RCL08_RES_Elementos_Logica_Sentencial

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Autor: 
João Batista Deguer 
 
 
Título: 
Elementos de Lógica Sentencial 
Matéria: 
 
RACIOCÍNIO 
LÓGICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resumos 
Série 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assunto: 
 
Elementos de Lógica Sentencial 
 
Matéria: Autor: 
 
Raciocínio Lógico João Batista Deguer 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONTEÚDO 
 
 
 
1. A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de predicados 
 
2. Sentenças atômicas e moleculares 
 
3. A interpretação vero-funcional dos operadores sentenciais 
 
4. A negação 
 
5. A conjunção 
 
6. A disjunção 
 
7. A condicional 
 
8. Variantes da condicional material 
 
9. Negações 
 
10. Formação de predicados 
 
11. Regras de inferência da lógica sentencial 
 
12. Inferências inválidas da lógica sentencial 
 
Elementos de Lógica sentencial
1. A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de predicados
A lógica divide-se em lógica sentencial e lógica de predicados. A lógica sentencial estuda
argumentos que não dependem da estrutura interna das sentenças. Por exemplo:
(1)
Se Deus existe, então a felicidade eterna é possível.
Deus existe.
Logo, a felicidade eterna é possível.
A validade do argumento (1) depende do modo pelo qual as sentenças são conectadas, mas não depende
da estrutura interna das sentenças. A forma lógica de (1) deixa isso claro:
(1a)
Se A, então B.
A.
Logo, B.
Diferentemente, a lógica de predicados estuda argumentos cuja validade depende da estrutura interna das
sentenças. Por exemplo:
(2)
Todos os cariocas são brasileiros.
Alguns cariocas são flamenguistas.
Logo, alguns brasileiros são flamenguistas.
A forma lógica de (2) é a seguinte:
(2a)
Todo A é B.
Algum A é C.
Logo, algum B é A.
A primeira premissa do argumento (2) diz que o conjunto dos indivíduos que são cariocas está contido no
conjunto dos brasileiros. A segunda, diz que ‘dentro’ do conjunto dos cariocas, há alguns indivíduos que
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
3
Alexandre Granzotto
Highlight
Alexandre Granzotto
Highlight
Alexandre Granzotto
Rectangle
são flamenguistas. É fácil concluir então que existem alguns brasileiros que são flamenguistas, pois esses
flamenguistas que são cariocas serão também brasileiros. Essa conclusão se segue das premissas.
Note, entretanto, que as sentenças ‘todos os cariocas são brasileiros’ e ‘alguns cariocas são
flamenguistas’ têm uma estrutura diferente da sentença ‘se Deus existe, a felicidade eterna é possível’.
Esta última é formada a partir de duas outras sentenças ‘Deus existe’ e ‘a felicidade eterna é possível’,
conectadas pelo operador lógico se...então. Já para analisar o argumento (2) precisamos analisar a
estrutura interna das sentenças, e não apenas o modo pelo qual sentenças são conectadas umas às outras.
O que caracteriza a lógica de predicados é o uso dos quantificadores todo, algum e nenhum. É
por esse motivo que a validade de um argumento como o (2) depende da estrutura interna das sentenças.
A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de predicados ficará mais clara no decorrer desta e da
próxima unidade.
Usualmente o estudo da lógica começa pela lógica sentencial, e seguiremos esse caminho aqui.
Nesta unidade vamos estudar alguns elementos da lógica sentencial. Na próxima unidade, estudaremos
elementos da lógica de predicados.
2. Sentenças atômicas e moleculares
Considere-se a sentença
(1) Lula é brasileiro.
A sentença (1) é composta por um nome próprio, ‘Lula’, e um predicado, ‘... é brasileiro’. Em lógica, para
evitar o uso de ‘...’, usamos uma variável para marcar o(s) lugar(es) em que podemos completar um
predicado. Aqui, expressões do tipo x é brasileiro designam predicados. Considere agora a sentença
