Unidade_7_-_fatoração

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Matemática Básica Unidade 7 
1 
 
 
Unidade 7 
Fatoração 
 
 
 
 
Metas 
Esta unidade é sobre fatoração de expressões matemáticas. 
 
Objetivos 
Ao final desta unidade você deve: 
 saber fatorar alguns tipos de expressões matemáticas; 
 saber simplificar alguns quocientes de expressões matemáticas; 
 saber resolver alguns tipos de equações polinomiais. 
 
 
 
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Resolução de equações 
 
 Uma vez que grandezas podem ser representadas numericamente, fenômenos 
podem ser traduzidos por expressões matemáticas. Neste momento, muitos problemas 
de determinação de valores podem ser resolvidos a partir da manipulação da expressão 
matemática. Um exemplo bem simples desta ideia, visto na unidade 1, é o de determinar 
quando a temperatura do forno que estava à 200ºC e foi diminuindo 12ºC por minuto, 
atingiria a temperatura ambiente de 20ºC. Neste caso, vimos que o fenômeno pode ser 
traduzido matematicamente pela expressão 
y = 12x + 200, 
onde x representa o tempo em minutos e y representa a temperatura em grau Celsius. 
Assim, resolver o problema é equivalente a resolver a equação 20 = 12x + 200. 
 No estudo da unidade 4, sobre os números reais e suas operações básicas, soma e 
produto, vimos que é muito fácil determinar a solução de uma equação do tipo ax + b = 
c, com a  0, basta fazer x = (c  b)/a. Uma equação assim se caracteriza por ter a 
variável incógnita, x, aparecendo sem potência, ou melhor, com potência 1, x = x
1
. 
Desta forma, é comum chamar uma equação do tipo ax + b = c, com a  0, de equação 
polinomial de grau 1 na variável x, ou mais simplesmente, equação do 1º grau. 
 Agora, quando temos uma equação matemática envolvendo potências da 
incógnita, nem sempre é tão fácil obter uma solução da equação. Por exemplo, você 
sabe resolver a seguinte equação, 3x
5
  4x4 + x = 35? 
 Equações envolvendo potências de números naturais de uma incógnita dada 
(digamos x) são chamadas equações polinomiais (na variável x). Vamos ver, nesta 
unidade, algumas propriedades operacionais que ajudam a lidar com alguns tipos de 
equações polinomiais. 
 
Fatoração 
 
 Quando se fala em fatoração de uma expressão algébrica, isto significa que a 
expressão deve ser transformada, através de propriedades operacionais, em uma nova 
expressão que seja definida por um produto. 
 O exemplo mais simples de fatoração é dado pela propriedade distributiva, ab + 
ac = a(b + c). Ela transforma a expressão formada por uma soma, ab + ac, na expressão 
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formada por um produto, a(b + c). Como simples aplicação, veja esta propriedade sendo 
usada para transformar uma expressão envolvendo x
2
 em uma expressão só com x: 
 x
2
 + 3x = x.x + 3x = (x + 3)x, isto é, x
2
 + 3x = (x + 3)x 
(lembre-se que também vale ac + bc = (a + b)c). 
 
Desafio: Você consegue fatorar a expressão x
2
 + x? 
 
Vejamos algumas das expressões de fatoração mais conhecidas. 
 am + an = a(m + n) 
 a2 – b2 = (a + b)(a – b) 
 a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) 
 a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b) 
 
Observação: 1) A propriedade distributiva pode ser aplicada em mais de dois termos. 
Por exemplo, 5x + 15b  25xb = 5(x + b  xb). 
2) Às vezes é necessário aplicar a propriedade distributiva seguidamente para se obter 
uma fatoração. Por exemplo, ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d). 
3) Podemos dar uma interpretação geométrica para a fatoração a
2
 + 2ab + b
2
 = (a + b)(a 
+ b) em termos de áreas de retângulos e quadrados. Observe a figura abaixo. 
 
O quadrado maior tem área (a + b)
2
 e pela divisão feita, tal área é igual à soma das áreas 
dos dois quadrados em verde e rosa com as áreas dos dois retângulos em azul. Logo, 
(a + b)
2
 = b
2
 + a
2
 + ab + ab + = a
2
 + 2ab + b
2
. 
 
