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�PAGE � �PAGE �80� UERJ - CTC - IME - Departamento de Informática e Ciência da Computação Cálculo Numérico — Professora Mariluci Ferreira Portes � Unidade VI - Diferenciação Numérica VI.1 - Introdução A aplicação da matemática à física e as ciências sociais frequentemente requer a determinação da derivada da função. Algumas vezes é fácil encontrar a derivada fechada. Exemplo: f (x) = sen x ( f ’(x) = cos x Mas na prática ocorre: Não se encontrar a solução em forma fechada; A solução em fórmula fechada existir e, no entanto, pode ser muito difícil de encontrar; A solução em fórmula fechada pode ser de pouco valor prático. t v 0,5 9,375 0,6 9,488 0,8 10,296 0,9 11,027 1,1 13,233 1,2 14,744 Tab. 1 Suponha que tenhamos a tabela da velocidade (m / seg) de um móvel em vários intervalos de tempo t (em segundos), ou seja: e que precisemos determinar a aceleração do móvel em um instante t. Matematicamente, . No entanto, para se calcular a aceleração com os valores da Tab. 1 precisaríamos recorrer aos métodos numéricos. VI.2 - Diferenciação Numérica A derivada de uma função f (x) em x = x0 é definida por: quando o limite existe. Logo se calcularmos: para um valor bem pequeno de (x teremos uma boa aproximação f ’(x0). Convém lembrar que (x < 0, então (1) fica da seguinte forma: Graficamente temos: P P[p x0 - (x x0 x0 + (x L+ tem curvatura dada por (1) e L - tem curvatura dada por (2) A derivada f ’(x0) é dada pela curvatura da reta tangente à curva f (x) em (x0, f (x0)). Quando (x ( 0 , L + e L - ( para reta tangente. Traçando a corda PQ, a curvatura da reta que contém PQ se aproxima da curvatura da reta tangente, quando (x (0. Logo: Fazendo 2(x = h, temos: Raciocínio análogo nos leva a fórmula para 2ª.derivada. E assim sucessivamente para se obter as fórmulas para derivadas de ordem superior a 2. VI.2.1 - Erro de Truncamento Desenvolvendo-se f (x) em Série de Taylor e considerando só os 3 primeiros termos, te- mos : (9) onde Substituindo x por em (9), vem: (10) Substituindo x por em (9), vem: Subtraindo (11) de (10), vem: Se f ’”(x) for contínua, pelo teorema da valor médio tal que De (12) vem: Comparando (9) com (4), concluímos que De modo análogo o erro de truncamento ao utilizar a fórmula da 2ª.derivada é dado por: (15) Observação: Os erros de truncamento são proporcionais a h2. Logo a convergência dos métodos é quadrática. Exemplos: 1º) Considere a tabela: x 0 2 4 6 f(x) 1 9 65 217 Determine: O valor de f’(3). O erro de truncamento cometido a utilizar o valor f’(3), por aproximação, sabendo que f(x) = x3 + 1. Solução: 1) Ponto Médio f’( ) = f’(3) = f’(3) 2) Erro de Truncamento f(x) = x3 f’(x) = 3x2 f’’(x) = 6x f’’’(x) = 6 ( , ou seja, é o ponto médio inteiro entre 2 e 4) Curiosidade: f'(x) = 3x2 f’(3) = 3 . 32 = 27. Observação: O valor aproximado está próximo do valor real. 2º) Suponha que se tenha a seguinte tabela de f(x), para f(x) = ex x 0,75 1 1,25 f(x) 2,11700 2,71828 3,49034 Determinar o erro que se comete ao calcular f’(x) em x = 1, com os valores tabelados. Solução: f'(1) = = = 2,74668 Apliquemos a fórmula do erro de truncamento = 0,7078858 x 10-2 Conclusão: O erro de truncamento é da ordem de 10-2, o que significa, ter 2 algarismos exatos em f’(1). Calculada pela regra de derivação numérica: < 10-2 h2 < 24 . 10-2 : e h2 < 0,08889 h < 0,297138 Observação: Para que se tenha boa convergência nos métodos, a amplitude h deve ser da forma . No exemplo acima h = 0,25 = satisfaz a condição de erro < 10-2. n h = 0 1 1 0,5 2 0,25 3 0,125 3º)Dada a tabela abaixo, determine f ’(0,85). X(rd) 0,65 0,75 0,85 0,95 sen x 0,6051 0,6816 0,7512 0,8134 Solução: Considerando o resultado abaixo como o mais aproximado , temos: f (x) = sen x f ’(x) = cos x f ’(0,85) = cos (0,85) = 0,6599 O erro cometido usando o método numérico (f ’(x) = | 0,6599 - 0,6590 | = 0,0009 VI.3 - Diferenciação Numérica Generalizada Para reduzir o erro de truncamento é necessário desenvolver fórmulas numéricas para derivação envolvendo mais pontos. VI.3.1 - Fórmula para três pontos não igualmente espaçados Considere x -1 < x 0 < x 1 três pontos tais que: x -1 = x 0 - h 1 x 1 = x 0 + h 2 com h 1, h 2 > 0. Então: f '(x 0) ( p -1 f (x -1 ) + p 0 f (x0) + p 1 f (x1) (16) f '(x 0) ( p -1 f (x 0 - h 1 ) + p 0 f (x0) + p 1 f (x0 + h 2) (17) Precisamos determinar p -1 , p 0 , p 1 . Consideremos inicialmente f (x) constante e igual a 1. f (x) = 1 ( f '(x) = 0 (*) p -1 + p 0 + p 1 = 0 - Considere agora f (x) = x - x0 . Então f '(x) = 1 (**) - h 1 p -1 + h 2 p 1 = 1 - Finalmente considere f (x) = (x - x0 ) 2 . Então f '(x) = 2 (x - x0 ) (***) (h 1 )2 p -1 + (h 2)2 p 1 = 0 De (*), (**), (***) temos o seguinte sistema: Cuja solução é: Levando esses coeficientes em (17), temos: (18) f '(x0) = Observação: 1. Se h 1 = h 2 = h, (18) é a própria fórmula dos dois pontos. 