Análise Estatística 2015.2

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Administração - 1 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Análise Estatística 
Uanderson Rebula de Oliveira 
 
uanderson.rebula@yahoo.com.br 
 
Administração - 2 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
 
 
 
EMENTA: 
Probabilidades e seus eventos. Probabilidade condicional. Eventos independentes. Teorema de 
Bayes. Variáveis aleatórias: distribuição, média e desvio padrão. Distribuições de probabilidades 
discretas e contínuas. Correlação e Regressão. Teste de hipóteses. 
 
 
OBJETIVO: 
Possibilitar aos estudantes o acesso a conceitos e procedimentos fundamentais da metodologia 
estatística, como ferramenta de suporte à tomada de decisão e à abordagem cientifica de 
populações, sistemas e processos, nas áreas de engenharia, indústria, comercio e serviços. 
 
 
 
 Administração - 2015 
 
 UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA 
Mestrando em Engenharia de Produção pela Universidade Estadual Paulista - UNESP 
Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA 
Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA 
Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM 
Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC 
 Técnico em Segurança do Trabalho-ETPC 
Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC 
 
Atividades presentes 
Consultor em Treinamento e Desenvolvimento Empresarial. . Pesquisador na área de Logística Reversa. Gestor de 
Operações de Pós Graduação na Universidade Estácio de Sá. Professor na UNIFOA no curso de Pós graduação em 
Engenharia de Segurança do Trabalho. Professor da Universidade Estácio de Sá nas disciplinas de Gestão de 
Estoques, Gestão Financeira de Empresas, Fundamentos da Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e 
Estatística, Controle Estatístico da Qualidade, Análise Estatística, Ergonomia, Higiene e Segurança do Trabalho, 
Gestão de Segurança e Análise de Processos Industriais. Professor na Associação Educacional Dom Bosco para os 
cursos de Administração, Logística, Engenharia de Produção e Engenharia Metalúrgica e Gestão da Produção. 
Atividades passadas 
Ex-Professor na Universidade Barra Mansa (2010-2012) nos cursos de Engenharia de Produção/Petróleo. 
Ex-professor conteudista na UNESA (elaboração de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). 
Ex-professor em escolas técnicas (2006-2010) nas disciplinas de Estatística Aplicada, Estatística de Acidentes do 
Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica de Custos, Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na 
Engenharia de Construção Civil e Higiene do Trabalho. Ex-professor do SENAI (2007). 
Ex funcionário da CSN por 20 anos (1993-2014), onde atuou por 10 anos como Operador e Líder de Produção em 
vários setores e por 10 anos no setor de Segurança do Trabalho. Ex-membro do IBS–Instituto Brasileiro de 
Siderurgia em grupo de trabalho em assuntos pertinentes a Segurança do Trabalho. 
 
Currículo completo: http://lattes.cnpq.br/1039175956271626 
br.linkedin.com/in/uandersonrebula/ 
 
Administração - 3 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
Sumário 
 
1 – PROBABILIDADE 
CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE , 5 
Conceitos, experimento aleatório e espaço amostral, 5 
Princípio fundamental da contagem, 6 
Eventos e Probabilidade básica, 8 
Probabilidade com eventos complementares, 9 
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES, 10 
Probabilidade com eventos mutuamente exclusivos, 10 
Probabilidade com eventos NÃO mutuamente exclusivos, 10 
PROBABILIDADE CONDICIONAL E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES, 11 
Probabilidade com eventos dependentes, 10 
Multiplicação de probabilidade com eventos dependentes, 13 
Multiplicação de probabilidade com eventos independentes, 14 
Teorema de Bayes, 15 
 
2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E MODELOS PROBABILÍSTICOS 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS, 17 
Distribuições de Probabilidades e representação gráfica, 17 
Valor Esperado, 19 
Variância e Desvio Padrão, 20 
MODELOS, 21 
Modelo Binomial, 21 
Modelo de Poisson, 25 
 Poisson como aproximação para a Binomial, 27 
Modelo Normal, 28 
 
3 – CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES, 34 
Introdução e Diagrama de Dispersão, 34 
Correlação Linear, 34 
Coeficiente de correlação de Pearson, 35 
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES, 37 
Introdução, 37 
Ajustamento da reta aos pontos grafados, 37 
 
4 – TESTE DE HIPÓTESE 
Conceitos introdutórios, 40 
Teste de hipótese para média (amostras grandes),41 
Teste de hipótese para média (amostras pequenas), 42 
Teste de hipótese para proporção, 43 
Teste para duas amostras – conceitos introdutórios, 45 
Teste para diferença de duas médias (dependente),45 
Teste para diferença de duas médias (independente), 47 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 48 
ANEXO I – INDICAÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO PARA AUXÍLIO AS AULAS, 49 
ANEXO II – Software Bioestat , 50 
ANEXO III – ESTATÍSTICA NO EXCEL, 51 
ANEXO IV – REVISÃO DE MEDIDAS DE VARIAÇÃO, 52 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É possível quantificar o 
acaso? 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
PROBABILIDADE 
 
 
Administração - 5 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADES 
 
 Probabilidade é uma medida numérica que representa a chance de um evento ocorrer. 
 
Dois exemplos clássicos (por sua simplicidade) do conceito de Probabilidade são: 
 
Ao lançar um dado, qual a probabilidade de obter “4”? 
 
 Ao lançar a moeda, qual a probabilidade de dar “cara”? 
 
 
Como representar numericamente as chances desses eventos? 
 
Conhecidas certas condições, é possível responder a essas duas perguntas, antes mesmo da realização desses 
experimentos. A teoria da probabilidade surgiu para tentar calcular a “chance” de ocorrência de um resultado 
imprevisível, porém, pertencente a um conjunto de resultados possíveis. Todos os dias somos confrontados com 
situações, que nos conduzem a utilizar a teoria de probabilidade: 
 
 Dizemos que existe uma pequena probabilidade de ganhar na loteria; 
 Dizemos que existe uma grande probabilidade de nãochover num dia de verão; 
 O gerente quer saber a probabilidade de o projeto ser concluído no prazo; 
 O analista financeiro quer saber a chance de um novo investimento ser lucrativo; 
 O gerente de marketing quer saber as chances de queda de vendas se aumentar os preços; 
 O eng. produção quer saber a probabilidade de um novo método de montagem aumentar a produtividade. 
 
É POSSÍVEL QUANTIFICAR O ACASO. Desse modo, se houver probabilidades disponíveis, podemos determinar a 
possibilidade de cada um dos eventos ocorrer. Para continuar o estudo de probabilidades, três conceitos são 
importantes: Experimento aleatório, espaço amostral e eventos. 
 
Experimento aleatório 
 
 Experimento cujo resultado é imprevisível, porém pertencente a um conjunto de resultados possíveis. 
 
É o fenômeno que estamos interessados em observar, e cada resultado dele é uma experiência. Embora não 
saibamos qual o resultado que irá ocorrer, conseguimos descrever todos os resultados possíveis. Exemplos: 
 
EXPERIMENTO Resultados possíveis 
Jogar uma moeda Cara ou Coroa 
Lançar um dado 1, 2, 3, 4, 5, 6 
Jogar uma partida de futebol Ganhar, empatar, perder 
Fazer um contato de vendas Comprar, não comprar 
Selecionar uma peça para inspeção Defeituosa, não defeituosa 
Nascimento de uma criança Masculino, feminino 
 
A principal característica do experimento é ser casual, no sentido de que, apesar de conhecermos seus possíveis 
resultados, não podemos dizer com certeza o que vai ser obtido. Quantas e quais as possibilidades de resultados 
desses experimentos são questões que tentamos responder para avaliar as chances de eles acontecerem. 
 
