Lista 4 - MAT 332 - 2015-II

Prévia do material em texto

MAT 332 - A´lgebra para Licenciatura 1
Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
MAT 332 - A´lgebra para Licenciatura 2015/II
4a Lista de Exerc´ıcios
To´pico: Ane´is e Subane´is
1. Prove que o conjunto Q, dotado das leis
a ∗ b = a + b− 1
a ? b = a + b− a · b
e´ um anel.
2. Consideremos as operac¸o˜es ∗ e ∆ em Q definidas por
a ∗ b = a + b− 3
a∆b = a + b− a · b
3
Mostre que (Q, ∗,∆) e´ um anel comutativo com unidade.
3. Seja (A,+, ·) um anel. Em A× A sa˜o definidas:
(a, b)⊕ (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b)� (c, d) = (ac, bd).
Prove que (A× A,⊕,�) e´ um anel.
4. Consideremos em Z× Z as operac¸o˜es de + e · definidas por:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad + bc).
Mostre que (Z× Z,+, ·) e´ um anel comutativo com unidade.
5. Determinar os subane´is dos seguintes ane´is:
(a) (Z4,+, ·)
(b) (Z12,+, ·)
(c) (Z15,+, ·)
(d) (Z24,+, ·)
Lista elaborada por: L´ılian Neves Santa Rosa. DMA - UFV.
MAT 332 - A´lgebra para Licenciatura 2
6. Seja (A,+, ·) um anel e seja a ∈ A. Se C(a) denota o conjunto de todos os elementos que
comutam com a,
C(a) = {x ∈ A : ax = xa},
mostre que C(a) e´ um subanel de A.
7. O centro de um anel (A,+, ·), denotado por Z(A), e´ o conjunto
Z(A) = {a ∈ A/a · x = x · a, ∀x ∈ A}.
Mostre que (Z(A),+, ·) e´ um subanel de (A,+, ·).
8. Seja (A,+, ·) um anel com a seguinte propriedade: x2 = x, para todo x ∈ A. Mostre que
x = −x, para todo x ∈ A.
9. Seja A um anel de integridade. Prove que se a ∈ A e a2 = 1A, enta˜o a = 1A ou a = −1A.
10. Mostre que se A e´ um anel de integridade, x ∈ A e x2 = x, enta˜o x = 0A ou x = 1A.
11. Considere o anel (Z18,+, ·).
(a) Quais os elementos invert´ıveis deste anel?
(b) Resolva, em Z18, o sistema: {
5x + 2y = 1
x + 11y = 7
12. Determine os elementos invert´ıveis do anel (Z×Z,+, ·), em que (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
e (a, b) · (c, d) = (ac, ad + bc).
13. Determine todos os divisores de zero do anel (Z24,+, ·).
Lista elaborada por: L´ılian Neves Santa Rosa. DMA - UFV.