Atividade 1: A propriedade distributiva pode ser representada por um desenho. Por 
exemplo, a expressão a(b + c) = ab + ac pode ser representada por 
 
 
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a) Para cada figura a seguir, encontre uma expressão algébrica correspondente. 
 
b) Represente a variável a, que simboliza um número desconhecido, como a área de um 
retângulo. Verifique se esta atividade te ajuda na resolução do desafio proposto. 
 
Atividade 2: Fatore as expressões 
a) x
2
  2x b) x2  x c) x4  x2  x + 1 
d) x
2
 + x + 0,25 e) x
2
  12 f) x4 + 26x2 +169 
g) mx  2y  m2x + 2my h) 2  m2 i) x4  16 
j) 4  2x + 
4
2x
 k) 10x
4
  90x2 l) a5  a3 
m) x
2
 + y
2
 +2x + 2y + 2xy n)  3a2b2 + 7a3b o) x2  2x + 1 
 
Aplicações 
 
 Uma aplicação imediata da fatoração de expressões é na simplificação de 
expressões matemáticas em forma de frações. Um exemplo bem simples é a expressão 
um tanto complexa, 
12
44
2 

xx
x
, que pode ser simplificada através das seguintes 
transformações, 
 
1
4
)1)(1(
)1(4
)1(
)1(4
12
44
22 









xxx
x
x
x
xx
x
. 
 
Atividade 3: Simplifique as expressões. 
 
b 
c 
a 
Lembre-se que a área de um 
retângulo de base a e altura b é dada 
por ab. 
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a) 
3 3
2 12
a
a a

 
 b) 4 4
8 16 8
2
2
x
x x

 
 c) 5 10
15
2a ab
ab
 
d) x
x
2 9
3


 e) 
aba
aa

5
 f) 
xx
xx
62
9
2
3


 
 
g) x x
x
2
2
2 1
1
 

 h) 4 2 x
x
 i) ( )3 92 h
h
 
j) 
25,024
14
2 

xx
x
 k) 
4
44
2
2


x
xx
 
 
 Uma aplicação importante da noção de fatoração é na resolução de equações. O 
produto entre números reais goza da seguinte propriedade: um produto é zero se, e 
somente se, um de seus fatores é zero. Em linguagem simbólica, 
ab = 0  a = 0 ou b = 0. 
 A combinação desta propriedade com a possibilidade de fatoração de expressões 
matemáticas se transforma numa ótima técnica de resolução de equações. Veja um 
exemplo. (Observação: é claro que esta última propriedade vale para vários fatores.) 
 x
3
  4x = 0  x(x2  4) = 0  x(x  2)(x + 2) = 0  
  x = 0 ou x = 2 ou x = 2. 
Ou seja, o conjunto solução da equação x
3
  4x = 0 é S = {2, 0, 2}. 
 
Atividade 4: Utilize a técnica ilustrada para resolver as seguintes equações. 
a) (x  2)(x + 1) = 0 b) x(2x + 5) = 0 c) x2  133x = 0 
d) x
2
  x = 0 e) x2  9 = 0 f) x2 + 4x + 4 = 0 
g) x
2
 = 64 h) x
2
 + 2x = 1 i) 2x2 = x 
j) x
3
 = 0 l) x
5
 = 0 m) x
2
  121 = 0 
n) 3x(x + 0,1)(0,25x + 1) = 0 o) x
2
  0,09 = 0 p) 2x2  8 = 0 
 
Atividade 5: Caro aluno, você acabou de aprender uma técnica bem simples e que pode 
ser muito útil na resolução de equações polinomiais de grau maior do que 1. Utilize esta 
técnica para resolver os problemas dados a seguir. 
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Questão 1: Baseado na figura abaixo, encontre x de modo que a área do quadrado seja 
igual à área do retângulo. 
 
Questão 2: A equação h = 5t2 +30t representa a relação entre a altura, h, em metros, 
de um corpo lançado e o tempo, t, em segundos, decorrido após o lançamento do corpo. 
a) Determine quanto tempo o corpo gasta para atingir o solo após o lançamento. 
b) Levando em consideração que o tempo de subida do corpo é igual ao tempo de 
descida, determine a altura máxima atingida no lançamento. 
 
Atividade 6: Podemos agora discutir a questão das soluções de uma equação do tipo x
2= a, quando a > 0. 
a) Manipule a expressão x
2
 = a até chegar a (x  
a
)(x + 
a
) = 0. 
b) Conclua que as únicas soluções da equação x
2
 = a são 
a
 e 
a
. 
 
