma mola, você realiza trabalho
para modificar as posições relativas das espiras dentro da
mola. O resultado do trabalho realizado pela sua força é um 
aumento da energia potencial elástica da mola.
A energia é definida como a capacidade de realizar trabalho.
Assim, toda variação de energia cinética de um corpo, 
corresponde a uma variação de energia potencial , 
quando se desloca de uma posição para outra .
K∆
U∆
0=∆+∆ UK
A variação na energia cinética é compensada por uma 
variação oposta na energia potencial U, de modo que a soma 
de ambas permaneça constante durante o movimento.
EUK
UK
=+
=+ constante
Onde:
E – energia mecânica total do corpo, que permanece 
constante à medida que ele se move. 
[ ]
ymgU
yymgU
ymgU
dymgU
dymgU
if
yf
yi
yf
yi
yf
yi
∆=∆
−=∆
=∆
=∆
−−=∆
∫
∫
)(
)(
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
Considere uma partícula de massa m que se move 
verticalmente ao longo de um eixo y (sentido + para cima).
Enquanto a partícula se move, do ponto i para o ponto f, a 
força gravitacional realiza trabalho.
Considerando Ui= 0, pois o
móvel encontra-se no solo ,
yi =0.
mgyU =
A energia potencial 
gravitacional depende apenas 
da posição vertical da partícula 
ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA 
Considere uma mola de massa desprezível sendo comprimida, 
sofrendo uma deformação x, de um estado inicial i até um 
estado final f .
[ ]
22
22
2
2
1
2
1
)(
2
1
2
1
)(
if
if
xf
xi
xf
xi
xf
xi
KxKxU
xxKU
xKU
xdxKU
dxkxU
−=∆
−=∆
=∆
=∆
−−=∆
∫
∫ Considerando Ui= 0, pois a
mola encontra-se indeformada, 
xi =0.
A energia potencial elástica 
depende apenas da deformação 
do corpo elástico.
2
2
1 KxU =
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
Quando uma força conservativa realiza um trabalho W sobre 
um objeto dentro do sistema, ela transfere energia entre a 
cinética K do objeto e a potencial U do sistema.
A variação da energia cinética é dada por: 
WK =∆
WU −=∆
E a variação da energia potencial é dada por:
Combinando as duas equações acima:
1122
1212 )(
UKUK
UUKK
UK
+=+
−−=−
∆−=∆
(Eq. da conserv. da energia)
Momento Linear e impulso (1)
A segunda de Newton em relação ao momento linear
Considerar uma partícula com massa constante m.
Como , podemos escrever a segunda lei de Newton na forma:
Essa grandeza é chamada de quantidade de movimento ou momento
linear da partícula. Usando para esse vetor o símbolo
Unidade no SI kg.m/s
dt
vd
a
r
=
( ) (i) vm
dt
d
dt
vd
mF r
r
==∑
(ii) linear) momento de (definição vmp rr =
Substituindo a Eq. (ii) em (i) temos:
Segunda lei em termos do momento linear
Momento Linear e impulso (2)
(iii) 
dt
pdF
r
∑ =
Momento Linear e impulso (2)
O momento linear e a energia cinética dependem da massa e da velocidade
da partícula.
Momento linear→ é um vetor cujo o módulo depende da velocidade escalar
Energia cinética→é uma grandeza escalar proporcional ao quadrado da
Velocidade escalar.
Porem, para a diferença física entre o momento linear e a energia cinética,
é necessário definir uma grandeza intimamente relacionadacom o
momento linear denominada impulso.
Considerar uma força resultante constante atuando sobre a partícula durante
um intervalo de tempo ∆t de t1 a t2 . O impulso da força resultante, designado pelo
vetor , é definido pelo intervalo de tempo:
∑F
r
O teorema do impulso-momento Linear (1)
jr
( ) (iv) 12 ∑∑ ∆⋅=−= tFttFj rr
O impulso é uma grandeza vetorial;
Ele possui a mesma direção e o mesmo 
sentido do vetor força resultante ∑F
r
No SI, as unidades de impulso são dadas por (N.s). Como 1 N = 1kg.m/s2
logo as unidades do conjunto são kg.m/s ou seja mesmas unidades de
momento linear.