Espaço amostral 
 
 É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
 
Note que, ao especificar todos os resultados possíveis, identificamos o espaço amostral, representado por S. 
São exemplos de espaços amostrais: 
 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO Espaço amostral 
Jogar uma moeda S = { Cara, Coroa} 
Lançar um dado S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Jogar uma partida de futebol S = {Ganhar, Empatar, Perder} 
Fazer um contato de vendas S = {Comprar, Não comprar} 
Selecionar uma peça para inspeção S = {Defeituosa, Não defeituosa} 
Nascimento de uma criança S = {Masculino, Feminino} 
 
 
Administração - 6 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
 
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( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
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( 1, 6 )
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( 2, 3 )
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( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
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( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
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( 1, 3 )
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( 1, 6 )
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( 3, 6 )
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( 6, 6 )
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( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
 
Princípio Fundamental da Contagem (principio multiplicativo) 
 
O problema de determinar o espaço amostral surge quando as possibilidades de combinações são muitas e podem 
nos deixar confusos (Ex.: ao lançar 2 dados, quais os resultados possíveis?). Para resolver esta questão recorremos à 
organização da contagem denominada Princípio Fundamental de Contagem, representada graficamente pelo 
Diagrama de árvore, onde mostra todos os possíveis resultados de um acontecimento. Exemplo clássico: 
 
Suponha que José tenha 2 bermudas (preta e vermelha) e 3 camisas (azul, preta e verde). De quantas 
maneiras diferentes (resultados possíveis) José pode se vestir usando uma bermuda e uma camisa? 
Utilizando um diagrama de árvore teremos: 
 
Figura. Diagrama de árvore 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 x 3 = Total de 6 possibilidades 
 (espaço amostral) 
 
Notas básicas do Princípio multiplicativo 
Observe que há duas possibilidades de escolher uma bermuda. Para cada 
uma delas, três possibilidades de escolher uma camiseta. Logo, o número 
total de maneiras diferentes de José se vestir é: 2 x 3 = 6 
 
Como o número de resultados foi obtido por meio de uma multiplicação, 
dizemos que foi aplicado o princípio multiplicativo. 
 
O princípio multiplicativo constitui a ferramenta básica para determinar o nº 
de todas as possibilidades (espaço amostral) de um experimento sem que 
seja necessário enumerar cada etapa. Para isto, basta conhecemos o 
número de possibilidades de cada etapa e, multiplicando todos esses 
números, teremos o número total de possibilidades. Portanto, temos abaixo 
a fórmula: 
 
 
 
 
 
Ao lançar dois dados, quantos resultados serão possíveis? 
Observe pelo diagrama de árvore ao lado que, quando dois dados são lançados, cada um deles 
tem seis resultados possíveis; juntos, esses seis resultados possíveis para cada dado produzem 
36 (6x6) combinações, ou seja, 36 pares possíveis. 
 
 
 
 
Então, ao lançar os dados abaixo, quantos 
resultados são possíveis? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Três dados → 6x6x6 = 216 
Quatro dados → 6x6x6x6 = 1.296 
Cinco dados → 6
5
 = 7.776 
Oito dados → 6
8
 = 1.679.616 
Dez dados → 6
10
 = 60.466.176 
 
 2 x 3 = 6 
 
BERMUDAS 
 
 
 
 
 
 
2 possibilidades 
CAMISAS 
 
 
 
3 possibilidades 
 
1ª etapa 2ª etapa 
Administração - 7 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
Suponha que você tenha 2 calças (preta, branca), 3 camisas (verde, amarela, rosa) e 3 calçados (sapato, tênis e 
chinelo). De quantas maneiras diferentes (resultados possíveis) você pode se vestir usando uma calça, uma camisa e 
um calçado? 
 
 
 
Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas seqüenciais:etapa 1 
(projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6,7 ou 8 meses). Quais os resultados possíveis? Qual o 
prazo mais provável para conclusão total do projeto? 
 
 
Sabendo que os números do Seguro Social são constituídos de 9 dígitos e cada um deles tem 10 resultados possíveis 
(0,1,2...9), determine o número de Seguros diferentes que podem ser formados. 
 
2 5 7 6 3 7 2 7 8 Espaço amostral 
0 
1 
. 
9 
0 
1 
. 
9 
0 
1 
. 
9 
0 
1 
. 
9 
0 
1 
. 
9 
0 
1 
. 
9 
0 
1 
. 
9 
0 
1 
. 
9 
0 
1 
. 
9 
Aplicando o princípio multiplicativo, temos: 
 
10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 
 
1.000.000.000 (1 bilhão de resultados possíveis) 
 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1.000.000.000 
 
2 meses 
(2,6) = 8 meses Etapa 1-Projeto 
Espaço amostral 
Projeto 
Etapa 2-Construção 
3 meses 
4 meses 
6 meses 
7 meses 
8 meses 
(2,7) = 9 meses 
 (2,8) = 10 meses 
(3,6) = 9 meses 6 meses 
7 meses 
8 meses 
 (3,7) = 10 meses 
 (3,8) = 11 meses 
 (4,6) = 10 meses 6 meses 
7 meses 
8 meses 
 (4,7) = 11 meses 
 (4,8) = 12 meses 
preta 
verde 
amarela 
( pre, ver, sap ) sapato 
Maneiras 
de se 
vestir 
 
tênis 
branca 
 2 x 3 x 3 = 18 possibilidades 
 
rosa 
( pre, ver, ten ) 
chinelo ( pre, ver, chi ) 
 ( pre, ama, sap ) sapato 
tênis ( pre, ama, ten ) 
chinelo ( pre, ama, chi ) 
 ( pre, ros, sap ) sapato 
tênis ( pre, rosa, ten ) 
 ( pre, rosa, chi ) chinelo 
verde 
amarela 
( bra, ver, sap ) sapato 
tênis 
rosa 
( bra, ver, ten ) 
chinelo ( bra, ver, chi ) 
 ( bra, ama, sap ) sapato 
tênis ( bra, ama, ten ) 
chinelo ( bra, ama, chi ) 
( bra, rosa, sap ) sapato 
tênis ( bra, rosa, ten ) 
 ( bra, rosa, chi ) chinelo 
CALÇA CAMISA CALÇADO 
É mais provável que o projeto 
seja concluído dentro de 
prazo de 10 meses. 
 3 x 3 = 9 
 
Resultados 
(espaço amostral) 
Administração - 8 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
 
Eventos 
 
 É o resultado possível dentro de um espaço amostral. 
 
 
 
Lançar um dado e 
observar sua face 
 
 
S = {1,2,3,4,5,6} 
 
Evento A → {sair número dois} → A={2}. 
 
Evento B → {sair número maior que 4} → B={5,6}. 
 
 
Evento C → {sair número par} →C={2,4,6}. 
 
Evento D → {sair número menor que 2} → D={1}. 
 
O Diagrama de Venn pode representar graficamente o espaço amostral e o evento. 
 
Evento A → {sair número dois} → A={2}. Evento C → {sair número par} → C={2,4,6}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área do círculo representa o Evento e a área do retângulo representa todos os elementos de um espaço amostral. 
 
 
Probabilidade básica 
 
A probabilidade é dada por: 
S
An
P
)(

 
 
Exemplos: 
 
1) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado ser o número 2? 
 
A = {2} 
S = {1,2,3,4,5,6} 
→ A = 1 
→ S = 6 
 P(A) = 1 = 0,1666 ou 16,66% 
 6 
a probabilidade de o resultado ser o “2” é 
de 1 chance em 6 ou 0,1666 ou 16,66%. 
 
2) No lançamento de uma moeda, qual a probabilidade de o resultado ser Cara? 
 
A = {Ca} 
S = {Ca,Co} 
→ A = 1 
→ S = 2 
P(A) = 1 = 0,50 ou 50% 
 2 
 
3) Uma urna tem 10 bolas, sendo 8 pretas e 2 brancas. Pegando-se uma bola, qual a probabilidade de ela ser branca? 
 
A = {B,B} 
S = {P,P,P,P,P,P,P,P,B,B} 
→ A = 2 
→ S = 10 
P(A) = 2 = 0,20 ou 20% 
 10 
 
4) Em um lote de 200 peças, 25 são defeituosas e 175 são boas. Se um Analista Industrial retira uma peça, qual a 
probabilidade de essa peça ser defeituosa? 
 
A = {D,D,D,D,D...} 
S = {B,B,B,B,B,B...D,D} 
→ A = 25 
→ S = 200 
P(A) = 25 = 0125 ou 12,5% 
 200 
 
5) Das 120 notas fiscais emitidas por uma empresa, 16 tem erros de impressão. Se um Auditor seleciona uma nota fiscal, 
qual a probabilidade de essa nota apresentar erros de impressão? 
 
A = {NE, NE, NE ...} 
S = {NB,NB, NB...NE,NE} 
→ A = 16 
→ S = 120 
P(A) = 16 = 0125 ou 12,5% 
 120 
 
NE = Nota com erro ; NB = Nota boa 
 
 
 
S = {1,2,3,4,5,6} 
C = {2,4,6} 
 
C 1 
3 
4 5 
6 
 
 
S 
 2 
Espaço 
amostral 
Evento 
 
S = {1,2,3,4,5,6} 
A = {2} 
 
A 1 
3 4 
 5 
6 
 
 
 
S 
 2 
Espaço 
amostral 
Evento 
nº elementos no evento A 
Espaço amostral 
Administração - 9 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
Observe as cartas de um baralho de 52 cartas, abaixo: 
 Naipes Valete Dama Reis Ás 
(Paus) 
(preta) 
13 cartas 
(ouros) 
(vermelha) 
13 cartas 
(Espadas) 
(preta) 
13 cartas 
(Copas) 
(vermelha) 
13 cartas 
 
Quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de o resultado: 
 
Sair um Ás de Ouros: temos 1 Ás de Ouros no baralho, então: 
 
 
 
 
 
 
A = {Ás} 
S= {52 cartas} 
→ A = 1 
→ S = 52 
 P(A) = 1 = 0,019 
 52 
Sair um Reis: temos 4 Reis no baralho. Então: 
 
A = {R,R,R,R} 
S= {52 cartas} 
→ A = 4 
→ S = 52 
P(A) = 4 = 0,076 
 52 
 
Interpretação de valores probabilísticos 
 
As probabilidade são sempre são atribuídos em uma escala de 0 a 1 (ou 0% a 100%) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade com Eventos complementares 
 
 É a probabilidade com os resultados que não fazem parte do evento (A). 
 
Eventualmente queremos saber a probabilidade de um evento não ocorrer. Portanto, é o evento formado pelos resultados que não 
pertencem ao evento A. Sendo P(
A
) a probabilidade de que ele não ocorra e P(A) a probabilidade que ocorra, temos: 
 
Probabilidade com Evento complementar 
P(
A
) = 1 – P(A) 
 
 
Exemplo. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado: 
 
Pela probabilidade (A) 
ser o número 2 
 
Probabilidade com evento complementar 
não ser o número 2 
 
A={2} 
S={1,2,3,4,5,6} 
→ A = 1 
→ S = 6 
P(A) = 1 = 0,1666 
 6 
 P(
A
) = 1 – P(A) 
 = 1 – 0,1666 → 0,8333 ou 83,33% 
 
O “Diagrama de Venn” abaixo ilustra a relação entre o espaço amostral, o evento A e seucomplemento 
A
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figuras 
Números que não podem 
representar probabilidade: 
 
10
/5 120% -0,4 
Probabilidade do 
evento não ocorrer Probabilidade evento (A) 
AAA equação 1- P( ) fundamenta-se na 
interpretação dos valores probabilísticos: 
 0 1 
 0,1666 = 0,8333 
0 0,5 (50%) 1 (100%) 
 
Chance 50-50 
Impossível pouco provável provável Certo 
 2 
 
A 1 
3 
4 
5 
6 
 
 
S 
P(A) = 16,66% P( ) = 83,33% 
Probabilidade (A) Probabilidade 
Complementar 
 
Administração - 10 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
Probabilidade com Eventos mutuamente exclusivos 
 
 É a probabilidade com eventos que não ocorrem ao mesmo tempo. Ou ocorre A ou ocorre B (A ou B). 
A ocorrência de um evento impossibilita a ocorrência do outro. 
 
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um evento exclui a ocorrência de outro. É impossível ocorrer os eventos A 
e B ao mesmo tempo. Então, o termo “ou” indicará “adição de probabilidades”. Para encontrar a probabilidade de um evento ou outro 
ocorrer, adicionamos as probabilidades de cada evento: P(A ou B) = P(A) + P(B). 
 
 
Exemplo 1. Ao lançar um dado, a probabilidade de se tirar o 2 ou 5 é: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, a 
probabilidade de sair um Rei ou uma Dama é: 
 
 
A = {R,R,R,R } 
B = {D,D,D,D} 
S = {52 cartas 
 
→ A = 4 
→ B = 4 
→ S = 52 
 P(AouB) = 4 + 4 = 8 = 0,1538 
 52 52 52 
 
Exemplo 3. Numa urna estão 10 bolas, sendo 2 pretas 
(P), 5 amarelas (A) e 3 verdes (V). Pegando-se uma bola, 
qual a probabilidade de ela ser preta ou verde? 
 
A = {P,P } 
B= {V,V,V} 
S = {10} 
 
→ A = 2 
→ B = 3 
→ S = 10 
 P(AouB) = 2 + 3 = 5 = 0,5 
 10 10 10 
 
 
Probabilidade com Eventos NÃO mutuamente exclusivos 
 
 É a probabilidade com Eventos que podem ocorrer ao mesmo tempo. Ou ocorre A ou B ou AMBOS (A e B). 
A ocorrência de um NÃO impossibilita a ocorrência do outro. 
 
 
Dois eventos NÂO são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um evento não exclui a ocorrência de outro. É possível ocorrer os 
eventos A e B ao mesmo tempo. O termo “ou”, indicará “adição” e “e” indicará “ambos” 
 
Exemplo 1 Ao lançar um dado, a probabilidade de obter um número ímpar ou menor que 3 é: 
 
Os eventos A e B não são mutuamente exclusivos, pois “1” ocorre em A e B (ambos). 
 
Se aplicarmos P(AouB) = P(A) + P(B) teremos: 
3
/6 + 
2
/6 = 
5
/6. Observe no diagrama que 
este resultado está incorreto, pois P(AouB) = 
4
/6. Este erro foi provocado pela dupla 
contagem de “1”. 
 
Neste caso, ajustaremos a regra da soma para evitar a dupla contagem. A equação será: 
 
P(AouB) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
 
 
 Então, a probabilidade de lançar um número ímpar ou menor que 3 será: 
 
A = {1,3,5} 
B = {1,2} 
A e B = {1} 
S = {1,2,3,4,5,6} 
→ A = 3 
→ B = 2 
→ A e B = 1 
→ S = 6 
 
P(AouB) = 3 + 2 - 1 = 4 = 0,6666 
 6 6 6 6 
 
Exemplo 2 Numa pesquisa sobre a preferência de dois jornais, consultamos 470 pessoas, sendo que 250 lêem o jornal A, 180 
lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Leitor dos jornais A ou B? 
 
A = {250} 
B = {180} 
A e B = {60} 
S = {470} 
 
 
 P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
 
 250 + 180 – 60 = 370 = 0,7872 
 470 470 470 470 
 
A = {2} 
B = {5} 
S = {1,2,3,4,5,6} 
→ A = 1 
→ B = 1 
→ S = 6 
P(A ou B) = 1 + 1 = 2 = 0,3333 
 6 6 6 
 
“ou” indica Adição de probabilidades. P(A ou B) = 
P(A) + P(B) 
 
B 
 60 
Jornal 
Jornal 
A 
A e B 
* Regra da soma para três eventos: P(A ou B ou C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A e B) - P(B e C) + P(A e B e C) 
 
A 
 1 
 3 
 4 
 6 
S 
 
B 
5 
ou 2 
 
4 
6 
 
S B 
5 2 
A e B (Ambos) 
1 
 
Menor que 3 
 
ímpar 
3 
A 
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Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
PROBABILIDADE CONDICIONAL E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
Probabilidade com Eventos dependentes 
 
 É a probabilidade do Evento B ocorrer, dado que o evento A já tenha ocorrido. 
 
 
 Diz-se probabilidade condicional quando a ocorrência de um evento está condicionada à ocorrência do outro. 
Portanto, os eventos são dependentes. A probabilidade de um é alterada pela existência do outro. 
 