Fórmula de Báskara 
 
 Vamos nos focar agora na equação do 2º grau: ax
2
 + bx + c = 0, com a  0. Você 
sabe por que pedimos a condição a  0? O que aconteceria se tivéssemos a = 0? Basta 
substituir o valor para verificar que a equação ficaria reduzida a uma equação do 1º 
grau. 
 
Atividade 7: Transforme a equação dada para o formato normal de uma equação do 2º 
grau. Dê a resposta especificando os coeficientes, a, b e c, da equação encontrada. 
(1) 3x
2
 – 3 + x = 2 + 5x – x2; (2) x2 + 3x = 3x + 2; 
(3) x
2
 – x3 – 1 = x(2 – x2); (4) 
0
3
2 23


x
xxx
. 
 
x 
x 
 
2 
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 Nem toda expressão polinomial é passível de ser fatorada segundo as 
propriedades de fatoração vistas nesta unidade. Por exemplo, x
2
 – 5x + 6 pode ser 
fatorada como x
2
 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3). Contudo, não é possível aplicar qualquer das 
propriedades de fatoração e obter imediatamente a expressão fatorada. (Verifique, leitor, 
usando a propriedade distributiva, que o desenvolvimento da expressão (x – 2)(x – 3) 
leva à expressão x
2
 – 5x + 6.) 
 Por que é importante se preocupar com a fatoração de uma expressão 
polinomial? Já vimos na atividade 4 que podemos usar a fatoração para resolver 
equações. Por exemplo, se quisermos resolver a equação x
2
 – 5x + 6 = 0, a técnica de 
tentar isolar a variável x, usada para equações do 1º grau, não funciona (experimente, 
leitor, tentar isolar x nesta equação). A melhor estratégia é tentar fatorar a expressão x
2
 – 
5x + 6. Bom, neste caso, já sabemos que x
2
 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3). Assim, resolver a 
equação x
2
 – 5x + 6 = 0 é equivalente a resolver a equação (x – 2)(x – 3) = 0. Portanto, 
devemos ter x – 2 = 0 ou x – 3 = 0. Ou seja, as soluções da equação x2 – 5x + 6 = 0 são x 
= 2 e x = 3. 
 É importante notar que nem toda equação do 2º grau pode ser resolvida no 
conjunto dos reais, ao contrário das equações do 1º grau que sempre têm solução real. 
Por exemplo, é evidente que a equação x
2
 + 1 = 0 não tem solução real. Neste caso, não 
se analisa a fatoração da expressão. De fato, saber que uma expressão não pode ser 
fatorada de modo algum não é uma tarefa nada simples. O que torna evidente saber que 
esta equação não tem solução no conjunto dos reais é a análise dos valores da expressão. 
Devemos notar em primeiro lugar que x
2
 ≥ 0, qualquer que seja o valor de x  . Então, 
x
2
 + 1 é sempre um valor estritamente positivo, maior do que zero. Assim, a equação x
2
 
+ 1 = 0 não pode ser resolvida no conjunto dos reais. Pode-se notar também que x
2
 + 1 = 
0 é equivalente a x
2
 = 1, que claramente não tem solução em , pois x2 ≥ 0. 
 Felizmente, existe uma fórmula geral que serve para se verificar imediatamente 
se uma equação do 2º grau tem solução real ou não e, mais ainda, também serve para a 
determinação da solução da equação dada, caso se verifique a sua existência. 
 
Atividade 8: Considere a equação ax
2
 + bx + c = 0, com a  0. Verifique que tanto x1 = 
a
acbb
2
42  quanto x2 = 
a
acbb
2
42  satisfazem a equação dada. (Ou seja, 
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substitua a expressão de x1 na expressão ax
2
 + bx + c e desenvolva a expressão até 
chegar a 0. Você deve fazer o mesmo com x2.) 
 
 As fórmulas da atividade 8 são as conhecidas fórmulas de Baskara e 
normalmente são expressas numa única fórmula: 
a
acbb
x
2
42 

. 
 Note que existe uma condição natural nesta fórmula, a saber, é preciso que se 
tenha b
2
  4ac ≥ 0, para que a expressão 
acb 42 
 faça sentido. Como a expressão b
2
 
 4ac aparece em vários momentos no estudo de polinômios de grau 2, existe um nome 
e uma notação para esta,  = b2  4ac é chamado discriminante da expressão ax2 + bx + 
c. 
 Apesar de a fórmula funcionar sempre como uma solução da equação do 2º grau 
associada, ela só faz sentido, para soluções reais, quando  ≥ 0. Ou, por outro lado, se  
< 0, a expressão não faz sentido em . É possível se verificar que de fato  < 0 implica 
na não existência de soluções reais para a equação do 2º grau. Mais, precisamente, 
temos o seguinte critério sobre a existência de soluções em para uma equação do 2º 
grau. 
 