Para verificarmos qual é a utilidade do conceito de impulso, vamos examinar
novamente a segunda lei de Newton Eq. (iii). Quando a força resultante é
constante, então também é constante . Neste caso, é igual a variação total
do momento linear ocorrida durante o intervalo , dividida por este
intervalo: 
∑F
r
O teorema do impulso-momento Linear (2)
 
dt
pdr
 
dt
pdr
12 pp
rr
− 12 tt −
1212
12
12
12
achamos ,por anterior equação a ndomultiplica
 
pp)tF(t
)t(t
tt
ppF
rr
rr
−=−
−
−
−
=
∑
∑
Comparando esse resultado com a Eq. (iv), obtemos um resultado denominado
teorema do impulso-momento linear:
A variação do momento linear durante um intervalo de tempo é igual ao impulso de
força resultante que atua sobre a partícula durante esse intervalo.
O teorema de impulso-linear também é valido quando as forças não são 
constantes.
Para verificar isso, integramos em relação ao tempo membros da segunda lei de
Newton 
(v) 12 ppj
rrr
−=
O teorema do impulso-momento Linear (3)
21 e limites os entre ttdt
pdF
r
r
∑ =
 
2
1
22
1
12∫∫∫∑ −===
p
p
t
t
t
t
pppd dt 
dt
pd
 dtF rrr
r
r
A integral do membro esquerdo define 
o impulso da força resultante 
durante esse intervalo:
jr
∑F
r
O teorema do impulso-momento Linear (4)
O teorema do impulso-momento Linear (5)
( ) (vi) 12 ttFj m −= rr
O impulso e o momento linear são grandezas vetoriais. Em problemas específicos 
É mais fácil utilizar as componentes dos vetores nessas equações do seguinte 
modo:
( ) ( )
( ) ( ) (vii) 
(vi) 
121212
121212
2
1
2
1
yyyyym
t
t
y
xxxxxm
t
t
xx
mvmvppttF dtFj
mvmvppttF dtFj
−=−=−==
−=−=−==
∫∑
∫∑
r
r
HIDROSTÁTICA
FÍSICA
Hidrostática:
�Fluido,
�Pressão,
�Teorema Fundamental da Hidrostática,
�Densidade de um Corpo,
�Principio de Pascal,
�Teorema de Arquimedes.
É uma substancia que se deforma constantemente quando submetida a
uma tensão de cisalhamento, não importando o quão pequena possa ser 
essa tensão.
Fluido:
Pressão Média:
É a força dividida pela área, onde é estipulado que a força deve ser 
perpendicular (ou normal) à área. 
)(
lim
).( Á 
).( Força :Sendo 
0
2
i
A
FP
A
FP
mreaA
NF
A
FP
s
Média
→=
=
=
==
→
Relação de Unidades:
N→ Newton
1 atm = 1,013 x 105 Pa
N/m2 = Pa (Pascal)
Pressão Média:
Teorema Fundamental da Hidrostática :
liquído. de coluna da Pressão 
ar). do (Pressão aAtmosféric Pressão 
.recipiente do fundo noqualquer ponto um em Pressão :Sendo
 (ii)
.
.
=
=
=
→+=
Liq
atm
Liqatm
P
P
P
PPP
Densidade de um corpo:
)m/s (10 gravidade da Aceleração g :Sendo (iv)
).( Volume 
. corpo do massa :Sendo (iii) 
2
3
=→⋅⋅=
=
=→=
ghdP
mV
(kg)m
V
md
Liq.
OBS.: A pressão exercida por uma coluna liquida não depende da área da 
sua Seção.
Logo substituindo (iv) em (ii) vem:
)(
:Vem
 dosubstituin 
.
vghdPP
ghd PPPP
atm
Liq.Liqatm
→⋅⋅+=
⋅⋅=+=
Principio de Pascal:
Quando a pressão em qualquer lugar parte de um fluido (liquido ou gás) 
confinado é alterada, a pressão em qualquer outra parte do fluido também é
alterada da mesma quantidade.
2
2
1
1
S
F
S
F
=
Exercícios:
1.Calcule a pressão no fundo horizontal de um lago à profundidade de 20 m. 
São dados: Patm = 1 x 105 N/m2 , g = 10 m/s2 e dágua= 1x103 kg/m3
(Resp.: P = 3 x 105 N/m2 )
2.O gráfico mostra como varia com a profundidade a pressão no interior de 
um liquido homogêneo em equilíbrio. Sendo a aceleração da gravidade 
local g = 10 m/s2 . Determine:
a)A pressão atmosférica,
b)A densidade do líquido.
Resp.: [a) Patm = 1 x 105 N/m2 e b) d= 500 kg/m3]
Teorema de Arquimedes:
Um fluido em equilíbrio age sobre um corpo nele imerso (parcial ou totalmente) 
com uma força vertical orientada de baixo para cima, denominada empuxo, 
aplicada no centro de gravidade do volume de fluido deslocado, cuja a 
intensidade é igual à do peso do volume de fluido deslocado.
