INTRODUÇÃO AOS VETORES

Prévia do material em texto

VETORES 
Vetores 
• Segmentos orientados 
• Conceitos e exemplos de vetor. 
Segmentos orientados 
. 
Segmento orientado: segmento de reta com um sentido fixado. 
=> liga dois pontos do plano ou do espaço tridimensional. 
Um segmento orientado é definido por dois pontos: o ponto inicial A e o ponto 
final B, logo dois segmentos orientados com mesma 
direção, mesmo sentido e mesmo comprimento que tem, por exemplo, pontos 
iniciais diferentes são segmentos orientados diferentes (Segmentos 
Equipolentes) 
A 
B 
Segmentos orientados 
. 
Dados os segmentos orientados AB, CD e EF, temos as seguintes 
propriedades da Equipolência: 
 
 
1. AB ~ AB. -> Propriedade Reflexiva. 
 
2. Se AB ~ CD então CD ~ AB -> Propriedade Simétrica. 
 
3. Se AB ~ CD e CD ~ EF, então AB ~ EF. -> Propriedade Transitiva. 
 
 
Quando uma relação tem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva 
dizemos que esta relação é uma relação de equivalência. 
Vetores: Definição 
=> Como segmento orientado 
=> Como vetor 
Vetor: é o conjunto de todos segmentos orientados de mesma direção, mesmo 
sentido e mesmo comprimento. Uma classe de equivalência ou Equipolência 
Vetores: Definição 
EXEMPLO 2- Na figura abaixo contida no plano (R2) temos 30 segmentos orientados. 
Quantos vetores temos na figura? 
Vetores: Definição 
EXEMPLO 2- Na figura abaixo contida no plano (R2) temos 30 segmentos orientados. 
Quantos vetores temos na figura? 
Se v é um vetor, ou seja, v pertence a V , então v é um conjunto de segmentos 
orientados equipolentes. 
Vetores – exemplos 
Quantidades como massa, comprimento ou tempo -> descritas apenas através de 
números.=> grandeza escalar 
Quantidades como força, velocidade e posição são necessários: o número, a direção e o 
sentido, nos quais ela atua. => quantidade ou grandeza vetorial (representado por um 
segmento de reta orientado). 
Vetor velocidade da figura a cima aponta na direção e no sentido do movimento e seu 
comprimento é a magnitude desta velocidade. 
As quatros setas (segmentos de retas orientados) tem o mesmo comprimento, direção e 
sentido. ==> REPRESENTAM O MESMO VETOR (vetor ‘anda’ no espaço) 
Notação de vetores: 
Letras latinas minúsculas: u, v e w. 
Letras latinas maiúsculas: F - vetor força. 
Letras latinas maiúsculas e minúsculas com uma seta em cima: 
Este vetor v é especificado através das 
coordenadas do seu ponto final (v1 ,v2 ,v3). 
cujo o seu ponto inicial é a origem. 
Chamamos de posição padrão de um vetor v 
aquele segmente de reta 
Um vetor tridimensional é um trio ordenado de números reais. 
Dois vetores u e v são iguais se, e somente se, seus segmentos orientados em 
posição padrão são idênticos. Ou seja, 
A magnitude ou módulo de um vetor é o comprimento de qualquer uma das 
representações equivalentes de seus segmentos de reta orientados, i.e. 
O único vetor sem direção específica e com comprimento nulo é o vetor nulo: 
Vetor nulo 
Observe que se v for representado pelo segmento de reta cujo o 
ponto inicial é P(x1 ,y1 ,z1) e o ponto final é Q(x2 ,y2 ,z2) então as suas componentes 
são dadas por, 
Exemplo 3: Componentes e comprimento de um vetor 
Operações entre Vetores 
• Operações algébricas com vetores. 
• Vetores unitários (versores). 
• Construções geométricas. 
Operações algébricas com vetores 
Definiremos duas operações no tratamento de quantidades vetoriais: 
• Adição de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar real. 
 
 Adição de vetores corresponde a soma de suas componentes. 
Multiplicação por um escalar => multiplicamos cada uma das componentes do vetor 
pelo escalar. 
A adição de vetores pode ser interpretada geometricamente de duas formas: 
O ponto inicial de um vetor é colocado 
no ponto final de outro. Soma das 
componentes = vetor resultante. 
Regra do paralelogramo onde a soma, 
denominada vetor resultante, é a 
diagonal do paralelogramo. 
A interpretação geométrica do produto ku do escalar k e 
do vetor u é mostrada na figura ao lado. 
O comprimento de ku é o valor absoluto de k multiplicado 
pelo módulo de u, veja: 
A diferença de dois vetores é a soma u - 
v = u + (-v). Assim, Observe que 
(u - v) + v = u . 
Provas de algumas propriedades: 
P. 8: 
P. 1: 
Exemplo : Operações com vetores 
Vetores unitários 
Um vetor v é dito unitário (versor) se ele possui comprimento 1. 
Os vetores unitários padrão são: 
Qualquer vetor v pode ser escrito como 
combinação linear destes vetores padrão: 
Os vetores i, j e k formam uma base chamada base canônica. 
Seguindo esta abordagem o vetor de P1(x1 ,y1 ,z1) a P2(x2 ,y2 ,z2) é escrito como: 
Exemplo : Direção de um vetor 
Exemplo : Direção e módulo do vetor velocidade 
Construções geométricas 
 Ponto médio de um segmento de reta