Critério: Considere a equação ax
2
 + bx + c = 0, com a  0, e seja  = b2  4ac. Então: 
(i) existem duas soluções reais distintas   > 0; 
(ii) existe uma única solução real   = 0; 
(iii) não existe solução real   < 0. 
 
Observação: Lembramos que uma solução da equação ax
2
 + bx + c = 0 é chamada de 
raiz do polinômio ax
2
 + bx + c. 
 
Atividade 9: 
a) Use o critério acima e a fórmula de Baskara para resolver a equação x
2
 – 5x + 6. 
b) Use o critério acima para mostrar que não existe solução real para equação x
2
 + 1 = 0. 
 
 A fórmula de Baskara pode ser muito útil na fatoração de expressões 
polinomiais de grau 2. Vimos como fatorar algumas expressões, contudo as fórmulas 
Matemática Básica Unidade 7 
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usadas não servem para qualquer tipo de expressão, nem diz quando uma expressão não 
pode ser fatorada. De fato, se ax
2
 + bx + c é fatorável, a fatoração só pode ser do tipo 
ax
2
 + bx + c = a(x  x1)(x  x2). Neste caso, a equação ax
2
 + bx + c = 0 é equivalente à 
equação a(x  x1)(x  x2) = 0, o que significa que x1 e x2 são soluções da equação. Ou 
seja, ax
2
 + bx + c pode ser fatorado se, e somente se, ax
2
 + bx + c = 0 tem solução. 
 
Atividade 10: 
a) Verifique que sempre vale a relação ax
2
 + bx + c = a(x  x1)(x  x2), onde x1 e x2 são 
as raízes de ax
2
+ bx + c = 0, com a  0 (use as expressões de x1 e x2 dadas por Baskara e 
desenvolva a expressão a(x  x1)(x  x2)). 
b) As raízes de um polinômio do 2º grau podem ser usadas para fatorá-lo. Mais 
precisamente, se x1 e x2 são raízes da equação ax
2
 + bx + c = 0, com a  0, então vale 
que ax
2
 + bx + c = a(x  x1)(x  x2). 
(i) Verifique que 1 e 
3
1
 são as raízes da equação 3x
2
 + 2x  1 = 0 e que vale a 
relação 3x
2
 + 2x  1 = 3(x + 1)(x  
3
1
). 
(ii) Determine as raízes x1 e x2 de 2x
2
  14x + 12 = 0 e verifique que vale a seguinte 
fatoração 2x
2
  14x + 12 = 2(x  x1)(x  x2). 
(iii)Obtenha uma fatoração para o polinômio x
2
 + 11x +28. 
(iv) Simplifique a expressão 
9
12
2
2


x
xx
. 
 
 Sabemos que se x1 e x2 são as raízes de ax
2
+ bx + c = 0, com a  0, vale a relação 
ax
2
 + bx + c = a(x  x1)(x  x2). Além de ser uma fórmula de fatoração, esta pode nos 
dar outras informações importantes. Vamos desenvolver o segundo membro da 
equação: 
 a(x  x1)(x  x2) = a(x
2
  (x1 + x2)x + x1x2) = ax
2
  a(x1 + x2)x + ax1x2. 
Assim, temos ax
2
 + bx + c = ax
2
  a(x1 + x2)x + ax1x2, donde b =  a(x1 + x2) e c = ax1x2, 
donde: 
a
b
xx  21
 e 
a
c
xx 21.
. 
Conhecer estas últimas relações pode ajudar em alguns problemas. 
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Atividade 11: 
a) Calcule a soma e o produto das raízes de x
2
  34x + 11 = 0. 
b) Calcule a soma dos inversos das raízes da equação x
2
 + 4x + 1 = 0, sem resolvê-la. 
c) Encontre dois números cuja soma seja 4 e o produto seja 1. 
 
 
Resposta das atividades 
 
Desafio: x
2
 + x = x.x + x.1 = x(x + 1) – o importante aqui é perceber que o termo x pode 
ser visto como um produto, x = x.1. 
 
Atividade 1 – solução: 
a) (a + b)c = ac + bc– neste caso, deve-se imaginar a base do retângulo, que está 
dividida, como medindo a + b e a altura medindo c. 
(a + b + c)d = ad + bd + cd. 
b) A representação de um número como uma área pode ocorrer quando vemos este 
número como um produto, pois aí encontramos a base e a altura do retângulo. Por 
exemplo, podemos ver o 6 como um retângulo de base 2 e altura 3, pois 6 = 2.3. 
Também podemos ver o 6 como um retângulo de base 6 e altura 1, pois 6 = 6.1. Dado 
um valor a, sempre temos a = 1.a = a.1, donde a pode ser visto como um retângulo de 
base 1 e altura 6 ou como um retângulo de base 1 altura 6. 
 
 
 
Atividade 2  solução: 
a) x
2
  2x = x(x  2) 
b) x
2
  x = x.x  x.1 = x(x  1) (muita gente se complica com esta expressão, esquece 
que é possível fazer a transformação x = x.1, o que permite realizar a fatoração) 
c) x
4
  x2  x + 1 = ( ) ( ) ( )( 1) 
d) x
2
 + x + 0,25 = (x
2
 + 2.x.0,5 + 0,25) = (x + 0,5)
2
 
a 
a 
1 
1 
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e) x
2
  12 = ( √ )( √ ) 
f) x
4
 + 26x
2
 +169 = ( ) 
g) mx  2y  m2x + 2my = mx  2y  m(mx  2y) = (1  m)(mx  2y) 
h)
 (√ )(√ ) 
i) x
4
  16 ( )( )( ) 
j) 4  2x + x2/4 
 
 
( ) 
k) 10x
4
  90x2 ( )( ) 
l) = ( )( ) 
m) x
2
 + y
2
 + 2x + 2y + 2xy ( ) ( ) ( )( ) 
n)  3a2b2 + 7a3b ( ) 
o) x
2
  2x + 1 ( ) 
 
Atividade 3  solução: 
a) 
1
3
12
33
2 



aaa
a
 
b) 
)1(2
)1(
8168
44
2
2





x
x
xx
x
 
c) 
b
ba
ab
aba
3
)2(
15
105 2 

 
d) 
3
3
92



x
x
x
 
e) 
baba
aa




1
45
 
f) 
2
3
)3(2
)3)(3(
62
9
2
3 





 x
xx
xxx
xx
xx
 
g) 
1
1
1
12
2
2





x
x
x
xx
 
h) 
24
1
)24(
44
)24(
4)4(
24
24
.
2424 2












xxx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
 = 
i) 
h
h
hh
h
hh
h
h






6
)6(9699)3( 22
 
j) 
2
2
4
44
2
2





x
x
x
xx 
k) 
14
4
)14(
)14(4
25,024
14
22 






xx
x
xx
x
 (a expressão estava errada, não dava para fatorar 
o denominador) 
 
Atividade 4  solução: 
Matemática Básica Unidade 7 
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a) (x  2)(x + 1) = 0 
b) x(2x + 5) = 0 
 
 
 
c) x
2
  133x = 0 
d) x
2
  x = 0  x(x  1) = 0 
e) x
2
  9 = 0 ( )( ) 
f) x
2
 + 4x + 4 = 0 ( )( ) 
g) x
2
 = 64 ( ) ( )( ) 
h) x
2
 + 2x = 1 x2 + 2x + 1 = 0 ( )( ) 
i) 2x
2
 = x ( ) 
j) x
3
 = 0 
l) x
5
 = 0 
 
m) x
2
  121 = 0 ( )( ) 
n) 3x(x + 0,1)(0,25x + 1) = 0 
 
o) x
2
  0,09 = 0 ( )( ) 
p) 2x
2
  8 = 0  2(x2  4) = 0  x2  4 = 0  (x  2)(x + 2) = 0 
 
Atividade 5: 
Questão 1: Baseado na figura abaixo, encontre x de modo que a área do quadrado seja 
igual à área do retângulo. 
 