 
Corpo. do Peso 
Empuxo. do Fórmula 
Deslocado. Liquido do Volume 
Liquido. do Densidade :Onde
 :mas 
corpo. pelo deslocado Liquido de volumedo Peso :Onde
 :mas 
gVdP
gmP
gVdE
V
d
VdmgmE
P
gmPPE
CCC
CC
LL
L
L
LLLL
L
LLL
⋅⋅=
→⋅=
→⋅⋅=
→
→
⋅=→⋅=
→
⋅=→=
Corpo Flutuando Parcialmente Imerso:
imersa. fica que corpo do volumedo Parte 
 
Corpo do Equilibrio 
→
=
⋅⋅=⋅⋅
→=
L
C
L
L
C
CCLL
C
V
V
V
d
d
gVdgVd
PE
Exercícios:
1.Um pedaço de madeira, cuja a densidade é 0,80 g/cm3 , flutua num liquido 
de densidade 1,2 g/cm3 . O volume de madeira é 36 cm3. Determine o 
volume de liquido deslocado. (Resp.: 24 cm3)
2.Um corpo de massa 5,0 kg está em equilíbrio flutuando parcialmente 
imerso num liquido. Sendo g = 10 m/s2 , determine a intensidade do 
empuxo com que o liquido age sobre o corpo. (Resp.: 50 N)
3.Um corpo de 20 cm3 flutua na água deslocando 5,0 cm3 do liquido. Sendo a 
densidade da água 1,0 g/cm3 , determine a densidade do corpo.
(Resp.: 0,8 g/cm3)
4. Calcule a pressão nos pontos A, B, e C de um lago, conforme a figura 
abaixo. A pressão atmosférica da água é de 1 x 105 N/m2 e a densidade 
da água é 1 x 103 kg/m3 e a aceleração da gravidade é 10 m/s2.
Fluidos Ideais em Movimento
DANIEL BERNOULLI (1700-1782)
Radicada em Basiléia, Suíça, a família
Bernoulli (ou Bernouilli) tem um papel de
destaque nos meios científicos dos
séculos XVII e XVIII: dela descendem
nada menos que dez cientistas eminentes,
que revolucionarão a Física e a
Matemática do período.
A obra mais marcante, de Daniel Bernoulli
foi Hidrodinâmica - importante
estudo de mecânica dos fluidos. 
Hidrodinâmica
Um fluido ideal tem pelo menos as seguintes características:
• Escoamento Laminar - A velocidade do fluido em qualquer 
ponto fixo não muda com o tempo.
• Escoamento incompressível, densidade é constante.
• Escoamento não viscoso.
• Escoamento não - rotacional, irrotacional.
“Escoamento ideal ou escoamento sem atrito, é aquele no 
qual não existem tensões de cisalhamento atuando no 
movimento do fluido”.
Hidrodinâmica
Equação da Continuidade
• É a equação que mostra a conservação da massa de
líquido no conduto, ao longo de todo o escoamento;
• Pela condição de escoamento em regime permanente, 
podemos afirmar que entre as seções (1) e (2), não 
ocorre nem acúmulo, nem falta de massa:
m1 = m2 = m = cte
Hidrodinâmica
ρ = ∆m/V ∆m=ρ.V
V = A.∆l
Q= ∆m/∆t = ρ.V/ ∆t = ρ. A.∆l /∆t = ρ.A.v
HidrodinâmicaDadas duas seções do escoamento: 
Q= ρ.A.v
ρAv = constante
Se ρ é constante (não 
há variação de massa):
A1V1= A2V2
Hidrodinâmica
A equação da continuidade estabelece que:
O volume total de um fluido incompressível (fluido que mantém 
constante a densidade apesar das variações na pressão e na 
temperatura) que entra em um tubo será igual aquele que está
saindo do tubo;
A vazão medida num ponto ao longo do tubo será igual a 
vazão num outro ponto ao longo do tubo, apesar da área da 
seção transversal do tubo em cada ponto ser diferente.
Q = A1 v1 = A2 v2 = constante
Hidrodinâmica
Pela equação da continuidade podemos afirmar 
que “a velocidade de escoamento é inversamente
proporcional à área da secção transversal”.