(2) Xuxa é mãe de Sasha.
A sentença (2) pode ser analisada de três maneiras diferentes, que correspondem a três predicados
diferentes que podem ser formados a partir de (2):
(2a) x é mãe de Sasha;
(2b) Xuxa é mãe de x;
(2c) x é mãe de y.
Do ponto de vista lógico, em (2c) temos o que é chamado de um predicado binário, isto é, um predicado
que, diferentemente de x é brasileiro , deve completado por dois nomes próprios para formar uma
sentença.
As sentenças (1) e (2) acima são denominadas sentenças atômicas. Uma sentença atômica é uma sentença
formada por um predicado com um ou mais espaços vazios, sendo todos os espaços vazios completados
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
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Alexandre Granzotto
Highlight
por nomes próprios. Sentenças atômicas não contêm nenhum dos operadores lógicos e, ou, se...então etc.,
nem os quantificadores todo, nenhum, algum etc.
Sentenças moleculares são sentenças formadas com o auxílio dos operadores sentenciais. Exemplos de
sentenças moleculares são
(3) Lula é brasileiro e Zidane é francês,
(4) Se você beber, não dirija,
(5) João vai à praia ou vai ao clube.
3. A interpretação vero-funcional dos operadores sentenciais
Os operadores sentenciais que estudaremos aqui são as partículas do português não, ou, e,
se...então, se, e somente se. A lógica sentencial interpreta esses operadores como funções de verdade ou
vero-funcionalmente. Isso significa que eles operam apenas com os valores de verdade dos seus
operandos, ou em outras palavras, o valor de verdade de uma sentença formada com um dos operadores é
determinado somente pelos valores de verdade das sentenças que a constituem.
Os operadores sentenciais se comportam de uma maneira análoga às funções matemáticas. Estas
recebem números como argumentos e produzem números como valores. Os operadores sentenciais são
funções porque recebem valores de verdade como argumentos e produzem valores de verdade. Considere-
se a seguinte função matemática:
(4) y = x + 1.
Dizemos que y = f(x), isto é, ‘y é função de x’, o que significa que o valor de y depende do valor atribuído
a x.
Quando x = 1, y = 2;
x = 2, y = 3;
x = 3, y = 4,
e assim por diante. Analogamente a uma função matemática, uma função de verdade recebe valores de
verdade como argumentos e produz valores de verdade como valores.
As chamadas tabelas de verdade mostram como os operadores da lógica sentencial funcionam.
No lado esquerdo da tabela de verdade temos as sentenças a partir das quais a sentença composta foi
formada – no caso da negação, uma única sentença. O valor produzido pela função de verdade está na
coluna da direita. As letras V e F representam os valores de verdade verdadeiro e falso.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
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Alexandre Granzotto
Highlight
4. A negação
Comecemos pelo operador sentencial mais simples, a negação. A tabela de verdade da negação de uma
sentença A é
A não A
V F
F V
A negação simplesmente troca o valor de verdade da sentença. Uma sentença verdadeira, quando negada,
produz uma sentença falsa, e vice-versa.
Há diferentes maneiras de negar uma sentença atômica em português. Considere a sentença
verdadeira
(5) Lula é brasileiro.
As sentenças
(6) Não é o caso que Lula é brasileiro,
(7) Não é verdade que Lula é brasileiro
e
(8) É falso que Lula é brasileiro
são diferentes maneiras de negar (5). Como (5) é uma sentença atômica, podemos também negar (5) por
meio da sentença
(9) Lula não é brasileiro.
A negação em (9) é denominada negação predicativa, pois nega o predicado, ao passo que em (6) há uma
negação sentencial porque toda a sentença é negada. No caso de sentenças atômicas,
a negação
predicativa é equivalente à negação sentencial, mas veremos que isso não ocorre com sentenças