Solução: Devemos resolver a equação 
 
 
 ( ) 
x = 0 ou x = 4/3. Como x é o lado do quadrado e, portanto, positivo, temos que x=4/3. 
x 
x 
 
2 
Matemática Básica Unidade 7 
13 
 
 
Questão 2: A equação h = 5t2 +30t representa a relação entre a altura, h, em metros, 
de um corpo lançado e o tempo, t, em segundos, decorrido após o lançamento do corpo. 
a) Determine quanto tempo o corpo gasta para atingir o solo após o 
lançamento. 
b) Levando em consideração que o tempo de subida do corpo é igual ao tempo 
de descida, determine a altura máxima atingida no lançamento. 
Solução: a) Quando atingir o solo, a altura h será nula, portanto precisamos resolver a 
equação 0= h = 5t2 +30t ( ) Assim, atingirá o 
solo 6 segundos após o lançamento. 
b) O corpo levará 3 segundos para atingir a altura máxima e nesse instante a altura 
será de 
Atividade 6  solução: 
a) x2 = a  x2  a = 0  (x  
a
)(x + 
a
) = 0. 
b) Para o produto ser zero, devemos ter x = 
a
 ou x = 
a
. Ou seja, se x é 
solução de x
2
 = a então x = 
a
 ou x = 
a
. 
 
Atividade 7  solução: 
(1) a = 4, b = 4, c = 5; (2) a = 1, b = 0, c = 2; 
(3) a = 1, b = 2, c = 1; (4) a = 1/3, b = 2/3, c = 1/3. 
 
Atividade 8  solução: Para fazer a verificação pedida, basta substituir cada um dos 
valores x1 e x2 na equação dada. Apresentamos somente uma delas e a segunda será feita 
de forma totalmente análoga. Substituindo: 
Matemática Básica Unidade 7 
14 
 
   
 
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 4
2 2
( 4 ) ( 4 )
4 2
1 2 4
4 2 4 4
4 4 4
1
4 2 4 2 2 4 4
4
1
.0 0
4
b b ac b b ac
ax bx c a b c
a a
a b
b b ac b b ac c
a a
b ac
b ac b b ac b b b ac
a a a
b ac b b ac b b b b ac ac
a
a
        
        
   
   
         
          
         
 
 
 Como esperávamos que acontecesse. Para a outra raiz, o procedimento é 
perfeitamente análogo. Faça e irá encontrar o resultado. 
 
Atividade 9 – solução: 
a) Basta aplicar a fórmula e encontrar x1 = 2 e x3 = 3. 
b) Basta verificar que  < 0. 
 
Atividade 10  solução: 
a) Para resolver este problema é só fazer como fizemos na atividade 8. Com as raízes x1 
e x2 obtidas por Baskara, substitua e, certamente irá encontrar ax
2
+bx +c. 
b) 
(i) Basta verificar que: 3(1)2 + 2(1)  1 = 0; 3(
3
1
)
2
 + 2.
3
1
  1 = 0 e 3x2 + 2x  1 = 
3(x + 1)(x  
3
1
). 
(ii) As raízes são 3 e 4. 
(iii) As raízes são 4 e 7, donde x2 + 11x +28 = (x + 4)(x + 7) 
(iv) As raízes de x
2
 + x  12 são 4 e 3, donde 
3
4
)3)(3(
)3)(4(
9
12
2
2








x
x
xx
xx
x
xx
. 
 
 
Atividade 11  solução: 
a) 
1,2
34 1156 44 34 1112 34 2 278
17 278
2 2 2
x
   
     
Matemática Básica Unidade 7 
15 
 
 A soma será x1 + x2 = 17 + 278 + 17  278 = 34 e o produto será x1.x2 = (17 
+ 
278
).(17  
278
) = 17
2
  278 = 289  278 = 11. 
b) Temos que a soma das raízes é 4 e o produto delas é 1 (uma equação do segundo 
grau pode ser escrita como x
2
 – Sx + P = 0 sendo S e P, respectivamente, a soma e o 
produto das raízes). Sendo x1 e x2 as raízes, o problema pede 
1 2
1 1
x x

. Ora, efetuando 
esta soma, temos que 
1 2
1 2 1 2
1 1 4
4.
1
x x
x x x x
 
    
 
c) Podemos resolver este problema pensando nas raízes de uma equação do segundo 
grau. Se a soma é 4 e o produto é 1, os números são as raízes da equação 
2 4 1 0x x  
. Assim, 
1,2
4 16 4 4 2 3
2 3
2 2
x
  
   
. Logo, os números são 
2 3
e 
2 3
.