Hidrodinâmica
Problema - Uma mangueira de diâmetro de 2 cm é usada 
para encher um balde de 20 litros.
a)Se leva 1 minuto para encher o balde. Qual é a
velocidade com que a água passa pela mangueira?
b)Um brincalhão aperta a saída da mangueira até
ela ficar com um diâmetro de 5 mm, e acerta o vizinho com 
água. Qual é a velocidade com que a água sai da mangueira? 
Hidrodinâmica
Solução:
a) A área da seção transversal da mangueira será dada por
A1 = pir2 = pi(2 cm /2)2 = pi cm2.
Para encontrar a velocidade, v1 , usamos
Taxa de escoamento (vazão)= A1v1 = 20 L / min = 20 x 103 cm3 / 60s
v1= (20 x 103 cm3 / 60 s) / (pi cm2) = 106,1 cm/s.
b) A taxa de escoamento ( A1v1 ) da água que se aproxima da abertura da 
mangueira deve ser igual a taxa de escoamento que deixa a mangueira 
( A2v2 ). Isto resulta em:
v2= A1v1 / A2 = (pi. 106,1) / (pi. (0,5/2)2) = 1698 cm/s.
Hidrodinâmica
Problema: Assumindo o fluxo de um fluido incompressível como o sangue, se 
a velocidade medida num ponto dentro de um vaso sanguíneo é 40 m/s, qual 
é a velocidade num segundo ponto que tem um terço do raio original?
Este problema pode ser resolvido usando a equação da continuidade:
ρ1A1v1= ρ2A2v2
onde:
ρ é a densidade do sangue;
A é a área da seção transversal;
v é a velocidade e os subscritos 1 e 2 referem-se às localizações dentro do vaso.
Desde que o fluxo sangüíneo é incompressível, temos
ρ1= ρ2 v1 = 40 cm/s A1=pir12
A2 = pir22 r2=r1/3, A2= pi(r1/3)2 = (pi r12)/9 ou A2=A1/9
A1/A2 = 9
Resolvendo: v2 = (A1v1)/A2 = 9 v1 = 9 x 40 cm/s = 360 cm/s
Hidrodinâmica
Equação de Bernoulli
• Escoamento em regime permanente;
• Escoamento incompressível;
• Escoamento de um fluido considerado ideal, ou seja, 
aquele onde a viscosidade é considerada nula, ou 
aquele que não apresenta dissipação de energia ao 
longo do escoamento;
• Escoamento apresentando distribuição uniforme das 
propriedades nas seções;
• Escoamento sem presença de máquina hidráulica, ou 
seja, sem a presença de um dispositivo que forneça, ou 
retira energia do fluido;
• Escoamento sem troca de calor;
Hidrodinâmica
• A energia presente em um fluido em escoamento 
sem troca de calor pode ser separada em três 
parcelas:
- Energia de pressão;
- Energia cinética;
- Energia de posição; 
Hidrodinâmica
Linhas de corrente:
• Uma linha de corrente é a trajetória de um elemento de 
volume do fluido.
• O vetor velocidade será sempre tangente á linha de 
corrente.
Linhas de corrente I, II e III.
Hidrodinâmica
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Daniel Bernoulli, mediante considerações de energia aplicada 
ao escoamento de fluidos, conseguiu estabelecer a equação 
fundamental da Hidrodinâmica. Uma relação entre a pressão, 
a velocidade e a altura em pontos de uma linha de corrente.
P1 + ρ g y1 + ½ ρ v12 = P2 + ρ g y2 + ½ ρ v22
P + ρ g y + ½ ρ v2 = constante
Hidrodinâmica
Relembrando os conceitos de energia:
– Energia Cinética: K = 1/2 mv2
– Energia Potencial de posição: U(y) = m g y
– Trabalho: W = F . d
Hidrodinâmica
Hidrodinâmica
Aplicações da Equação de Bernoulli:
v1 > v2 ou v1 < v2 ?
P1 > P2 ou P1 < P2 ? ?
Hidrodinâmica
Aplicações da Equação de Bernoulli
MEDIDOR VENTURI 
Hidrodinâmica
O medidor de Venturi é usado para medir a velocidade de 
escoamento de um fluido de densidade ρF em um cano.
A área A da seção transversal da entrada e da saída são 
iguais a área da seção transversal do cano. Entre a entrada e
a saída, o fluido passa por uma região estreita de área a . Um 
manômetro que contém um líquido de densidade ρL
conecta a parte mais larga à parte mais estreita. 
Hidrodinâmica
Hidrodinâmica
V1 = A2 2 (P1 - P2)
ρF (A12 - A22)
Hidrodinâmica
Hidrodinâmica
Exercícios: