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VETORES Vetores • Segmentos orientados • Conceitos e exemplos de vetor. Segmentos orientados . Segmento orientado: segmento de reta com um sentido fixado. => liga dois pontos do plano ou do espaço tridimensional. Um segmento orientado é definido por dois pontos: o ponto inicial A e o ponto final B, logo dois segmentos orientados com mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento que tem, por exemplo, pontos iniciais diferentes são segmentos orientados diferentes (Segmentos Equipolentes) A B Segmentos orientados . Dados os segmentos orientados AB, CD e EF, temos as seguintes propriedades da Equipolência: 1. AB ~ AB. -> Propriedade Reflexiva. 2. Se AB ~ CD então CD ~ AB -> Propriedade Simétrica. 3. Se AB ~ CD e CD ~ EF, então AB ~ EF. -> Propriedade Transitiva. Quando uma relação tem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva dizemos que esta relação é uma relação de equivalência. Vetores: Definição => Como segmento orientado => Como vetor Vetor: é o conjunto de todos segmentos orientados de mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Uma classe de equivalência ou Equipolência Vetores: Definição EXEMPLO 2- Na figura abaixo contida no plano (R2) temos 30 segmentos orientados. Quantos vetores temos na figura? Vetores: Definição EXEMPLO 2- Na figura abaixo contida no plano (R2) temos 30 segmentos orientados. Quantos vetores temos na figura? Se v é um vetor, ou seja, v pertence a V , então v é um conjunto de segmentos orientados equipolentes. Vetores – exemplos Quantidades como massa, comprimento ou tempo -> descritas apenas através de números.=> grandeza escalar Quantidades como força, velocidade e posição são necessários: o número, a direção e o sentido, nos quais ela atua. => quantidade ou grandeza vetorial (representado por um segmento de reta orientado). Vetor velocidade da figura a cima aponta na direção e no sentido do movimento e seu comprimento é a magnitude desta velocidade. As quatros setas (segmentos de retas orientados) tem o mesmo comprimento, direção e sentido. ==> REPRESENTAM O MESMO VETOR (vetor ‘anda’ no espaço) Notação de vetores: Letras latinas minúsculas: u, v e w. Letras latinas maiúsculas: F - vetor força. Letras latinas maiúsculas e minúsculas com uma seta em cima: Este vetor v é especificado através das coordenadas do seu ponto final (v1 ,v2 ,v3). cujo o seu ponto inicial é a origem. Chamamos de posição padrão de um vetor v aquele segmente de reta Um vetor tridimensional é um trio ordenado de números reais. Dois vetores u e v são iguais se, e somente se, seus segmentos orientados em posição padrão são idênticos. Ou seja, A magnitude ou módulo de um vetor é o comprimento de qualquer uma das representações equivalentes de seus segmentos de reta orientados, i.e. O único vetor sem direção específica e com comprimento nulo é o vetor nulo: Vetor nulo Observe que se v for representado pelo segmento de reta cujo o ponto inicial é P(x1 ,y1 ,z1) e o ponto final é Q(x2 ,y2 ,z2) então as suas componentes são dadas por, Exemplo 3: Componentes e comprimento de um vetor Operações entre Vetores • Operações algébricas com vetores. • Vetores unitários (versores). • Construções geométricas. Operações algébricas com vetores Definiremos duas operações no tratamento de quantidades vetoriais: • Adição de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar real. Adição de vetores corresponde a soma de suas componentes. Multiplicação por um escalar => multiplicamos cada uma das componentes do vetor pelo escalar. A adição de vetores pode ser interpretada geometricamente de duas formas: O ponto inicial de um vetor é colocado no ponto final de outro. Soma das componentes = vetor resultante. Regra do paralelogramo onde a soma, denominada vetor resultante, é a diagonal do paralelogramo. A interpretação geométrica do produto ku do escalar k e do vetor u é mostrada na figura ao lado. O comprimento de ku é o valor absoluto de k multiplicado pelo módulo de u, veja: A diferença de dois vetores é a soma u - v = u + (-v). Assim, Observe que (u - v) + v = u . Provas de algumas propriedades: P. 8: P. 1: Exemplo : Operações com vetores Vetores unitários Um vetor v é dito unitário (versor) se ele possui comprimento 1. Os vetores unitários padrão são: Qualquer vetor v pode ser escrito como combinação linear destes vetores padrão: Os vetores i, j e k formam uma base chamada base canônica. Seguindo esta abordagem o vetor de P1(x1 ,y1 ,z1) a P2(x2 ,y2 ,z2) é escrito como: Exemplo : Direção de um vetor Exemplo : Direção e módulo do vetor velocidade Construções geométricas Ponto médio de um segmento de reta
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