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Lista extra 13 - Derivadas Parciais, Gradiente, Regra da Cadeia
1. Determine as derivadas parciais de f .
a) f(x, y) = x5 + 3x3y + 2xy2 − 3xy + 4y − 1 b) f(x, y) = (x3 + y3)(x− y)
c) f(x, y) = sen(x+ y) + cos(x− y) d) f(x, y) = arcsen
(
x2
y2
)
e) f(x, y) =
∫ y
x
cos(t) dt f) f(x, y) =
∫ y
x
e−t
2
dt
g) f(x, y, z) = ln(x2 + 3y2 + 5z2) h) f(x, y, z) =
ex
ey − ez
i) f(x, y, z) =
1√
x2 + y2 + z2
j) f(x, y, z) = xy arctan(yz)
2. Mostre que se w = x2y + y2z + z2x enta˜o ∂w
∂x
+ ∂w
∂y
+ ∂w
∂z
= (x+ y + z)2.
3. Calcule as derivadas parciais de f(x, y) = ln(x tan(y)) no ponto (3, π/4).
4. Seja f(x, y) =
√
14− x2 − y2. Calcule ∂f
∂x
(1, 3) e ∂f
∂y
(1, 3) e interprete geometricamente.
5. Dada a func¸a˜o z =
∫ x2+y2
x
et dt, calcule ∂z
∂x
(1, 2) e ∂z
∂y
(1, 2).
6. Mostre que se z = ln(
√
x2 + y2) enta˜o x ∂z
∂x
+ y ∂z
∂y
= 1.
7. Calcule as derivadas direcionais derivando a composta f(σ(t)), onde σ(t) parametriza a reta que
passa pelo ponto dado com a velocidade pedida.
a) f(x, y) = 2xy − 3y2 no ponto (5, 5) na direc¸a˜o de ~v = (4, 3)
b) f(x, y, z) = xy + yz + zx no ponto (1,−1, 2) na direc¸a˜o de ~v = (3, 6,−2) .
8. Algumas curvas de n´ıvel da func¸a˜o g(x, y) esta˜o esboc¸adas abaixo, juntamente com os vetores ~v,
~w e ~k, colocados respect. nos pontos A, B e C. Sabendo que as treˆs derivadas direcionais esta˜o entre
os nu´meros {−3
4
, 6, 0} encontre cada uma delas, ou seja, localize ∂g
∂~v
(A), ∂g
∂ ~w
(B) e ∂g
∂~k
(C).
g(x,y)=3
g(x,y)=1.2
g(x,y)=2.4
v
w
k
A
B
C
9. Encontre os vetores gradientes nos pontos pedidos.
a) f(x, y) = y − x , (x, y) = (2, 1) b) f(x, y) = ln(3x2 + y2) , (x, y) = (1, 1)
c) g(x, y) = y − x2 , (x, y) = (−1, 0) d) g(x, y) = x
2
2
− y
2
2
, (x, y) = (
√
2, 1)
1
e) f(x, y, z) = x2 + y2 − 2z2 + z ln(x) , (x, y, z) = (1, 1, 1)
f) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−
1
2 + ln(xyz) , (x, y, z) = (−1, 2,−2)
10. Mostre que no ponto (0, 0) a func¸a˜o
f(x, y) =


2xy
x2 + y2
(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
na˜o e´ cont´ınua, pore´m tem derivadas parciais. Oque voceˆ conclui sobre a diferenciabilidade de f em
(0, 0) ?
11. As func¸o˜es: (a) f(x, y) =
√
x2 + y2; (b) f(x, y) = ln(1 − x − y); (c) f(x, y) = e−x2−y2 sa˜o
diferencia´veis ? Justifique.
12. Para cada uma das func¸o˜es abaixo calcule o vetor gradiente em um ponto (x, y) arbitra´rio.
Fac¸a um esboc¸o de treˆs curvas de n´ıvel distintas e do campo vetorial gradiente (desenhe os vetores
gradientes em pontos sobre as curvas de n´ıvel).
a) f(x, y) = y − x b) g(x, y) = 3x+ y2 − y c) h(x, y) = 3x2 + 5y2
d) F (x, y) = 4y2 − 3x2 e) G(x, y) = ln(3x2 + y2) f) H(x, y) = xy
13. As derivadas parciais da func¸a˜o f(x, y) no ponto P = (−2, 3) sa˜o ∂f
∂x
(P ) = −1
2
e ∂f
∂y
(P ) = 5
2
.
Assumindo que f e´ diferencia´vel, calcule a derivada direcional de f relativo ao vetor ~v = (5, 1). Com
base nesse valor explique a relac¸a˜o entre esse vetor e a curva de n´ıvel de f que passa em P .
14. Dada a func¸a˜o f e a curva σ calcule a derivada da func¸a˜o g(t) = f(σ(t)), no ponto especificado,
usando a regra da cadeia.
a) f(x, y) = x2 + y2, σ(t) = (cos(t), sen(t)), t = π
b) f(x, y) = x2 + 5xy, σ(t) = (t, 2t2 − 1), t = 1
2
c) f(x, y, z) =
x
z
+
y
z
, σ(t) = (cos2(t), sen2(t),
1
t
), t = 3
d) f(x, y, z) =
x
y2z
, σ(t) = (t2, t3,−t), t = 1
e) f(x, y, z) = 2yex − ln(z), σ(t) = (ln(t2 + 1), arctan(t), et), t = 1
f) f(x, y) =
y√
x
, σ(t) = (t3 − 4, t2), t = 2
Nos exerc´ıcios seguintes assuma que todas as func¸o˜es sa˜o diferencia´veis.