moleculares e sentenças com quantificadores.
Note que negar duas vezes uma sentença equivale a afirmar a própria sentença. A negação de
(5) Lula é brasileiro
é
(9) Lula não é brasileiro,
e a negação de (9),
(10) Não é o caso que Lula não é brasileiro,
é a negação da negação de (5), que é equivalente à própria sentença (5).
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
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Alexandre Granzotto
Highlight
5. A conjunção
Uma sentença do tipo A e B é denominada uma conjunção. Considere-se a sentença
(11) João foi à praia e Pedro foi ao futebol.
A sentença (1) é composta por duas sentenças,
(12) João foi à praia
e
(13) Pedro foi ao futebol
conectadas pelo operador lógico e. Na interpretação vero-funcional do operador e, o valor de verdade de
(11) depende apenas dos valores de verdade das sentenças (12) e (13). É fácil perceber que (11) é
verdadeira somente em uma situação: quando (12) e (13) são ambas verdadeiras. A tabela de verdade de
uma conjunção A e B é a seguinte:
A B A e B
V V V
V F F
F V F
F F F
Note que, na interpretação vero-funcional da conjunção, A e B é equivalente a B e A. Não faz diferença
alguma afirmarmos (11) ou
(14) Pedro foi ao futebol e João foi à praia.
É importante observar que a interpretação vero-funcional da conjunção não expressa todos os
usos da partícula e em português. A sentença
(15) Maria e Pedro tiveram um filho e casaram
não é equivalente a
(16) Maria e Pedro casaram e tiveram um filho.
Em outras palavras, o e que ocorre em (15) e (16) não é uma função de verdade.
6. A disjunção
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
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Alexandre Granzotto
Highlight
Alexandre Granzotto
Highlight
Uma sentença do tipo A ou B é denominada uma disjunção. Há dois tipos de disjunção, a inclusiva e a
exclusiva. Ambas tomam dois valores de verdade como argumentos e produzem um valor de verdade
como resultado. Começarei pela disjunção inclusiva. Considere-se a sentença
(17) Ou João vai à praia ou João vai ao clube,
que é formada pela sentenças
(18) João vai à praia
e
(19) João vai ao clube
combinadas pelo operador ou. A sentença (17) é verdadeira em três situações:
(i) João vai à praia e também vai ao clube;
(ii) João vai à praia mas não vai ao clube e
(iii) João não vai à praia mas vai ao clube.
A tabela de verdade da disjunção inclusiva é a seguinte:
A B A ou B
V V V
V F V
F V V
F F F
No sentido inclusivo do ou, uma sentença A ou B é verdadeira quando uma das sentenças A e B é
verdadeira ou quando são ambas verdadeiras, isto é, a disjunção inclusiva admite a possibilidade de A e B
serem simultaneamente verdadeiras.
No sentido exclusivo do ou, uma sentença A ou B é verdadeira apenas em duas situações:
(i) A é verdadeira e B é falsa;
(ii) B é verdadeira e A e falsa.
Não há, na disjunção exclusiva, a possibilidade de serem ambas as sentenças verdadeiras. A tabela de
verdade da disjunção exclusiva é
A B A ou B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
8
V V F
V F V
F V V
F F F
Um exemplo de disjunção exnclusiva é
(20) Ou o PMDB ou o PP receberá o ministério da saúde,
que é formada a partir das sentenças:
(21) o PMDB receberá o ministério da saúde;
(22) o PP receberá o ministério da saúde.
Quando se diz que um determinado partido receberá um ministério, isso significa que um membro de tal
partido será nomeado ministro. Posto que há somente um ministro da saúde, não é possível que (21) e
(22) sejam simultaneamente verdadeiras. O ou da sentença (20), portanto, é exclusivo.
Na lógica simbólica, são usados símbolos diferentes para designar o ou inclusivo e o exclusivo. No latim,
há duas palavras diferentes, vel para a disjunção inclusiva e aut para a exclusiva. No português isso não
