Lista_08_Integrais_Volume_e_Comprimento_Arcos

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
UTFPR — Campus Pato Branco
Lista 08 - Integral Definida e Ca´lculo de Volumes e Comprimento
de Arcos
1. Represente graficamente e calcule o volume V do so´lido obtido pela rotac¸a˜o do gra´fico de
f(x), a ≤ x ≤ b, em torno do eixo x, em cada caso.
(a) f(x) =
√
x (0 ≤ x ≤ 1)
(b) f(x) = 3x (0 ≤ x ≤ 2)
(c) f(x) =
√
4− x2 (0 ≤ x ≤ 2)
2. Represente geometricamente e calcule o volume do cone obtido pela rotac¸a˜o do gra´fico de
y = 3x em torno do eixo x, no intervalo (0 ≤ x ≤ 2).
3. Represente graficamente e calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o do gra´fico de
y =
√
4− x2 em torno do eixo x, no intervalo (0 ≤ x ≤ 2).
4. Represente geometricamente e calcule o volume do tronco de cone obtido pela rotac¸a˜o do
gra´fico de f(x) = x+ 7 (0 ≤ x ≤ 3) em torno do eixo x.
5. Represente graficamente e calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o do gra´fico de
f(x) = x2 em torno do eixo x, entre x = 0 e x = 3.
6. Represente graficamente e calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o do gra´fico de
f(x) =
√
9− x2 em torno do eixo x, x ∈ [−3; 3]. Fac¸a uma figura e interprete o nu´mero
resultante.
7. Represente graficamente e calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o do gra´fico de
f(x) =
√
9− x2 em torno do eixo x, para x entre 0 e 2. Fac¸a uma figura e interprete o
nu´mero resultante.
8. Represente graficamente e calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o do gra´fico f(x) =√
16− 4x2, x ∈ [−2; 2] em torno do eixo x. Fac¸a uma figura.
9. Represente graficamente e calcule o volume da esfera de raio 1.
10. Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume da esfera de raio
r.
(Sugesta˜o nas respostas)
11. Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume do so´lido obtido
pela rotac¸a˜o do gra´fico de f(x) =
√
x (0 ≤ x ≤ 1) em torno do eixo x.
12. Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume de um cone
circular reto com raio da base r = 3 e altura h = 5.
13. Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume da esfera de raio
R = 5.
14. Calcule o comprimento de arco da curva dada pela func¸a˜o y = x2 + 1 no intervalo [0; 2].
15. Calcule o comprimento de arco da curva dada pela func¸a˜o y =
√
x no intervalo [0; 4].
1
16. Calcule o comprimento de arco da curva dada pela func¸a˜o y =
2
3
√
x3 no intervalo [0; 1].
17. Calcule o comprimento de arco da curva dada pela func¸a˜o y = ln(cosx) no intervalo[
o,
pi
3
]
.
18. Se f(x) = 3x
2
3 + 10, determine o comprimento do arco do gra´fico de f do ponto A(8; 2)
a B(27; 17).
19. Determine o per´ımetro da elipse:
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
20. (Rivera, 2007, pa´g. 416) Calcule o comprimento da curva dada por x
2
3 + t
2
3 = a
2
3 , no
intervalo [0; a].
Respostas!!
1. (a) V =
pi
2
(b) V = 24pi
(c) V =
16pi
3
2. 24pi
3.
16pi
3
4. 219pi
5.
243pi
5
6. 36pi
7.
46pi
3
8.
128pi
3
9.
4pi
3
10.
4pir3
3
Sugesta˜o: A equac¸a˜o reduzida de uma circunfereˆncia e´ dada por: (x−xc)2+(y−yc)2 = r2,
onde (xc, yc) representa o centro da circunfereˆncia e r o raio da mesma. Considere um
c´ırculo com centro na origem (0; 0) e raio r qualquer.
11.
pi
2
12. 15pi
2
13.
500pi
3
14. ∼= 4, 6468 unidades de comprimento.
15. Comprimento =
∫ 2
0
√
1 + 4y2dy = 4, 646783762
16. Comprimento =
∫ 1
0
√
1 + xdy = 1, 218951415
17. ∼= 1, 3170
18. 13
13
2 − 8 32 =∼= 24, 2447 unidades de comprimento.
19.
x2
a2
+
y2
b2
= 1 ⇒ y = b
a
√
? e C =
∫ b
a
√
1 + [y′]2dy
20. a
Lista elaborada pelo Professor Dr. Jose´ Donizetti de Lima
Digitac¸a˜o: Larissa h. Vieira
Configurac¸o˜es: Professora Ms. Marieli Musial Tumelero
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