15. Seja g(t) = f(3t, 2t2 − 1), f = f(x, y).
a) Expresse g′(t) em termos das derivadas parciais de f .
b) Calcule g′(0) admitindo ∂f
∂x
(0,−1) = 1
3
.
16. Suponha que para todo t, f(t2, 2t) = t3 − 3t. Mostre que ∂f
∂x
(1, 2) = −∂f
∂y
(1, 2).
17. Considere a curva λ(t) = (2 cos(t), sen(t)), t ∈ R.
a) Mostre que λ(t) parametriza a elipse x
2
4
+ y2 = 1.
b) Admita que a func¸a˜o f(x, y) verifica
4y
∂f
∂x
(x, y)− x∂f
∂y
(x, y) = 0 .
Prove que f e´ constante sobre a elipse descrita na letra (a).
2
18. Seja z = f(u+ 2v, u2 − v). Expresse ∂z
∂u
e ∂z
∂v
em termos das derivadas parciais de f .
19. Se f(x, y) = exy, g(t) = cos(t) e h(t) = sen(t). Defina F (t) = f(g(t), h(t)). Calcule F ′(0).
20. Calcule ∂w
∂r
e ∂w
∂t
se w = xy + yz + zx e x = r, y = r cos(t) e z = rsen(t).
21. Seja z(x, y) = xf
(
y
x
) − g (y
x
)
. As func¸o˜es f e g sa˜o de uma varia´vel, a valores reais, e sa˜o
diferencia´veis. Mostre que ∂z
∂x
+ y
x
∂z
∂y
= f
(
y
x
)
.
22. Se u = xmf
(
y
x
, x
z
, z
x
)
mostre que x∂u
∂x
+ y ∂u
∂y
+ z ∂u
∂z
= mu (m=constante).
Respostas.
(1). a) fx = 5x
4 +9x2y+2y2 − 3y, fy = 3x3 +4xy − 3x+4 b)fx = 4x3 + y3− 3x2y, fy = −x3 +3y2x− 4y3
c) fx = cos(x+ y)− sen(x− y), fy = cos(x+ y)+ sen(x− y) d) fx = 2x/
√
y4 − x4, fy = −2x2/(y
√
y4 − x4)
e) fx = − cos(x), fy = cos(y) f) fx = −e−x2 , fy = e−y2 g)fx = 2x/(x2 + 3y2 + 5z2), fy = 6y/(x2 + 3y2 +
5z2), fz = 10z/(x
2 + 3y2 + 5z2) h) fx = e
x/(ey − ez), fy = −ex+y/(ey − ez)2, fz = ex+y/(ey − ez)2 i)
fx = −x/
√
(x2 + y2 + z2)3, fy = −y/
√
(x2 + y2 + z2)3, fz = −z/
√
(x2 + y2 + z2)3 j) fx = y arctan(yz),
fy = x arctan(yz) + xyz/(1 + y
2z2), fz = xy
2/(1 + y2z2).
(3). fx(3, π/4) = 1/3, fy(3, π/4) = 2.
(4). fx(1, 3) = −1/2,fy(1, 3) = −3/2. As derivadas parciais sa˜o as inclinac¸o˜es de duas retas tangentes a`
superf´ıcie da esfera x2 + y2 + z2 = 14 no ponto (1, 3, 2).
(5). zx(1, 2) = −e+ 2e5, zy(1, 2) = 4e5.
(7). a)-4 b) 3 .
(8). ∂g
∂~v
(A) = 6, ∂g
∂ ~w
(B) = 0, ∂g
∂~k
(C) = −34 .
(9). a)(-1,1) b)(3/2,1/2) c)(2,1) d)(
√
2,−1) e)(3,2,-4) f)(-26/27,23/54,-23/54).
(11). (a) Na˜o e´ dif. na origem. (b) Sim, derivadas parciais cont´ınuas. (c) Sim, idem ao caso (b). (12).
a) ∇f(x,y) = (−1, 1) b) ∇g(x,y) = (2x − 1, 3) c) ∇h(x,y) = (6x, 10y) d) ∇F(x,y) = (−6x, 8y) e) ∇G(x,y) =(
6x
3x2+y2
, 2y
3x2+y2
)
f) ∇H(x,y) = (y, x). (13). ∂f∂~v (P ) = 0. O vetor ~v e´ tangente a` curva de n´ıvel que passa por
P. (14). a)0 b)7/2 c)1 d)5 e)π + 1 f) -1. (15). a) g′(t) = 3∂f
∂x
(3t, 2t2 − 1) + 4t ∂f
∂y
(3t, 2t2 − 1). b) g′(0) = 1.
(18). ∂z
∂u
= ∂f
∂x
+ 2u∂f
∂y
, ∂z
∂v
= 2∂f
∂x
− ∂f
∂y
. (19). F ′(0) = 1. (20). ∂w
∂r
= r(2sen(t) + 2 cos(t) + sen(2t)),∂w
∂t
=
r2(cos(t)− sen(t) + cos(2t)).
3