ocorre. Na maioria das vezes é apenas o contexto que deixa claro se se trata de uma disjunção inclusiva
ou exclusiva.
Assim como ocorre com a conjunção, sentenças A ou B e B ou A são equivalentes. Isso vale tanto para o
ou inclusivo quanto para o exclusivo.
Exercício: as sentenças abaixo são disjunções inclusivas ou exclusivas?
1. Ou a Itália ou a França ganhou a copa de 2006.
2. Ou o Flamengo foi campeão carioca de 2000 ou o Vasco foi campeão brasileiro em 2000.
3. Ou o PMDB receberá o ministério da saúde ou o PP o da cultura.
4. Ou João ou José é o pai biológico de Icabod.
5. Ou João estuda ou João dorme.
6. Ou João ouve rádio ou João lava louça.
7. Ou Serra ou Aécio será candidato à presidência pelo PSDB em 2010.
8. Ou o ministro sai do governo ou a oposição pedirá a instalação de uma CPI.
9. Ou não beba ou não dirija.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
9
10. João está na praia ou está na escola.
11. João vai à praia ou vai ao clube.
12. Ou Pedro é flamenguista ou Pedro é vascaíno.
7. A condicional
Uma condicional é uma sentença da forma se A, então B. A é denominado o antecedente e B o
conseqüente da condicional.
Em primeiro lugar, é importante deixar clara a diferença entre um argumento
(23) A, logo B
e uma condicional
(24) se A, então B.
Em (23) a verdade tanto de A quanto de B é afirmada. Note que o que vem depois do ‘logo’ é afirmado
como verdadeiro e é a conclusão do argumento. Já em (24), nada se diz acerca da verdade de A, nem de B.
(24) diz apenas que se A é verdadeira, B também será verdadeira. Note que apesar de uma condicional e
um argumento serem coisas diferentes usamos uma terminologia similar para falar de ambos. Em (23)
dizemos que A é o antecedente do argumento, e B é o conseqüente do argumento. Em (24), dizemos que
A é o antecedente da condicional , e B é o conseqüente da condicional.
Da mesma forma que analisamos o e e o ou como funções de verdade, faremos o mesmo com a
condicional. Analisada vero-funcionalmente, a condicional é denominada condicional material.
Quando analisamos a conjunção, vimos que a interpretação vero-funcional do operador sentencial e não
corresponde exatamente ao uso que dela fazemos na linguagem natural. Isso ocorre de modo até mais
acentuado com o operador se...então. Na linguagem natural, geralmente usamos se...então para expressar
uma relação entre os conteúdos de A e B, isto é, queremos dizer que A é uma causa ou uma explicação de
B. Isso não ocorre na interpretação do se...então como uma função de verdade.
A tabela de verdade da condicional material é a seguinte:
A B se A, então B
V V V
V F F
F V V
F F V
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
10
Alexandre Granzotto
Highlight
Uma condicional material é falsa apenas em um caso: quando o antecedente é verdadeiro e o conseqüente
falso.
A terceira e a quarta linhas da tabela de verdade da condicional material costumam causar problemas para
estudantes iniciantes de lógica. Parece estranho que uma condicional seja verdadeira sempre que o
antecedente é falso, mas veremos que isso é menos estranho do que parece.
Suponha que você não conhece Victor, mas sabe que Victor é um parente do seu vizinho que acabou de
chegar da França. Você não sabe mais nada sobre Victor. Agora considere a sentença:
(25) Se Victor é carioca, então Victor é brasileiro.
O antecedente de (25) é
(26) Victor é carioca
e o conseqüente é
(27) Victor é brasileiro.
A sentença (25) é verdadeira, pois sabemos que todo carioca é brasileiro. Em outras palavras, é
impossível que alguém simultaneamente seja carioca e não seja brasileiro. Por esse motivo, a terceira
linha da tabela de verdade, que tornaria a condicional falsa, nunca ocorre.
Descartada a terceira linha, ainda há três possibilidades, que correspondem às seguintes situações:
(a) Victor é carioca.
(b) Victor é paulista.
(c) Victor é francês.
Suponha que Victor é carioca. Nesse caso, o antecedente e o conseqüente da condicional são verdadeiros.
Temos a primeira linha da tabela de verdade. Até aqui não há problema algum.
Suponha agora que Victor é paulista. Nesse caso, o antecedente da condicional
(26) Victor é carioca
é falso, mas o conseqüente
(27) Victor é brasileiro
é verdadeiro.
Temos nesse caso a terceira linha da tabela de verdade da condicional. Note que a condicional (25)
continua sendo verdadeira mesmo que Victor seja paulista, isto é, quando o antecedente é falso.
Por fim, suponha que Victor é francês. Nesse caso, tanto
(26) Victor é carioca
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
11
quanto
(27) Victor é brasileiro
são falsas. Temos aqui a quarta linha da tabela de verdade da condicional material. Mas, ainda assim, a
sentença (25) é verdadeira.
Vejamos outro exemplo. Considere a condicional
(28) Se Pedro não jogar na loteria, não ganhará o prêmio.
Essa é uma condicional verdadeira. Por quê? Porque é impossível (em uma situação normal) o
antecedente ser verdadeiro e o conseqüente falso. Isto é, não é possível Pedro não jogar e ganhar na
loteria. Fica como exercício para o leitor a construção da tabela de verdade de (28).
Não é difícil perceber, em casos como (25) e (28) acima, por que uma condicional é verdadeira quando o
antecedente é falso. O problema é que, sendo a condicional material uma função de verdade, coisas como
(29) se 2 + 2 = 5, então a Lua é de queijo
são verdadeiras. Sem dúvida, esse é um resultado contra-intuitivo. Note que toda condicional material
com antecedente falso será verdadeira. Mas no uso corrente da linguagem normalmente não formulamos
condicionais com o antecedente falso.
Mas cabe perguntar: se a condicional material de fato não expressa todos os usos do se...então
em português e, além disso, produz resultados contra-intuitivos como a sentença (29), por que ela é útil
para o estudo de argumentos construídos com a linguagem natural? A resposta é muito simples. O caso
em que a condicional material é falsa, a segunda linha da tabela de verdade, corresponde exatamente ao
caso em que, no uso corrente da linguagem, uma sentença se A, então B é falsa. Considere-se a sentença
(30) Se Lula conseguir o apoio do PMDB, então fará um bom governo.
Em (30), o ponto é que Lula fará um bom governo porque tem o apoio do PMDB. Há um suposto nexo
explicativo e causal entre o antecedente e o conseqüente. Suponha, entretanto, que Lula obtém o apoio do
PMDB durante todo o seu mandato, mas ainda assim faz um mau governo. Nesse caso, em que o
antecedente é verdadeiro e o conseqüente falso, (30) é falsa.
Abaixo, você encontra diferentes maneiras de expressar, na linguagem natural, uma condicional se A,
então B, todas equivalentes.
Se A, B
B, se A
Caso A, B
B, caso A
As expressões abaixo também são equivalentes a se A, então B:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
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A, somente se B
Somente se B, A
A é condição suficiente para B
B é condição necessária para A,
mas elas serão vistas com mais atenção na seção sobre condições necessárias e suficientes.
8. Variantes da condicional material
Partindo de uma condicional
(31) Se A, então B
podemos construir sua conversa,
(32) Se B, então A
sua inversa
(33) Se não A, então não B
e sua contrapositiva
(34) Se não B, então não A.
Há dois pontos importantes sobre as sentenças acima que precisam ser observados. Vimos que A e B e B e
A, assim como A ou B e B ou A são equivalentes. Entretanto, se A, então B e se B então A NÃO SÃO
EQUIVALENTES!!!
Isso pode ser constatado facilmente pela construção das respectivas tabelas de verdade, que fica como
exercício para o leitor. Mas pode ser também intuitivamente percebido. Considere as sentenças:
(35) Se João é carioca, João é brasileiro
e
(36) Se João é brasileiro, João é carioca.
Enquanto a sentença (35) é verdadeira, é evidente que (36) pode ser falsa, pois João pode perfeitamente
ser brasileiro sem ser carioca.
Uma condicional se A, então B e sua contrapositiva se não B, então não A são equivalentes. Isso pode ser
constatado pela construção da tabela de verdade, que fica como um exercício para o leitor. Mas note que a
contrapositiva de (35),
(37) Se João não é brasileiro, não é carioca,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
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Alexandre Granzotto
Highlight
é verdadeira nas mesmas circunstâncias em que (35) é verdadeira. A diferença entre (35) e (37) é que (35)
enfatiza que ser carioca é condição suficiente para ser brasileiro, enquanto (37) enfatiza que ser brasileiro
é condição necessária para ser carioca. Isso ficará mais claro na seção sobre condições necessárias e
suficientes.
9. Negações
Agora nós vamos aprender a negar sentenças construídas com os operadores sentenciais.
Negar uma sentença é o mesmo afirmar que a sentença é falsa. Por esse motivo, para negar uma sentença
construída com os operadores sentenciais e, ou e se...então, basta afirmar a(s) linha(s) da tabela de
verdade em que a sentença é falsa.
9a. Negação da disjunção
Comecemos pelos caso mais simples, a disjunção (inclusiva). Como vimos, uma disjunção A ou B é falsa
no caso em que tanto A quanto B são falsas. Logo, para negar uma disjunção, nós precisamos dizer que A
é falsa e também que B é falsa, isto é, não A e não B. Fica como exercício para o leitor a construção das
tabelas de verdade de A ou B e não A e não B para constatar que são idênticas.
(1) João comprou um carro ou uma moto.
A negação de (1) é:
(2) João não comprou um carro e não comprou uma moto,
ou
(3) João nem comprou um carro, nem comprou uma moto.
Na linguagem natural, freqüentemente formulamos a negação de uma disjunção com a expressão
nem...nem. Nem A, nem B significa o mesmo que não A e não B.
(4) O PMDB receberá o ministério da saúde ou o PP receberá o ministério da cultura.
A negação de (4) é:
(5) Nem o PMDB receberá o ministério da saúde, nem o PP receberá o ministério da cultura.
Exercício: complete a coluna da direita da tabela abaixo com a negação das sentenças do lado esquerdo.
DISJUNÇÃO NEGAÇÃO
A ou B não A e não B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
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Alexandre Granzotto
Highlight
Alexandre Granzotto
Highlight
A ou não B
não A ou B
não A ou não B
9b. Negação da conjunção
Por um raciocínio análogo ao utilizado na negação da disjunção, para negar uma conjunção precisamos
afirmar os casos em que a conjunção é falsa. Esses casos são a segunda, a terceira e a quarta linhas da
tabela de verdade. Isto é, A e B é falsa quando:
(i) A é falsa,
(ii) B é falsa ou
(iii) A e B são ambas falsas.
É fácil perceber que basta uma das sentenças ligadas pelo e ser falsa para a conjunção ser falsa. A
negação de A e B, portanto, é não A ou não B. Fica como exercício para o leitor a construção das tabelas
de verdade de A e B e não A ou não B para constatar que são idênticas.
Exemplos de negações de conjunções:
(6) O PMDB receberá o ministério da saúde e o ministério da cultura.
A negação de (6) é
(6a) Ou PMDB não receberá o ministério da saúde, ou não receberá o ministério da cultura.
(7) Beba e dirija.
A negação de (7) é
(7a) não beba ou não dirija.
Exercício: complete a coluna da direita da tabela abaixo com a negação das sentenças do lado esquerdo.
CONJUNÇÃO NEGAÇÃO
A e B não A ou não B
A e não B
não A e B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
15
Alexandre Granzotto
Highlight
não A e não B
9c. Negação da condicional
A negação de uma condicional é a afirmação do caso em que a condicional é falsa, isto é, a segunda linha