A probabilidade condicional do Evento B, dado que A ocorreu é denotada por: 
 
 
 
 
Ao calcular P(B|A) tudo se passa como se P(A) fosse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual, queremos 
calcular a probabilidade de B. Não utilizamos o espaço amostral original. 
P(B|A) = P(A e B) 
 P(A) → espaço amostral de A, “reduzido” 
 
Exemplo 1. Ao lançar um dado, observou-se um número maior que 2 (evento A ocorreu). Qual a probabilidade de esse 
número ser o “5” (evento B)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Espaço amostral original S = {1,2,3,4,5,6} 
O evento A ocorreu e queremos saber o B (dentro de A): 
 
 A = {3, 4, 5, 6} 
 
 
P(B|A) será a probabilidade de ocorrer o número 5 no novo espaço 
amostral reduzido de A. Então: 
 
Observe que não usamos o espaço amostral original S. 
 
A e B = {5} → 1 
A = {3,4,5,6} → 4 
 P(B|A) = P(A e B) → 1 = 0,25 
 P(A) 4 
 
EXEMPLO 2 Ao lançar um dado, observou-se um número maior que 1 (evento A ocorreu). Qual é a probabilidade de esse 
número ser ímpar (Evento B)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Espaço amostral original S = {1,2,3,4,5,6} 
O evento A ocorreu e queremos saber o B (dentro de A): 
 
 A = {2, 3, 4, 5, 6} 
 
 
P(B|A) será a probabilidade de ocorrer número ímpar no novo espaço 
amostral reduzido de A. Então: 
 
Observe que não usamos o espaço amostral original S 
 
A e B = {3,5} → 2 
A = {2,3,4,5,6}→ 5 
 P(B|A) = P(A e B) → 2 = 0,40 
 P(A) 5 
 
EXEMPLO 3 Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho. Qual a probabilidade de que a 2ª 
carta seja uma dama, dado que a 1ª seja um rei. (assuma que o rei está sem reposição). 
 
Solução. Em razão de a primeira carta ser um rei e não ser a resposta, 
o baralho restante tem 51 cartas, 4 das quais são dama. Então: 
 P (B|A) = 4 = 0,078 
 51 
 
EXEMPLO 4 Cinco cartas são selecionadas em sequência em um baralho. Qual a probabilidade de que a 5ª carta seja uma 
dama. Dado que a 1ª = rei; 2ª = dama; 3ª = 8 ; 4ª = Ás. (assuma que não há reposição). 
 
Solução. Em razão de a 1ª = rei; 2ª = dama; 3ª = 8 ; 4ª = Ás, o baralho 
restante tem 48 (52-4) cartas, 3 das quais são dama. Então: 
 P (E|A,B,C,D) = 3 = 0,062 
 48 
 Note que o espaço amostral original foi reduzido 
 
 
 
 
B = {3, 5} 
 
B = {5} 
Maior que 2 Ser o 5 
A 
Novo espaço 
amostral 
6 5 
1 
2 
4 3 
 
B 
Maior que 1 ímpar 
A 
Novo espaço 
amostral 
4 
6 
1 
2 
3 
5 
 
B 
A ocorreu (lê-se “probabilidade de B, dado que A ocorreu”) 
 
Administração - 12 - 
 
 
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EXEMPLO 5 Numa pesquisa sobre a preferência de dois jornais, consultamos 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 
lêem o jornal A, 180 lêem o jornal B, 60 lêem os jornais A e B. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de: 
 
 a) Um leitor do jornal A, também ser leitor do B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O evento A ocorreu e queremos saber o B. Então, denotamos 
P(B|A). Dentre os leitores do Jornal A, devemos destacar os que 
lêem B; logo, o espaço amostral desse evento é A (190+60=250). 
Então, a probabilidade é: 
A e B = {60} → 60 
A= {190+60} → 250 
 P(B|A)=P(A e B) → 60 = 0,24 
 P(A) 250 
 b) Um leitor do jornal B, também ser leitor do A? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O evento B ocorreu e queremos saber o A. Então, denotamos 
P(A|B). Dentre os leitores do Jornal B, devemos destacar os que 
lêem A; logo, o espaço amostral desse evento é B (120+60=180). 
Então, a probabilidade é: 
 
 
 
A e B = {60} → 60 
B= {120+60} → 180 
 P(A|B)=P(A e B) → 60 = 0,33 
 P(B) 180 
 
EXEMPLO 6. O quadro abaixo mostra os resultados de um estudo no qual os pesquisadores examinaram o QI de uma criança 
e a presença de um gene específico nela. 
 Gene 
presente 
 Gene não 
presente 
A probabilidade de que a criança tenha um QI alto (Evento B), dado que 
a criança tenha o gene (Evento A) é? 
 
Solução. Há 72 crianças que têm o gene. Então, o espaço amostral consiste 
dessas 72 crianças. Dessas, 33 tem QI alto. Então: 
 
 P (B|A) = 33 = 0,458 
 72 
QI alto 
QI normal 
33 
39 
19 
11 
52 
50 
 72 30 102 
 
EXEMPLO 7 Em um lote de 12 peças, 8 são de “qualidade” e 4 são “defeituosas”. Ao selecionar duas peças em sequência, sem 
reposição, qual a probabilidade de: 
 
a 2ª peça ser “defeituosa”, dado que a 1ª é “defeituosa”. 
 
Solução. Em razão de a 1ª peça ser defeituosa, o lote restante tem 11 
peças, 3 das quais são defeituosas. Então: 
 P (B|A) = 3 = 0,2727 
 11 
 
a 2ª peça ser “defeituosa”, dado que a 1ª é de “qualidade”. 
 
Solução. Em razão de a 1ª peça ser de qualidade, o lote restante tem 11 
peças, 4 das quais são defeituosas. Então: 
 P (B|A) = 4 = 0,3636 
 11 
 
a 2ª peça ser de “qualidade”, dado que a 1ª é “defeituosa”. 
 
Solução. Em razão de a 1ª peça ser defeituosa, o lote restante tem 11 
peças, 8 das quais são de qualidade 
 P (B|A) = 8 = 0,7272 
 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jornal 
Jornal 
B Jornal 
Jornal 
A 
190 
120 
 60 Novo espaço 
amostral 120 
 
B 
Novo espaço 
amostral 
 60 190 
 
A 
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Multiplicação de probabilidade com eventos dependentes ...ache P(A e B) , dado P(B|A) e P(A) 
 
Uma consequência matemática importante da definição de probabilidade condicional é a seguinte: 
P(B|A) = P(A e B) 
 P(A) 
 se quero achar: P(B|A) = ? então → 
 P(A e B) P(A) 
P(A e B) = P(A) x P(B|A) 
Isto é, a probabilidade dos eventos (A e B) é o produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado o primeiro. 
 
EXEMPLO 1 Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de 
selecionar um Rei e uma Dama? (não há reposição). 
 A probabilidade de a 1ª carta ser um Rei é 
4
/52. A 
2ª carta ser uma Dama é 
4
/51, pois o baralho 
restante tem 51 cartas, 4 das quais são dama. 
P(A e B) = ? 
P(A) = 
4
/52 
P(B|A) = 
4
/51 
 P(A e B) = P(A) x P(B|A) 
 4 x 4 → 16 = 0,006 
 52 51 2652 
 
EXEMPLO 2 Em um lote de 12 peças, 8 são de “qualidade” e 4 são “defeituosas”. Sendo retiradas duas peças em sequência, 
qual a probabilidade de que: (não há reposição) 
 
a) Ambas sejam “defeituosas” b) Ambas sejam de “qualidade” 
P(A e B) = ? 
P(A) = 
4
/12 
P(B|A) = 
3
/11 
4 x 3 = 0,090 
 12 11 
P(A e B) = ? 
P(A) = 
8
/12 
P(B|A) = 
7
/11 
 
 8 x 7 = 0,4242 
 12 11 
A probabilidade de a 1ª peça ser defeituosa é 
4
/12 e a 2ª é 
3
/11, pois o 
lote restante tem 11 peças, 3 das quais são defeituosas. 
A probabilidade de a 1ª peça ser de qualidade é 
8
/12 e a 2ª é 
7
/11, 
pois o lote restante tem 11 peças, 7 das quais são de qualidade. 
 
EXEMPLO 3 Uma urna contém 7 bolas brancas (B) e 3 pretas (P). Extraindo-se três bolas em sequência, qual a probabilidade 
de que: (não há reposição). 
 
a) As duas primeiras sejam brancas e a terceira seja preta (ou seja, BBP) 
 
A probabilidade de a 1ª bola ser branca é 
7
/10 e a 2ª é 
6
/9. A 
probabilidade de a 3ª bola ser preta é 
3
/8, pois a urna restante 
tem 8 peças, 3 das quais são pretas. 
P(A) = 
7
/10 
P(B|A) = 
6
/9 
P(C|B) = 
3
/8 
 
 7 x 6 x 3 = 0,175 
 10 9 8 
 
b) Duas sejam brancas e uma seja preta (ou seja: BBP, BPB ouPBB) = 3[BBP] 
 
O evento sair “duas brancas e uma preta” pode ocorrer de três maneiras que 
diferem apenas pela ordem de aparecimento das bolas: (BBP, BPB, PBB). Logo, a 
probabilidade será a soma dessas maneiras. Então, basta calcular a probabilidade de 
uma dessas maneiras (por exemplo, a primeira) e multiplicar por 3. Então: 3(BBP). 
P(A) = 
7
/10 
P(B|A) = 
6
/9 
P(C|B) = 
3
/8 







8
3
x
9
6
x
10
7
3
= 0,525 
 
c) Pelo menos duas sejam brancas (ou seja: 3[BBP] + [BBB]) 
 2 brancas 3 brancas 
 
“Pelo menos duas brancas“ é a mesma coisa que “no 
mínimo duas brancas”, ou seja, duas ou três brancas. 
Então, calculamos duas brancas + três brancas. 
3[BBP] 
P(A) = 
7
/10 
P(B|A) = 
6
/9 
P(C|B) = 
3
/8 
[BBB] 
P(A) =
 7
/10 
P(B|A) = 
6
/9 
P(C|B) = 
5
/8 
 







8
3
x
9
6
x
10
7
3
+






8
5
x
9
6
x
10
7
= 0,8166 
 
d) No máximo uma seja branca (ou seja: [PPP] + 3[PPB]) 
 0 branca 1 branca 
 
No máximo uma branca é a mesma coisa que “ou 
nenhuma branca ou uma branca”. Então, calculamos 
nenhuma branca (todas pretas) + uma branca. 
[PPP] 
P(A) = 
3
/10 
P(B|A) = 
2
/9 
P(C|B) = 
1
/8 
3[PPB] 
P(A) = 
3
/10 
P(B|A) = 
2
/9 
P(C|B) = 
7
/8 
 






8
1
x
9
2
x
10
3
 + 







8
7
x
9
2
x
10
3
3
= 0,1833 
 
e) Pelo menos uma seja preta. (ou seja: 3[PBB] + 3[PPB] + [PPP]) 
 1 preta 2 pretas 3 pretas 
 
3[PBB] 
P(A) = 
3
/10 
P(B|A) = 
7
/9 
P(C|B) = 
6
/8 
3[PPB] 
P(A) = 
3
/10 
P(B|A) = 
2
/9 
P(C|B) = 
7
/8 
[PPP] 
P(A) = 
3
/10 
P(B|A) = 
2
/9 
P(C|B) = 
1
/8 







8
6
x
9
7
x
10
3
3
+ 







8
7
x
9
2
x
10
3
3
+ 






8
1
x
9
2
x
10
3
 = 0,7083 
 
MÉTODO ALTERNATIVO: 
É mais prático usar o 
evento complementar: 
1 – BBB (nenhuma preta) 
[BBB] 
P(A) = 
7
/10 
P(B|A) = 
6
/9 
P(C|B) = 
5
/8 







8
5
x
9
6
x
10
7
1
 = 0,7083 
f) Todas sejam da mesma cor: 
[PPP]+[BBB] = 0,30 
 
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Multiplicação de Probabilidade com Eventos independentes 
 
 É quando a ocorrência do Evento A não afeta a probabilidade da ocorrência do B. Não existe dependência. 
 A e B podem ocorrer simultaneamente (ao mesmo tempo). São independentes. 
 
 A regra da multiplicação é usada para achar P(A e B) para eventos independentes. Aqui associaremos a palavra “e” 
com “multiplicação”. O termo chave usado é “simultâneo”. A equação é : P(A e B) = P(A) x P(B). Existe reposição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. Ao lançar dois dados simultaneamente, qual a 
probabilidade de: 
 
Obter o número 2 e ímpar ? 
 
Pelo Diagrama de árvore: 
 
(2,1), (2,3), (2,5) 
 
Então, a probabilidade é: 
 
3 = 8,33% 
 36 
Se aplicarmos a regra da multiplicação, temos: 
 
A={2} 
B={1,3,5} 
S={1,2,3,4,5,6} 
→ A = 1 
→ B = 3 
→ S = 6 
 P(A e B) = P(A) x P(B) 
 1 x 3 = 3 = 8,33% 
 6 6 36 
 
Obter um número par e ímpar ? 
 
Pelo Diagrama de árvore 
 
(2,1), (2,3), (2,5) 
(4,1), (4,3), (4,5) 
(6,1), (6,3), (6,5) 
Então, a probabilidade é: 
 
 9 = 25% 
 36 
 
Aplicando a regra da multiplicação, temos: 
 
A={2,4,6} 
B={1,3,5} 
S={1,2,3,4,5,6} 
→ A = 3 
→ B = 3 
→ S = 6 
P(A e B) = P(A) x P(B) 
 3 x 3 = 9 = 25% 
 6 6 36 
 
Esta regra pode ser estendida para qualquer número de eventos 
independentes: P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C)... 
 
O resultado do evento B independe do resultado de A. 
 “São independentes” 
 
 
Exemplo 2. Cirurgias de microfraturas no joelho têm 75% de chance de Sucesso em pacientes com joelhos 
degenerativos (25% é de fracasso). A cirurgia é realizada em 3 pacientes. Calcule a probabilidade de que: 
 
Nota: A probabilidade de que cada cirurgia seja um sucesso é de 0,75. A chance de um sucesso para uma cirurgia é 
independente das chances para as outras cirurgias. Portanto, os eventos são independentes. 
 
a) As três cirurgias sejam um sucesso. ou seja:[SSS] 
 
 
[SSS] 
P(A) = 0,75 
P(B) = 0,75 
P(C) = 0,75 
P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C) 
 
0,75 x 0,75 x 0,75 = 0,4218 
 
b) As três cirurgias sejam um fracasso. ou seja:[FFF] 
 
 
[FFF] 
P(A) = 0,25 
P(B) = 0,25 
P(C) = 0,25 
P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C) 
 
0,25 x 0,25 x 0,25 = 0,0156 
 
 
c) Duas cirurgias sejam um sucesso (ou seja: SSF, SFS, FSS) = 3[SSF] 
 
O evento “Duas cirurgias” pode ocorrer de três maneiras que diferem apenas pela 
ordem dos resultados das cirurgias: (SSF, SFS, FSS). Logo, a probabilidade será a 
soma dessas maneiras. Então, basta calcular a probabilidade de uma dessas 
maneiras (por exemplo, a primeira) e multiplicar por 3. Então: 3(SSF). 
P(A) = 0,75 
P(B) = 0,75 
P(C) = 0,25 
3 * (0,75*0,75*0,25) = 0,4218 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
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( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
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( 4, 2 )
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( 4, 6 )
5
1
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3
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5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
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( 5, 6 )
6
1
2
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( 6, 3 )
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( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
6
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( 1, 2 )
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( 3, 4 )
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( 3, 5 )
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4
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3
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( 4, 1 )
( 4, 2 )
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( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
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6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
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( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
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( 5,6 )
5
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( 5, 1 )
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( 5, 6 )
6
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( 6, 1 )
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6
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6
( 6, 1 )
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( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
 S = {36} Evento A e Evento B 
 
 
 
Administração - 15 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
Teorema de Bayes (THOMAZ BAYES – 1701-1761 – MATEMÁTICO) 
 
 É uma extensão da probabilidade condicional, que procura responder a pergunta: sabendo-se que o 
evento A ocorreu, qual a probabilidade de que esse evento tenha provindo de X? 
 
 Usamos o Teorema de Bayes para rever probabilidades com base em informação adicional obtida posteriormente. Uma idéia-chave 
para se entender a essência do teorema é reconhecer que estamos trabalhando com eventos sequenciais, pelos quais novas 
informações são obtidas para se rever a probabilidade do evento inicial. Nesse contexto, os termos probabilidade a priori e 
probabilidade a posteriori são comumente usados. 
 Uma probabilidade a priori é um valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja obtida qualquer informação 
adicional. Uma probabilidade a posteriori é um valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação adicional obtida 
posteriormente. O teorema de Bayes pode ser obtido por meio de tabelas, diagrama de árvore e pela equação de Bayes. 
 
Exemplo 1. Usando um Diagrama de Árvore e a Equação de Bayes 
 
As máquinas A e B são responsáveis por 65% e 35%, respectivamente, da produção de uma empresa. Os índices de 
peças defeituosas na produção destas respectivas máquinas valem 2% e 5%. Se uma peça defeituosa foi selecionada 
da produção desta empresa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina A? 
 
Resolução: Portanto, ao selecionar uma peça, atribuímos as probabilidades iniciais: P(A) = 0,65 e P(B) = 0,35, incluindo as peças 
perfeitas e defeituosas. Denotamos P = peça perfeita e D = peça defeituosa 
 
 
Pelo Diagrama de Árvore 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade da peça sair defeituosa, 
seja da máquina A ou B, é 0,0305 
(0,0130+0,0175), que é a probabilidade 
total da peça sair defeituosa. 
 
Se queremos saber a probabilidade de a 
peça defeituosa ter sido produzida pela 
máquina A, será: 
 
0,0130 = 0,4262 
0,0305 
 
Enquanto que ter sido produzida pela 
máquina B será: 
 
0,0175 = 0,5738 
0,0305 
 
 
Pela equação de Bayes 
 
A equação de Bayes é dada por 
 
P(x) = 
P(A1) . P(B|A1) 
P(A1) . P(B|A1) + P(A2) . P(B|A2) 
 
Sendo o numerador a probabilidade condicionada 
procurada, o denominador a probabilidade total 
condicionada, podendo estender a P(An) . P(B|An). 
 
 
 
Usando a equação de Bayes e as probabilidades do exemplo 1, 
referente ao cálculo da peça defeituosa ter sido produzida pela 
máquina A, temos: 
 
P(A1) = 0,65 (peça ser produzida pela máquina A) 
P(B|A1) = 0,02 (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina A) 
P(A2) = 0,35 (peça ser produzida pela máquina B) 
P(B|A2) = 0,05 (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina B) 
 
P(x) = 
(0,65) . (0,02) 
= 0,4262 
(0,65) . (0,02) + (0,35) . (0,05) 
 
 
 
Exemplo 2. As máquinas A e B são responsáveis por 400 e 150, respectivamente, da produção de peças de uma 
empresa. A quantidade de peças defeituosas produzidas pelas respectivas máquinas são 10 e 20. Se uma peça 
defeituosa foi selecionada da produção, qual a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina B? 
 
O total de peças produzidas é igual a 550 (400+150), logo: 
 
A 
P(A1) = 0,727 (
400
/550) (peça ser produzida pela máquina A) 
 
P(B|A1) = 0,025 (
10
/400) (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina A) 
 
B 
 
P(A2) = 0,272 (
150
/550) (peça ser produzida pela máquina B) 
 
P(B|A2) = 0,133 (
20
/150) (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina B) 
 
Logo, a probabilidade da peça ser defeituosa e ter sido produzida pela máquina B será: 
 
 
P(x) = 
P(A2) . P(B|A2) 
P(A2) . P(B|A2) + P(A1) . P(B|A1) 
 
 
P(x) = 
(0,272) . (0,133) 
= 0,6661 
(0,272) . (0,133) + (0,727) . (0,025) 
 
 
 
P(A) * (P|A) = 0,6370 
 
 
 
 
 
 
P(A) *(D|A) = 0,0130 
 
 
P(B) * (P|B) = 0,3325 
 
 
 
 
 
P(B) * (D|B) = 0,0175 
 
Peça 
fabricada 
0,65 
0,35 
 
 
máquina 
A 
 
 
 
 
 
 
 
máquina 
B 
 
Peça 
perfeita 
 
 
 
 
 
Peça 
defeituosa 
 
0,98 
 
 
 
0,02 
 
Peça 
perfeita 
 
 
 
 
Peça 
defeituosa 
 
0,95 
 
 
 
0,05 
+ 
Administração - 16 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Construindo modelos teóricos... 
 
É possível criar um modelo teórico 
que descreva como se espera que o 
experimento se comporte? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VÍDEO 
https://www.youtube.com/watch?v=taXzDnSvEyQ&list=TLgncEwsd32SIvhtOJR3ir4KnWzikk3-ov 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E 
MODELOS PROBABILÍSTICOS 
 
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
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( 2, 6 )
3
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( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
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5
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( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
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5
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( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
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6
1
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3
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5
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( 6, 1 )
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( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
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( 1, 1 )
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( 1, 3 )
( 1, 4 )
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1
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( 1, 1 )
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( 2, 2 )
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( 2, 4 )
( 2, 5 )
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
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( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
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3
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5
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( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
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( 3, 5 )
( 3, 6 )
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( 3, 3 )
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( 3, 5 )
( 3, 6 )
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( 4, 6 )
4
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( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
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( 5, 1 )
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6
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( 6, 1 )
( 6, 2 )
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( 6, 6 )
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( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
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( 6, 6 )
Lançar dois dados
1 
2 
34 
5 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
P
ro
b
ab
ili
d
ad
e
 
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 
Soma dos dados 
 
 
 6/36 
 
 5/36 
 
 4/36 
 
 3
/36 
 
 2/36 
 1
/36 
Administração - 17 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
 Uma variável aleatória “X” representa um valor numérico associado a cada resultado de um 
experimento de probabilidade. 
 
Exemplo 1. A tabela e o gráfico abaixo representam um modelo de probabilidade para a soma de dois dados 
lançados simultaneamente: 
 
 
 
 
 
 
Soma dos 
dados “X” 
f 
Probabilidade 
“P(x)” 
2 1 1/36 
3 2 2/36 
4 3 3/36 
5 4 4/36 
6 5 5/36 
7 6 6/36 
8 5 5/36 
9 4 4/36 
10 3 3/36 
11 2 2/36 
12 1 1/36 
- =36 =1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas e comentários 
 
A palavra “aleatório” indica que “X” é determinado pelo acaso. A variável aleatória é uma regra que associa um valor 
numérico a cada resultado experimental possível. 
 
A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória descreve como as probabilidades estão distribuídas sobre os 
valores da variável aleatória. Para uma variável “X”, a distribuição de probabilidade é definida por uma função probabilidade, 
denotada por f(x). A função probabilidade fornece a probabilidade correspondente a cada um dos valores da variável aleatória. 
 
A principal vantagem de definir uma variável aleatória “X” e sua distribuição de probabilidade é que, uma vez que a 
distribuição seja conhecida, torna-se relativamente fácil determinar a probabilidade de uma série de eventos que podem ser 
do interesse de um tomador de decisões. 
 
 
 
É a lista de cada valor de 
uma variável aleatória “X” 
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
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3
4
5
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
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( 4, 5 )
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5
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3
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5
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( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
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6
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3
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5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
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( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
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5
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( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
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( 1, 5 )
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1
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2
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( 2, 1 )
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( 6, 1 )
( 6, 2 )
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( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
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( 6, 6 )
Lançar dois dados
1 
2 
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4 
5 
6 
5 
4 
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P
ro
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ab
ili
d
ad
e
 
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 
Soma dos dados 
 
 
 6
/36 
 5
/36 
 4
/36 
 
 3
/36 
 2
/36 
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/36 
 
Representação 
gráfica da 
distribuição 
Distribuição de 
probabilidades 
Variáveis aleatórias(X) 
Valor numérico de cada 
experimento 
frequências 
Administração - 18 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
Exemplo 2. Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas 
seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). 
 
Definindo a variável aleatória “X” como o prazo para 
conclusão do projeto e, usando a Regra da Adição com as 
probabilidades no diagrama de árvore, você poderá 
determinar a probabilidade de ocorrência dos meses para 
conclusão do projeto. Então, poderá usar essa informação 
para estabelecer as distribuições de probabilidades: 
 
Conclusão do projeto 
(em meses) “X” 
f 
Probabilidade “P(x)” 
8 1 1/9 = 0,11 
9 2 2/9 = 0,22 
10 3 3/9 = 0,33 
11 2 2/9 = 0,22 
12 1 1/9 = 0,11 
- =9 =1 
 
 
 
 
 
Assim, podemos responder rapidamente alguns questionamentos: 
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 8 meses? R.: 11% 
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 9 meses? R.: 22% 
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 10 meses? R.: 33% 
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 10 ou 11 meses? R.: 55% 
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído entre 9 e 11 meses? R.: 77% 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. Uma pesquisa entrevistou 200 casas de um bairro sobre quantas televisões possuem. Os dados mostram 
que 3 casas não possuem televisão, 38 casas possuem 1 televisão, 95 casas possuem 2 televisões, 52 casas possuem 3 
televisões e 12 casas possuem 4 televisões. 
 
Definimos a variável aleatória de interesse como “X” o número de televisões. A partir dos dados, sabemos que X é uma variável 
aleatória que pode assumir 0, 1, 2, 3, ou 4. Temos, então, a distribuição de probabilidades e o gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, podemos responder rapidamente alguns questionamentos: 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela não possuir televisão? R.: 1,5% 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 1 televisão? R.: 19% 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 2 televisões? R.: 47,5% 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 2 ou 3 televisões? R.: 73,5% 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir televisão? R.: 98,5% 
 
 
Nº de 
televisões “X” 
f 
(casas) 
Probabilidade 
“P(x)” 
0 3 
 3
/200 = 0,015 
1 38 
38
/200 = 0,190 
2 95 
95
/200 = 0,475 
3 52 
52
/200 = 0,260 
4 12 
12
/200 = 0,060 
- =200 =1 
0 
0,2 
0,4 
0,6 
0,8 
1 
8 9 10 11 12
0,11 
0,22 
0,33 
0,22 
0,11 
P
ro
b
ab
ili
d
ad
e
 
meses 
Prazo para conclusão do projeto 
0 
0,2 
0,4 
0,6 
0,8 
1 
0 1 2 3 4
0,015 
0,19 
0,475 
0,26 
0,06 
P
ro
b
ab
ili
d
ad
e
 
Número de televisões 
Casas com televisões em um bairro 
Administração- 19 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
VALOR ESPERADO E(X) 
 
 O Valor esperado de variáveis aleatórias “X” é um valor que você esperaria acontecer em vários testes. 
 
Podemos considerar o Valor esperado no sentido de que é o valor médio que esperaríamos se o experimento fosse feito diversas vezes. 
Então, podemos dizer que o conceito de Valor esperado aplicado em uma variável aleatória é equivalente à Média ponderada dos 
possíveis valores que “X” pode receber, onde os pesos são as probabilidades associadas. É semelhante ao cálculo da Média de uma 
Distribuição de frequência. Obtemos, então, a seguinte fórmula: 
 
EQUAÇÃO DO VALOR ESPERADO 
 
 
 
 
 
Cada valor de X é multiplicado por sua probabilidade e os produtos são adicionados. O Valor esperado, representado por 
E(X), também é chamado de Média de uma Variável Aleatória, Esperança matemática, Esperança ou Expectância. 
E (X) =  X . P(x) 
 
Exemplo 1. Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas 
seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). Qual o prazo 
esperado para conclusão do projeto? 
 
Conclusão do projeto 
(em meses) X 
P(x) X . P(x) 
8 0,11 0,88 
9 0,22 1,98 
10 0,33 3,30 
11 0,22 2,42 
12 0,11 1,32 
- =1  X.P(x) = 10 
 
Valor esperado E(X) 
 
Interpretação: Espera-se que o projeto seja concluído em 10 meses 
 
NOTA: Posso fazer também da seguinte forma: 
E(X) = 8(0,11) + 9(0,22) + 10(0,33) + 11(0,22) + 12(0,11) = 10 meses 
 
Exemplo 2. A tabela abaixo representa um modelo de probabilidade para a soma de dois dados lançados 
simultaneamente. Qual o valor esperado para a soma dos dados? 
3 
Soma dos 
dados “X” 
Probabilidade 
“P(x)” 
X . P(x) 
2 0,0278 0,0556 
3 0,0556 0,1667 
4 0,0833 0,3333 
5 0,1111 0,5556 
6 0,1389 0,8333 
7 0,1667 1,1667 
8 0,1389 1,1111 
9 0,1111 1,0000 
10 0,0833 0,8333 
11 0,0556 0,6111 
12 0,0278 0,3333 
- =1  X.P(x) = 7 
 
 Valor esperado E(X) 
 
Interpretação: Espera-se que a soma dos dados seja 7. 
 
NOTA: Posso fazer também da seguinte forma: 
E(X) = 2(0,0278) + 3(0,0556) + 4(0,0833) + 5(0,1111) 6(0,1389) + 7(0,1667) + 
8(0,1389) + 9(0,1111) + 10(0,0833) + 11(0,0556) + 12(0,0278) = 7 
Valor esperado de “X” 
 
Variáveis Aleatórias 
Probabilidades associadas 
 x = 
 x = 
Administração - 20 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
 
 Podemos aplicar os conceitos de Variância e Desvio Padrão para o Valor esperado E (X). 
 
 Embora o Valor esperado de uma distribuição de probabilidades da variável aleatória descreva um resultado 
comum, ela não dá informações sobre a maneira que os resultados variam. Para estudar a variação dos resultados, 
você pode usar a variância e o desvio padrão de uma distribuição de probabilidades da variável aleatória. Então: 
 
FÓRMULA DA VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DO VALOR ESPERADO 
 
VARIÂNCIA 
S
2 =  (x – EX)2 . P(x) 
DESVIO PADRÃO 
S = 
2s
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas seqüenciais: 
etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). Qual o prazo esperado para 
conclusão do projeto, a variância e o desvio padrão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, a Variância é: S
2 
 = 1,32 e o Desvio padrão é: S = 
2s
 → S = 
32,1
 → 1,15 meses 
 
 
 
Podemos calcular também, sem montagem de tabela, da seguinte forma: 
S
2 
=
 
 (x – EX)
2
.P(x) → (8-10)
2
. (0,11) + (9-10)
2
. (0,22) + (10-10)
2
. (0,33) + (11-10)
2
. (0,22) + (12-10)
2
. (0,11) = 1,32 
S = 
32,1
 → 1,15 meses 
 
Interpretação do desvio padrão: 
O Desvio padrão indica que a maioria dos valores de dados difere do Valor esperado não mais que 1,15 meses, para mais ou 
para menos. Então, podemos afirmar que os valores esperados estão dentro dos limites de: 
 
 
 
 
 
 
Conclusão do projeto 
(em meses) X 
P(x) X . P(x) (X – EX)
2
 . P(x) 
8 0,11 0,88 ( 8–10)2 . (0,11) = 0,44 
9 0,22 1,98 ( 9–10)2 . (0,22) = 0,22 
10 0,33 3,30 (10–10)2 . (0,33) = 0 
11 0,22 2,42 (11–10)2 . (0,22) = 0,22 
12 0,11 1,32 (12–10)2 . (0,11) = 0,44 
Total =1 EX = 10  = 1,32 
 Variáveis Aleatórias 
 Valor esperado 
Probabilidades associadas 
Variância 
8 meses 9 meses 10 meses 11 meses 12 meses 
 E(X) 
8,85 11,15 
Administração - 21 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
MODELO BINOMIAL (JAKOB BERNOULLI 1654-1705) 
 
 
É um experimento de probabilidades para os quais os resultados de cada tentativa podem ser 
reduzidos a dois resultados: SUCESSO ou FRACASSO. 
 
 Sucesso corresponde à probabilidade procurada enquanto que Fracasso à probabilidade não procurada, ou seja, o 
evento complementar. A palavra sucesso como usada aqui é arbitráriae não representa, necessariamente, algo bom. 
Qualquer uma das duas categorias pode ser chamada de sucesso, desde que seja a probabilidade procurada. 
 A probabilidade Binomial é aplicada para Eventos independentes. A amostra é feita com reposição. 
 
Revisão de FATORIAL (O fatorial é usado na equação binomial, por isso a importância da revisão) 
FATORIAL é um procedimento matemático utilizado para calcular o produto de uma multiplicação cujos fatores 
são números naturais consecutivos, denotado por x! Exemplos: 
 
 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
 30! = 30.29.28. ... .1 
 0! = 1 
 
5! = 5.4.3! = 20 
3! 3! 
 
 5! = 5.4.3! = 5 
3! 4 3! 4 
 
 5! = 5.4.3! = 10 
3! (5-3)! 3! (2)! 
 
 
Há várias formas de encontrar probabilidade Binomial. Uma forma é usar um Diagrama de Árvore e a regra de multiplicação. 
Outra forma é usar a equação de probabilidade Binomial, onde usamos Fatorial. Podemos também usar tabelas. 
 
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE BINOMIAL 
 
P(x) = n! . S 
x
 . F 
n - x
 
 x! (n - x)! 
 
 
 
 
Nota: p e q foram substituídos por S e F por fins didáticos. 
Fundamentação da equação: https://www.youtube.com/watch?v=V2sfnVikFXA 
 
Exemplo 1. Usando um Diagrama de Árvore (evento independente) e a equação da probabilidade Binomial 
 
Cirurgias de microfaturas no joelho têm 75% de chance de sucesso em pacientes com joelhos degenerativos. A 
cirurgia é realizada em 3 pacientes. Encontre a probabilidade de a cirurgia ser um sucesso em 2 pacientes. 
 
Pelo Diagrama de Árvore ou Pela equação Binomial 
 
 
A probabilidade de sucesso em 1 paciente será: 
 
P(x)= 3! . 0,75 
1
 . 0,25 
3 – 1 ≈ 0,141 
 1! (3-1)! 
 Pelo Diagrama será (0,047+0,047+0,047) 
A probabilidade de não ter sucesso será: 
 
P(x)= 3! . 0,75 
0
 . 0,25 
3 – 0 ≈ 0,016 
 0! (3-0)! 
Nota: x
0
 = 1 
1ª 2ª 3ª Resultado Sucessos Probabilidade (ev. indepen) 
P(x) = n! . S 
x
 . F 
n - x
 
 x! (n - x)! 
 
n = 3 
x = 2 
S = 0,75 
F = 0,25 (evento complementar) 
 
P(x)= 3! . 0,75 
2
 . 0,25 
3 - 2
 
 2! (3-2)! 
 
P(x)= 0,422 
 S (S,S,S) 3 0,75 . 0,75 . 0,75 = 0,422 
 0,75 
0,75 S F (S,S,F) 2 0,75 . 0,75 . 0,25 = 0,141 + 
S 
 0,25 S (S,F,S) 2 0,75 . 0,25 . 0,75 = 0,141 + 
 F 
 
F 
(S,F,F) 1 0,75 . 0,25 . 0,25 = 0,047 
 
 S (F,S,S) 2 0,25 . 0,75 . 0,75 = 0,141 + 
 0,75 
 S 
 
0,25 F (F,S,F) 1 0,25 . 0,75 . 0,25 = 0,047 
F 
 0,25 S (F,F,S) 1 0,25 . 0,25 . 0,75 = 0,047 
 F 
 F (F,F,F) 0 0,25 . 0,25 . 0,25 = 0,016 
 
Há três resultados que têm dois sucessos e cada um tem uma probabilidade de 
0,141. Aplicando a Regra da Adição, a probabilidade de a cirurgia ser um sucesso 
com dois pacientes é 0,422. (0,141 + 0,141 + 0,141) 
 Usando a equação Binomial obtemos 
o mesmo resultado pelo método do 
Diagrama de árvore, de 0,422. 
 F = probabilidade de Fracasso 
(evento complementar) 
 
S = probabilidade de Sucesso 
(evento procurado) 
 n tamanho da amostra 
 x nº sucessos na amostra 
Administração - 22 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Análise Estatística 
Exemplo 2. Um levantamento estatístico realizado pelo IBGE constatou que a taxa de desemprego na cidade de 
Resende é da ordem de 13%. Ao tomarmos uma amostra de 30 pessoas, com reposição, qual a probabilidade de: 
 
a) 5 estarem desempregados 13% desemprego(Sucesso) 87% emprego(Fracasso) 
b) 28 estarem empregados 
c) 27 estarem empregados 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, COM REPOSIÇÃO, qual a 
probabilidade de saírem: 
 
 
Exemplo 4. Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de obter “3 caras” nessas cinco provas? 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5. Um dado é lançado 6 vezes. Qual a probabilidade de que a “face 4” apareça 2 vezes? 
 
 
Exemplo 6. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Qual a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos? 
 
* 
1
/3 o time A pode ganhar, empatar ou perder. Logo, a probabilidade para cada evento é de 
1/3 
 
Exemplo 7. Em uma fábrica, 3 em cada 10 peças são defeituosas. Uma remessa a um determinado cliente possui 5 
peças. Determine a probabilidade de que, nessa remessa: 
 
2 estejam defeituosas 
n = 5 (tamanho da amostra) 
x = 2 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,30 ( = 
3
/10 a p peça ser defeituosa) 
F = 0,70 (= 7/10 a p peça ser perfeita) 
 
 P(x) = 5! __ . 0,302 . 0,705–2 ≈ 0,3087 
 2! (5-2)! 
4 estejam perfeitas 
n = 5 (tamanho da amostra) 
x = 4 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,70 ( = 
7
/10 a p peça ser perfeita) 
F = 0,30 (= 3/10 a p peça ser defeituosa) 
 
 P(x) = 5! __ . 0,704 . 0,305–4 ≈ 0,3602 
 4! (5-4)! 
 P(x) = n! . S 
x
 . F 
n - x
 
 x! (n - x)! 
a) 5 estarem desempregados 
 
n = 30 
x = 5 
S = 0,13 
F = 0,87 
 
P(x)= 30! . 0,13 5 . 0,87 30 - 5 
 5! (30-5)! 
 
P(x)= 142506 . 0,000037 . 0,0307 
 
P(x) ≈ 0,1627 
 b) 28 estarem empregados 
 
n = 30 
x = 28 
S = 0,87 
F = 0,13 
 
 P(x)= 30! . 0,87 28 . 0,13 30-28 
 28! (30-28)! 
 
 P(x)= 435 . 0,0202 . 0,0169 
 
P(x) ≈ 0,1489 
 c) 27 estarem empregados 
 
n = 30 
x = 27 
S = 0,87 
F = 0,13 
 
 P(x)= 30! . 0,87 27 . 0,13 30-27 
 27! (30-27)! 
 
 P(x)= 4060 . 0,0232 . 0,0021 
 
P(x) ≈ 0,1978 
a) 2 bolas pretas? 
n = 5 
x = 2 
S = 0,20 (
10
/50) 
F = 0,80 (
40
/50) 
 
 
 
 P = 5! . 0,202 . 0,805–2 ≈ 0,2048 
 2! (5-2)! 
 
 b) 4 bolas brancas? 
n = 5 
x = 4 
S = 0,80 (
40
/50) 
F = 0,20 (
10
/50) 
 
 
 
 P = 5! . 0,804 . 0,205 –4 ≈ 0,4096 
 4! (5-4)! 
 
n = 5 (tamanho da amostra) 
x = 3 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,50 ( = ½ a p de obter cara) 
F = 0,50 (= ½ a p de obter coroa) 
 
 
 
 P(x) = 5! __ . 0,503 . 0,505–3 ≈ 0,3125 
 3! (5-3)! 
 
n = 6 (tamanho da amostra) 
x = 2 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,17 ( = 
1
/6 a p de obter “4”) 
F = 0,83 (= 5/6 a p de não obter “4”) 
 
 
 
 P(x) = 6! __ . 0,172 . 0,836–2 ≈ 0,2057 
 2! (6-2)! 
 
n = 6 (tamanho da amostra) 
x = 4 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,33 ( = 
1
/3 a p de ganhar)* 
F = 0,66 (= 2/3 a p de não ganhar) 
 
 
 
 P(x) = 6! __ . 0,334 . 0,666–4 ≈ 0,0774 
 4! (6-4)! 
 
87% emprego(Sucesso) 13% desemprego(Fracasso) 
Sucesso é o que se deseja estudar; 
Fracasso é o que não se deseja estudar 
 
Administração - 23 - 
 
 
Uanderson