2. Não há erro de truncamento se f (x) for um a função constante, linear ou quadrática pois utilizamos essas funções para deduzir a fórmula de aproximação. Exemplo: Dada a Tabela 1, dentro do item “VI.1 - Introdução”, determine a aceleração do móvel em t = 1,1 segundos. Solução: 0,9 < 1,1 < 1,2 x -1 = 0,9 ( h 1 = 0,2 v (0,9) = 11,027 x 0 = 1,1 v (1,1) = 13,233 x 1 = 1,2 ( h 2 = 0,1 v (1,2) = 14,744 a (1,1) a (1,1) a (1,1) m / s 2 VI.3.2 - Erro de Truncamento Desenvolvendo-se f (x) em série de Taylor, temos: (19) onde Façamos x = x 0 + h2 em (19) e multipliquemos por h 2 : (20) onde Façamos x = x 0 - h1 em (19) e multipliquemos por h 22 : (21) onde Subtraindo (21) de (20), temos: (22) Comparando (22) com o resultado obtido em (18), concluímos que : Se f ’’’(x) for limitada em (x 0 – h 1, x 0 + h 2 ) então tal que . (23) Observação: O resultado obtido em (18) não leva a uma maior precisão, porém permite-nos a trabalhar com pontos que não estejam igualmente espaçados. VI.3.3 – Aproximação de f ’(x) utilizando 5 (cinco) pontos Considerar de tal forma que: Na dedução da fórmula foram utilizados pontos igualmente espaçados, e se chegou a: 24) Observação: Esta fórmula é exata para funções polinomiais de grau menor ou igual a 4. Uma análise do erro nos levaria a: onde Observação: Utilizando a fórmula dos 5 pontos diminuímos o erro de truncamento sem ter que diminuir h, mas no entanto precisamos ter mais dois pontos tabelados. Com a fórmula dos 5 pontos podemos deduzir fórmulas para derivadas de mais alta ordem. Exemplo: (26) Observação: A soma dos coeficientes das aproximações f ’(x0), f ’’(x0), f ’”(x0) é sempre zero, daí não devermos fazer h muito pequeno. Lista de Exercícios - Unidade VI TABELA 1 x 100 102 104 106 108 f (x) 2, 0000000 2, 0086002 2,0170333 2, 0253059 2, 0334238 1) Considerando os dados da tabela 1 calcule : 1.1) a derivada 1ª f(x) em x =105 1.2) a derivada 1ª f(x) em x = 107 1.3) uma cota superior de erro de truncamento ao utilizar o valor aproximado da 1ª derivada de f(x) para x = 5. 1.4) uma cota superior de erro de truncamento ao utilizar o valor aproximado da 1ª derivada de f(x) para x = 7. TABELA 2 x 1 2 3 4 f (x) 0 0,6931 1,0986 1,3836 2) Considerando os dados da tabela 2 calcule : 1.1) a derivada 1ª f(x) em x =2 1.2) a derivada 1ª f(x) em x = 3 1.3) uma cota superior de erro de truncamento ao utilizar o valor aproximado da 1ª derivada de f(x) para x = 2. 1.4) uma cota superiorde erro de truncamento ao utilizar o valor aproximado da 1ª derivada de f(x) para x = 3. 1.5) o erro absoluto cometido ,comparando o resultado da 1ª derivada de f(x) = ln x para x = 3 com o obtido em (1.2). 1.6) o valor de h, para que se tenha o cálculo da 1ª derivada com erro inferior a 10-3 . . P Q L- L+ L _925216712.unknown _925216788.unknown _1136889788.unknown _1136890308.unknown _1136891148.unknown _1136891395.unknown _1136892696.unknown _1136892751.unknown _1136891616.unknown _1136891916.unknown _1136891299.unknown _1136891319.unknown _1136891179.unknown _1136890388.unknown _1136890471.unknown _1136890339.unknown _1136890062.unknown _1136890090.unknown _1136889913.unknown _925216816.unknown _1136278409.unknown _1136889576.unknown _1136889707.unknown _1136889554.unknown _1054491483.unknown _1054492866.unknown _1054492898.unknown _925216822.unknown _925216830.unknown _989698125.unknown _925216826.unknown _925216819.unknown _925216802.unknown _925216808.unknown _925216812.unknown _925216805.unknown _925216795.unknown _925216798.unknown _925216791.unknown _925216755.unknown _925216773.unknown _925216781.unknown _925216784.unknown _925216777.unknown _925216762.unknown _925216770.unknown _925216758.unknown _925216739.unknown _925216747.unknown _925216751.unknown _925216743.unknown _925216723.unknown _925216727.unknown _925216720.unknown _925216683.unknown _925216698.unknown _925216704.unknown _925216708.unknown _925216701.unknown _925216691.unknown _925216694.unknown _925216687.unknown _925216669.unknown _925216676.unknown _925216679.unknown _925216673.unknown _925216659.unknown _925216666.unknown _925216652.unknown
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