da tabela de verdade. A negação de
(8) Se A, então B
é
(9) A e não B.
As partículas do português
mas,
todavia,
entretanto,
contudo,
porém,
do ponto de vista lógico, funcionam da mesma forma que o e. Por esse motivo, (9) pode ser formulada,
por exemplo, como
(9a) A, mas não B.
Note que para negar uma condicional, sempre afirmamos o antecedente e negamos o conseqüente. Se o
conseqüente for uma negação, conforme já foi visto na tabela de verdade da negação, uma dupla negação
corresponde a uma afirmação.
Exercício: complete a coluna da direita das tabela abaixo com a negação das sentenças do lado esquerdo.
CONDICIONAL NEGAÇÃO
Se A, então B A, mas não B
Se A, então não B
Se não A, então B
Se não A, então não B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
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Alexandre Granzotto
Highlight
Se Icabod comer muito, Icabod engorda.
Se Icabod comer muito, Icabod não emagrece.
Se João não vai à praia, João estuda lógica.
Se João não vai à praia, João não sai de casa.
9d. Ambigüidade sintática
Já vimos na seção anterior o que é ambigüidade. Veremos agora com mais atenção alguns casos de
ambigüidade sintática.
Sentenças que contêm dois ou mais operadores e ou dois ou mais operadores ou (inclusivo) não produzem
ambigüidade. Por exemplo,
(1) O PT vai se coligar nas próximas eleições com o PMDB e o PP e o PTB;
(2) O PT vai se coligar nas próximas eleições ou com o PMDB ou com o PP ou com o PTB.
Mas se misturarmos os operadores e e ou, sem determinar claramente qual é o operador principal, ocorre
ambigüidade sintática.
Considere novamente o exemplo da seção (...):
(3) O PT fará uma coligação partidária com PMDB ou PP e PTB.
Vimos que as leituras possíveis de (3) são:
(3a) O PT fará uma coligação partidária com PMDB ou (PP e PTB);
(3b) O PT fará uma coligação partidária com (PMDB ou PP) e PTB.
Em (3a) o operador central é o ou, em (3b) é o e. Para reescrever (3) na forma de (3a) ou (3b) evitando
ambigüidade, podemos fazer o seguinte:
(3a) O PT fará uma coligação partidária ou com o PMDB, ou simultaneamente com o PP e o PTB;
(3b) O PT fará uma coligação partidária com o PTB e, além do PTB, ou o PMDB ou o PP.
É fácil constatar que essas diferentes posições dos parênteses, que correspondem a diferente operadores
principais, produzem tabelas de verdade diferentes. Fica como um exercício para o leitor construir as
tabelas de verdade de (3a) e (3b).
10. Formação de predicados
Os operadores da lógica sentencial servem também para formar predicados. Por exemplo, a partir dos
predicados x é brasileiro e x tem segundo grau completo, podemos formar o predicado
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
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Alexandre Granzotto
Highlight
Alexandre Granzotto
Highlight
(1) x é nascido no Rio de Janeiro e x tem segundo grau completo.
Podemos formar predicados também utilizando a disjunção, por exemplo,
(2) x é nascido no Rio de Janeiro ou x tem segundo grau completo.
Considere agora os seguintes indivíduos:
João: nascido no RJ, segundo grau completo.
Pedro: nascido em SP, segundo grau incompleto.
Maria: nascida no RJ, segundo grau incompleto.
José: nascido em SP, segundo grau completo.
O predicado (1) produz uma sentença verdadeira apenas para Pedro. Já o predicado (2) produz sentenças
verdadeiras para João, Maria e José.
Exercício:
Suponha as seguinte situações.
(i) A universidade X publicou um edital de bolsas de estudo com o seguinte critério: tem direito a se
candidatar à bolsa alunos já matriculados na universidade X e que, além disso, ou sejam menores de 21
anos ou tenham renda até três salários mínimos.
(ii) A universidade X publicou um edital de bolsas de estudo com o seguinte critério: tem direito a se
