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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIC¸OSA
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
2a Lista de Exerc´ıcios de MAT131 - Introduc¸a˜o a A`lgebra 2010 I
1. Simplificar a expressa˜o:
(a) (퐴
∩
퐵)
∪
(퐴
∩
퐵′)
(b) (퐴
∪
퐵)
∩
(퐴
∪
퐵′)
(c) (푈
∪
퐵)
∩
(퐴
∪⊘)
(d) (⊘∩퐵)∪(퐴∩퐵)
(e) (퐴
∪
퐵)
∩
(퐴퐶
∪
퐵)
∩
(퐴
∪
퐵퐶)
∩
(퐴퐶
∪
퐵)
2. Provar que:
(a) Se 퐴 ⊂ ⊘ enta˜o 퐴 = ⊘.
(b) Se 퐴 ⊂ 퐶 e 퐵 ⊂ 퐶 enta˜o 퐴∩퐵 ⊂ 퐶.
(c) Se 퐴 ⊂ 퐵 e 퐶 ⊂ 퐷 enta˜o 퐴∩퐶 ⊂ 퐵∩퐷.
(d) 퐴
∩
퐵 = ⊘ ⇒ 퐴∩퐵퐶 = 퐴
(e) 퐴퐶 ⊂ 퐵퐶 ⇐⇒ 퐴∩퐵 = 퐵
(f) Se 퐴
∩
퐵 = 퐴 e 퐴
∩
퐶 ∕= ⊘ =⇒ 퐵∩퐶 ∕= ⊘
3. Sejam 푋1, 푋2, 푌1, 푌2, suconjuntos do conjunto universo 푈 . Suponha
que 푋1
∪
푋2 = 푈 e 푌1
∩
푌2 = ⊘, que 푋1 ⊂ 푌1 e que 푋2 ⊂ 푌2. Prove
que 푋1 = 푌1 e 푋2 = 푌2.
1
4. Mostre que, para todo 푚 > 0, a equac¸a˜o
√
푥+푚 = 푥 tem exatamente
uma raiz.
5. Numa universidade sa˜o lidos apenas dois jornais, 푋 e 푌 . 80% dos
alunos da mesma leˆem o jornal 푋 e 60%, o jornal 푌 . Sabendo-se que
todo aluno e´ leitor de pelo menos um dos jornais, encontre o percentual
de alunos que leˆem.
6. Se um conjunto 퐴 possui 1024 subconjuntos, enta˜o quantos elementos
tem 퐴?
7. Apo´s um jantar, foram servidas as sobremesas 푋 e 푌 . Sabe-se que
das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa 푋, 7 comeram a
sobremesa 푌 e 3 comeram as duas. Quantas na˜o comeram nenhuma
das sobremesas?
8. Dados os conjuntos 퐴, 퐵 e 퐶, tais que: 푛 (퐵
∪
퐶) = 20; 푛 (퐴
∩
퐵) =
5; 푛 (퐴
∩
퐶) = 4; 푛 (퐴
∩
퐵
∩
퐶) = 1; 푛 (퐴
∪
퐵
∪
퐶) = 22. Nessas
condic¸o˜es, qual o nu´mero de elementos de 퐴− (퐵∩퐶)?
9. Sejam 퐴, 퐵 e 퐶 conjuntos finitos. O nu´mero de elementos de 퐴
∩
퐵 e´
30, o nu´mero de elementos de 퐴
∩
퐶 e´ 20 e o nu´mero de elementos de
퐴
∩
퐵
∩
퐶 e´ 15. Enta˜o, qual o nu´mero de elementos de 퐴
∩
(퐵
∪
퐶)?
10. Sendo 푎 e 푏 reais quaisquer, quais sa˜o os nu´meros poss´ıveis de elementos
do conjunto 퐴 = {푎, 푏, {푎} , {푏} , {푎, 푏}}?
11. Depois de 푛 dias de fe´rias, um estudante observa que:
(a) choveu 7 vezes, de manha˜ ou a` tarde;
(b) quando chove de manha˜ na˜o chove a` tarde;
(c) houve 5 tardes sem chuva;
(d) houve 6 manha˜s sem chuva.
Quanto vale n?
12. 52 pessoas discutem a prefereˆncia de 2 produtos 퐴 e 퐵, entre outros e
conclui-se que o nu´mero de pessoas que gostavam de 퐵 era:
2
(a) O qua´druplo do nu´mero de pessoas que gostavam de 퐴 e 퐵;
(b) O dobro do nu´mero de pessoas que gostavam de 퐴;
(c) A metade do nu´mero de pessoas que na˜o gostavam de 퐴 nem de
퐵.
Nestas condic¸o˜es, qual o nu´mero de pessoas que gostavam dos dois
produtos?
13. 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16,
Sa˜o Paulo, e 11, em Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus
e Salvador e, desses 5, 3 visitaram tambe´m Sa˜o Paulo. O nu´mero de
estudantes que visitaram Manaus ou Sa˜o Paulo foi:
(a) 29
(b) 24
(c) 11
(d) 8
(e) 5
14. Treˆs nu´meros ı´mpares e consecutivos, cujo produto e´ igual a 7 vezes a
sua soma, se somados, resulta em quanto?
15. Para se avaliar uma prova com 15 questo˜es, estabeleceu-se que, para
cada questa˜o certa, ganha-se 4 pontos e que, para cada errada, perde-
se 3 pontos. considerando-se os erros cometidos, um aluno que, nesta
prova, obteve 11 pontos, teve quantos acertos?
16. Construir o diagrama cartesiano de cada um dos seguintes produtos:
(a) {푥 ∈ ℝ/1 ≤ 푥 ≤ 4} × {푥 ∈ ℝ/− 2 ≤ 푥 ≤ 3}
(b) {푥 ∈ ℝ/− 3 ≤ 푥 ≤ 3} × {푥 ∈ ℝ/− 1 ≤ 푥 ≤ 2}
3
(c) (−2, 3]× [−3,∞)
(d) (−3, 1]× (−∞, 2]
.
17. Calcular os produtos cartesianos:
(a) {푥 ∈ ℕ(푥− 1)(푥− 3) = 0} × {푥 ∈ ℕ(푥− 2)(푥− 3) = 0}.
(b) {푥 ∈ ℝ/0 ≤ 푥 ≤ 1} × {푥 ∈ ℝ/0 ≤ 푥 ≤ 1}.
(c) {푥 ∈ ℝ ∣푥∣ ≤ 2} × {푦 ∈ ℝ/− 1 < 푦 ≤ 3}.
18. Prove por induc¸a˜o:
(a) 22푛−1.3푛+2 + 1 e´ divis´ıvel por 11, ∀푛 ∈ ℕ, 푛 ≥ 1.
(b) 22푛 + 15푛− 1 e´ divis´ıvel por 9, ∀푛 ∈ ℕ, 푛 ≥ 1.
(c) 32푛+1 + 2푛+2 e´ divis´ıvel por 7, ∀푛 ∈ ℕ.
(d) 34푛+2 + 2.43푛+1 e´ mu´ltiplo de 17, ∀푛 ∈ ℕ.
4