Atividade Aberta 1 - Calculo II - Resolução

Prévia do material em texto

CÁLCULO II 
Atividade Aberta 1 – 8 pontos 
Resolução 
 
Questão 1 
 
O gráfico da derivada 
f 
de uma função f está mostrado abaixo. 
 
Com base nas informações desse gráfico: (a) determine os intervalos em que a função 
y f (x)
 é decrescente. Justifique sua escolha; (b) indique para que valores de x a função 
y f (x)
tem um máximo ou um mínimo local; justifique sua escolha: (c) indique para que 
valores de x o gráfico de 
y f (x)
tem concavidade voltada para cima; justifique sua 
escolha; (c) no mesmo sistema da figura, esboce um possível gráfico da função 
y f (x)
, 
considerando que 
f ( 2) 3 
 e 
f (1) 1 
. 
 
Solução 
 
a) A função
y f (x)
 é decrescente para 
2 x 1  
, intervalo em que sua derivada é 
negativa. 
b) A função 
y f (x)
tem um máximo local em 
x 2 
, ponto em que a derivada passa de 
positiva para negativa. 
A função 
y f (x)
tem um mínimo local em 
x 1
, ponto em que a derivada passa de 
negativa para positiva. 
c) A função derivada 
f 
é crescente se 
x 0,5 
. Isso significa que a derivada segunda 
f 
é 
positiva para 
x 0,5 
e, em consequência, o gráfico de
y f (x)
 tem concavidade 
voltada para cima quando 
x 0,5 
. 
d) Na figura está um possível gráfico de 
y f (x)
, passando pelos pontos 
( 2, 3)
 e 
(1, 1)
. 
 
 
Questão 2 
Na figura abaixo, estão o gráfico da função 
f (x) x 2x 6  
 e o de sua derivada 
f 
. 
 
Com base nessas informações: (a) marque na figura acima o gráfico de 
f
e o gráfico de 
f 
; 
(b) indique em que intervalo a função 
f
 é crescente e justifique sua indicação; (c) escreva a 
equação da tangente à curva 
f (x) x 2x 6  
no ponto de abscissa 
x 1 
; (d) determine 
as coordenadas do ponto do gráfico de 
f (x) x 2x 6  
 em que a tangente é horizontal.
 
Solução 
a) Conforme assinalado na figura, o gráfico de 
f
tem concavidade voltada para baixo e o 
gráfico de 
f 
, concavidade voltada para cima. 
b) A derivada de f é a função 
x 3x 6
f (x) 2x 6
2x 6 2x 6
 
       
  
. 
 
A função 
f
 é crescente é crescente para 
3 x 2   
, intervalo em que 
f (x) 0 
. 
 
c) A equação da tangente à curva 
f (x) x 2x 6  
no ponto de abscissa 
x 1 
 é da 
forma 
y f ( 1) f ( 1)[x ( 1)]     
. Como 
3
f ( 1) 2 e f ( 1)
2
    
, a equação da 
tangente fica 
3 3 1
y 2 (x 1) ou y x
2 2 2
      
. 
d) A tangente ao gráfico de 
f (x) x 2x 6  
é horizontal no ponto que 
f (x) 0 
. 
3x 6
f (x) 0 0 x 2.
2x 6

       
 
Desse modo, as coordenadas do ponto em que o gráfico de 
f (x) x 2x 6  
 tem 
tangente horizontal são 
x 2 e y f ( 2) 2 2    
.
 
 
 
 
Questão 3 
Uma partícula se move segundo a lei do movimento 
3 21 1s(t) t t 2 t, 0 t 20,
3 2
    
 
sendo t medido em segundos e a distância, em metros. Com base nessas informações, 
determine: (a) a velocidade dessa partícula no instante 
t 4s
; (b) em que momento essa 
partícula está em repouso; (c) em que intervalo a partícula está se movendo no sentido 
positivo; (d) a distância total percorrida por essa partícula durante os 10 primeiros 
segundos. 
 
 
Solução 
A função velocidade é a derivada da função que descreve a lei do movimento: 
2v(t) s (t) t t 2   
 
a) A velocidade dessa partícula no instante t 4 é: 2v(4) 4 4 2 10m s   . 
b) Essa partícula está em repouso para 
2v(t) 0 t t 2 0 t 2s      
. 
c) A partícula se move no sentido positivo quando 
2 t 20 
, intervalo em que 
v(t) 0
. 
d) A distância total percorrida por essa partícula durante os cinco primeiros segundos é: 
10 790 10
d s(2) s(0) s(10) s(2) 0 270m
3 3 3
         
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 4 
 
Uma jovem com 
1,60m
de altura, que está correndo à velocidade de 
3,6m s
, passa sob 
uma lâmpada afixada em um poste a 6m acima do solo. Encontre a velocidade com que sua 
sombra se alonga quando ela está a 15m depois do poste. 
 
 
Solução 
 
Na figura, a lâmpada está localizada no ponto A e o segmento DE corresponde à jovem que 
está correndo. 
 
 
De acordo com os dados do problema, 
dx
3,6m / s
dt

. Queremos saber o valor de 
dz
dt
 para 
x 15m
. 
Com base na semelhança dos triângulos, 
ABC
 e 
EDC
, podemos escrever: 
 
x z z
x 2,75z
6 1,60

  
 
 
Diferenciando em relação ao tempo t, obtemos: 
dx dz
2,75
dt dt

. 
Para 
dx
3,6m / s
dt

, temos: 
dz 3,60
m s 1,31m s
dt 2,75
 
. 
 
Observação: O valor de 
dz
dt
 independe do valor de x. 
 
 
 
 
Questão 5 
 
O retângulo CMNP está inscrito no triângulo ABC, que é retângulo em C e cujos catetos 
medem, respectivamente, 
BC 6
 e 
AC 8
. 
 
Com base nessas informações, determine a medida do lado CM que faz com que o 
retângulo CMNP tenha área máxima. 
 
Solução 
 
Sejam 
x CM e y CP 
as medidas dos lados do retângulo. A medida da área desse 
retângulo é 
A xy
. 
A partir da semelhança dos triângulos 
BPN
 e 
BCA
, podemos escrever: 
BP PN 6 y x 3
y 6 x
6 8 4BC CA

     
 
Levando o valor de y na equação da área, temos: 
 
3 3
A(x) x 6 x A (x) 6 x
4 2
 
      
 
. 
 
O valor máximo da área do retângulo CMNP ocorre para 
 
3
A (x) 0 6 x 0 x 4
2
      
.