candidatar à bolsa alunos já matriculados na universidade X e que, além disso, sejam menores de 21 anos
e tenham renda até três salários mínimos.
Agora considere os seguintes indivíduos:
João: matriculado na universidade X, 20 anos, renda = 2 s.m.
Pedro: matriculado na universidade X, 22 anos, renda = 2 s.m.
Maria: matriculado na universidade X, 25 anos, renda = 4 s.m.
Luísa: matriculado na universidade X, 25 anos, renda = 3 s.m.
José: matriculado na universidade Y, 19 anos, renda = 2 s.m.
Na situação (i), quem têm direito à bolsa? E na situação (ii)?
Resposta:
11. Regras de inferência da lógica sentencial
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
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Alexandre Granzotto
Highlight
Vimos na unidade II que um argumento válido é um argumento no qual é impossível as premissas serem
verdadeiras e a conclusão falsa. Vimos também que a validade do argumento depende apenas da sua
forma, independentemente das sentenças que o compõem serem verdadeiras ou falsas. Uma forma válida
pode ser concebida como um princípio de inferência que sempre leva de premissas verdadeiras a uma
conclusão verdadeira. A seguir, vamos ver alguns princípios de inferência válidos da lógica sentencial.
1. Modus Ponens
Se A, então B
A
Logo, B.
Podemos constatar que um princípio de inferência da lógica sentencial é válido construindo a tabela de
verdade correspondente. Abaixo, a tabela de verdade do modus ponens.
A B se A, B A B
V V V V V
V F F V F
F V V F V
F F V F F
Note que todas as linhas em que as premissas são verdadeiras a conclusão também é verdadeira. Ou em
outras palavras, não existe nenhuma linha com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
Fica como exercício para o leitor construir a tabela de verdade dos outros princípios de inferência.
2. Modus tollens
Se A, então B
Não B
Logo, não A
3. Silogismo disjuntivo
A ou B
Não A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
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Logo, B
4. Silogismo Hipotético
Se A, então B.
Se B, então C.
Logo, se A, então C.
5. Dilema
A ou B
Se A, então C
Se B, então C
Logo, C
12. Inferências inválidas da lógica sentencial
Além de conhecermos princípios de inferência válidos, é importante também conhecermos alguns
princípios de inferência inválidos que são comuns. Isso é importante por duas razões: para que possamos
evitá-los nos nossos argumentos e para que possamos identificá-los quando nos for apresentado um
argumento inválido.
(1)
Se A, então B
B
Logo, A.
Para constatar que (1) é um princípio de inferência inválido, basta construir a sua tabela de verdade:
A B se A, B B A
V V V V V
V F F F V
F V V V F ç
F F V F F
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
20
Alexandre Granzotto
Highlight
Na linha assinalada com a seta, temos premissas verdadeiras e conclusão falsa. É possível uma
circunstância em que o antecedente e verdadeiro mas o conseqüente falso. Portanto, o argumento é
inválido.
Podemos mostrar também que (1) é inválido por meio de um contra-exemplo, isto é, construindo um
argumento com a forma de (1) e com premissas verdadeiras e conclusão falsa.
(1c)
Se Lula é carioca, então Lula é brasileiro.
Lula é brasileiro
Logo, Lula é carioca.
Em (1c) temos premissas verdadeiras e conclusão falsa, o que mostra que (1) é um princípio de inferência
inválido.
Outros princípios de inferência inválidos são:
(2)
Se A, então B
Não A
Logo, B.
(3)
A ou B (ou inclusivo)
A
Logo, não B.
Exercícios:
1. Mostre por meio da tabela de verdade que (2) e (3) são inválidos.
2. Mostre por meio de contra-exemplos que (2) e (3) são inválidos.
3. Se o ou do princípio de inferência (3) for exclusivo, (3) torna-se um princípio válido? Justifique sua
resposta.
* * *
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumos 
 
 
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